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高中数学竞赛讲义(3)函数


高中数学竞赛讲义(三) ──函数

一、基础知识 定义 1 映射,对于任意两个集合 A,B,依对应法则 f,若对 A 中的任意一个元素 x, 在 B 中都有唯一一个元素与之对应,则称 f: A→B 为一个映射。 定义 2 单射,若 f: A→B 是一个映射且对任意 x, y∈A, x 射。 定义 3 满射,若 f: A→B 是映射且对任意 y∈B,都有一个 x

∈A 使得 f(x)=y,则称 f: A →B 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射,若 f: A→B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在 逆映射,即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1 构成的映射,记作 f-1: A→B。 定义 5 函数,映射 f: A→B 中,若 A,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它 的定义域,若 x∈A, y∈B,且 f(x)=y(即 x 对应 B 中的 y),则 y 叫做 x 的象,x 叫 y 的原象。 集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意 义的未知数的取值范围,如函数 y=3 -1 的定义域为{x|x≥0,x∈R}. y, 都有 f(x) f(y)则称之为单

定义 6 反函数,若函数 f: A→B(通常记作 y=f(x))是一一映射,则它的逆映射 f-1: A →B 叫原函数的反函数,通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是:在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y),然后将 x, y 互换得 y=f-1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:

函数 y=

的反函数是 y=1-

(x

0).

定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 定义 7 函数的性质。 (1) 单调性: 设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2∈I 并且 x1< x2, 总有 f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2)),则称 f(x)在区间 I 上是增(减)函数,区间 I 称为单调增(减)区间。 (2)奇偶性:设函数 y=f(x)的定义域为 D,且 D 是关于原点对称的数集,若对于任意 的 x∈D,都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)是奇函数;若对任意的 x∈D,都有 f(-x)=f(x),则称 f(x) 是偶函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。

1

(3)周期性:对于函数 f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内每一 个数时,f(x+T)=f(x)总成立,则称 f(x)为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中存在 最小的正数 T0,则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。 定义 8 如果实数 a<b,则数集{x|a<x<b, x∈R}叫做开区间,记作(a,b),集合{x|a≤x ≤b,x∈R}记作闭区间[a,b],集合{x|a<x≤b}记作半开半闭区间(a,b],集合{x|a≤x<b}记作 半闭半开区间[a, b),集合{x|x>a}记作开区间(a, +∞),集合{x|x≤a}记作半开半闭区间(∞,a]. 定义 9 函数的图象, 点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数 y=f(x)的图象, 其中 D 为 f(x)的定 义域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0);(1)向右 平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象;(2)向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象;(3)向 下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象;(4)与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称;(5)与函 数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称;(6)与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称;(7) 与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。

定理 3 复合函数 y=f[g(x)]的单调性,记住四个字: “同增异减”。例如 y=

, u=2-x

在(-∞,2)上是减函数,y= 函数。

在(0,+∞)上是减函数,所以 y=

在(-∞,2)上是增

注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。 二、方法与例题 1.数形结合法。

例 1 求方程|x-1|=

的正根的个数.

【解】 分别画出 y=|x-1|和 y= 正根。

的图象,由图象可知两者有唯一交点,所以方程有一个

例 2 求函数 f(x)=

的最大值。

2

【解】 f(x)= B(0,1),则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。

, 记点 P(x, x?2), (3, , A 2)

因为|PA|-|PA|≤|AB|= 点时等号成立。 所以 f(x)max= 2.函数性质的应用。

,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交

例 3 设 x, y∈R,且满足
3

,求 x+y.

