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空间向量与立体几何(高三理科复习)


高三.数学(理科)

空间向量与立体几何
【例题】
例 1、某空间几何体的三视图及尺寸如图,则该几何体的体积是( A、 2 B、 1 C、 )

2 3

D、

1 3
.

例 2、有三个球和一个边长为 1 的正方体,第一个球内切于正方体,第二个球

与 这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,则这三个球的表面积之比为 例 3、下列说法:①直线 l 可以和平面 ? 内的两条相交直线都平行; ③若直线 a / / b ,直线 b ? ? , a ? ? ,则 a / /? ;②若直线 a 在平面 ? 外,则 a / /? ; ④若直线 a / / b , b ? ? ,则直线 a 就平行于平面 ? 内的无数条直线. A、1 个 B、2 个 C、3 个 其中正确的个数为( D、4 个 )

例 4、如图,在 ?ABC 中, ?ABC ? 45?, ?BAC ? 90?, AD 是 BC 上的高,沿 AD 把 ?ABD 折起,使

?BDC ? 90? .

平面ADB ? 平面BDC . (1) 指出图中哪个角是二面角 B ? AD ? C 的平面角, 并说明理由; (2) 求证:

?DPC ? 300 ,AF ? PC 于点 F ,FE / /CD , 例 5、 如图, 四边形 ABCD 为正方形,PD ? 平面 ABCD ,
交 PD 于点 E .(1)证明: CF ? 平面ADF (2)求二面角 D ? AF ? E 的余弦值.

A

B

E p

D F

C

1



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例 6、如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC⊥底面 ABCD,

?ABC ? 45?,AB ? SA ? SB ? 2 .
(1)证明: SA ? BC ; (2)求点 B 到平面 SAD 的距离.

【练习】
1、若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°,半径为 l 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 ( A、3:2 B、2:1 ) C、4:3 D、5:3 )

2、下列命题中正确的是(

①平行于同一直线的两个平面平行 ②平行于同一平面的两个平面平行 ③垂直于同一直线的两个平面 平行 ④与同一直线成等角的两个平面平行 A、①② B、②③ C、③④ D、②③④ )

3、如图,在立体图形 D ? ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列说法正确的是( A、 平面ABC ? 平面ABD C、 平面ABD ? 平面BDC B、 平面ABC ? 平面BDE, 且平面ADC ? 平面BDE D、 平面ABC ? 平面ADC, 且平面ADC ? 平面BDE ) 第3题 )

4、一个与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆面面积为 ? ,则球的体积为 ( A、

8 2? 3

B、

8? 3

C、

32? 3

D、8 ?

5、若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的( A、

1 倍 2

B、

2 倍 4

C、2 倍 ).

2

D、 2 倍

2

6、一空间几何体的三视图如图,则其体积为( A、 2? ? 2 3 C、 2? ? B、 4? ? 2 3

2

2 3 3

D、 4? ?

2 3 3
2

俯视图

2
正(主)视图

2
侧(左)视图 廖

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8 ,?, 2) 与 b ? (2, ?1 , 2) 的夹角的余弦值为 ,则 ? ? ( 7、若向量 a ? (1 9
A、 2 B、 ?2 C、 ?2 或
2 55

) D、2 或 ?
2 55

· a ? 9,c · b ? ?4 ,则 c ? , ,, 5) b ? (1, 2, ? 3) ,向量 c 与 z 轴垂直,且满足 c 8、已知 a ? (31



9、 a , b, c 为三条不重合的直线, ? , ? , ? 为三个不重合的平面,现给出六个命题: ①

a / /b ? ? ? a / /b b / /c ?



a // ? ? ? ? a // b b // ? ?
? // ? ? ? ? a // ? a // ? ?



? // b ? ? ? ? // ? ? // b?



? // ? ? ? ? ? // ? ? // ? ?
.



? // c?

? ? a // ? a // c ?



其中正确的是

10、如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, BB1 与平面 ACD1 所成的角的余弦值为

. 第 10 题

11、如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2, E 是 DD1 的中点, (1)求证: BD1 / / 平面 AEC ; (2)求三棱锥 E ? ACD 的体积.

? 12、如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?BAD ? 90 , BC ? 2 AD , ?PAB 和 ?PAD 都

是等边三角形.(1)证明: PB ? CD ; (2)求二面角 A ? PD ? C 的大小.

3



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13、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,?BCD ? 60? , AB 平面 ABCD ,点 M 为 PC 的中点. (1)求证: PA // 平面 BMD ; (2)求证: AD ? PB ; (3)若 AB

? 2 AD , PD ?

? PD ? 2 ,求点 A 到平面 BMD 的距离.
P

M

D

C

A 图4

B

14、如图,在三棱锥 P -ABC 中, ?PAB = ?PAC = ?ACB =900.(1) 求证:平面 PBC 丄平面 PAC (2)已知 PA=1,AB=2,当三棱锥 P -ABC 的体积最大时,求 BC 的长.

4



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15、如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形,在四边形 ABFE 中,AB∥EF,∠EAB=90O AB=2,AD=AE=EF=1,平面 ABFE⊥平面 ABCD (1)证明:AF⊥平面 BCF (2)求二面角 B-FC-D 的大小

16、如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中, ?A ? 90? , BC ? 6 , D, E 分别是 AC, AB 上的点, CD ? BE ? 2 ,

O 为 BC 的中点.将 ?ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱锥 A? ? BCDE ,其中 A?O ? 3 .
C D O. E C A D O E B

A?

B

图2 图1 (Ⅰ) 证明: A?O ? 平面 BCDE ;(Ⅱ) 求二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值.

5



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17、在如图所示的多面体中,四边形 ABB1 A 1 和 ACC1 A 1 都为矩形. (Ⅰ )若 AC ? BC ,证明:直线 BC ? 平面 ACC1 A 1;

E 分别是线段 BC , (Ⅱ ) 设D, 在线段 AB 上是否存在一点 M , 使直线 DE / / 平面 A1MC ? CC1 的中点,
请证明你的结论.

A1 B1

C1 E

A D B

C

18、如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=BC=2AA1,∠ ABC=90° ,M 是 BC 中点. (I)求证:A1B∥ 平面 AMC1; (II)求直线 CC1 与平面 AMC1 所成角的正弦值; (Ⅲ )试问:在棱 A1B1 上是否存在点 N,使 AN 与 MC1 成角 60° ?若存在,确定点 N 的位置;若不存在, 请说明理由.

6




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