【解】 设 f(t)=t +1997t,先证 f(t)在(-∞,+∞)上递增。事实上,若 a<b,则 f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y),所以 x-1=1-y,所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又 f(1-a)+f(1-a2)<0,求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数,所以 f(1-a2)=-f(a2-1),由题设 f(1-a)<f(a2-1)。 又 f(x)在定义域(-1,1)上递减,所以-1<1-a<a2-1<1,解得 0<a<1。 例 5 设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上以 2 为周期的函数,对 k∈Z, 用 Ik 表示区间(2k-1, 2k+1],已知当 x∈I0 时,f(x)=x2,求 f(x)在 Ik 上的解析式。 【解】 设 x∈Ik,则 2k-1<x≤2k+1, 所以 f(x-2k)=(x-2k)2. 又因为 f(x)是以 2 为周期的函数,

3

所以当 x∈Ik 时,f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例 6 解方程:(3x-1)( 【解】 令 m=3x-1, n=2x-3,方程化为 m( +1)+n( +1)=0. ① 0, n 0. )+(2x-3)( +1)=0.

若 m=0,则由①得 n=0,但 m, n 不同时为 0,所以 m ⅰ)若 m>0,则由①得 n<0,设 f(t)=t(

+1),则 f(t)在(0,+∞)上是增函数。又

f(m)=f(-n),所以 m=-n,所以 3x-1+2x-3=0,所以 x=

ⅱ)若 m<0,且 n>0。同理有 m+n=0,x=

,但与 m<0 矛盾。

综上,方程有唯一实数解 x= 3.配方法。 例 7 求函数 y=x+ 的值域。

【解】 y=x+

=

[2x+1+2

+1]-1

=

(

+1)-1≥

-1=-

.

当 x=-

时,y 取最小值-

,所以函数值域是[-

,+∞)。

4.换元法。 例 8 求函数 y=( 【解】令 + + +2)( +1),x∈[0,1]的值域。 ≤4,所以 ≤u

=u,因为 x∈[0,1],所以 2≤u2=2+2

≤2,所以



≤2,1≤ ,8]。

≤2,所以 y=

,u2∈[

+2,8]。

所以该函数值域为[2+ 5.判别式法。

4

例 9 求函数 y=

的值域。

【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当y 1 时,①式是关于 x 的方程有实根。

所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0,解得

≤y≤1.

又当 y=1 时,存在 x=0 使解析式成立,

所以函数值域为[ 6.关于反函数。

,7]。

例 10 若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R,且存在反函数。若 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增, 求证:y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】设 x1<x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2),则 x1=f(y1), x2=f(y2),若 y1≥y2,则因为 f(x)在 (-∞,+ ∞)上递增,所以 x1≥x2 与假设矛盾,所以 y1<y2。 即 y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。

例 11 设函数 f(x)=

,解方程:f(x)=f-1(x).

【解】 首先 f(x)定义域为(-∞,-

)∪[-

,+∞);其次,设 x1, x2 是定义域内变量,

且 x1<x2<-

;

=

>0,

所以 f(x)在(-∞,-

)上递增,同理 f(x)在[-

,+∞)上递增。

在方程 f(x)=f-1(x)中,记 f(x)=f-1(x)=y,则 y≥0,又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x,所以 x≥0,所以

x,y∈[若x

,+∞). y,设 x<y,则 f(x)=y<f(y)=x,矛盾。

同理若 x>y 也可得出矛盾。所以 x=y. 即 f(x)=x,化简得 3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
5

因为 x≥0,所以 3x4+5x3+5x2+5x+1>0,所以 x=1. 三、基础训练题 1.已知 X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2},映射 f:X→Y 满足:对任意的 x∈X,它在 Y 中 的象 f(x)使得 x+f(x)为偶数,这样的映射有_______个。 2.给定 A={1,2,3},B={-1,0,1}和映射 f:X→Y,若 f 为单射,则 f 有_______个; 若 f 为满射,则 f 有_______个;满足 f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。 3. 若直线 y=k(x-2)与函数 y=x2+2x 图象相交于点 (-1, , -1) 则图象与直线一共有_______ 个交点。

4.函数 y=f(x)的值域为[

],则函数 g(x)=f(x)+

的值域为_______。

5.已知 f(x)=

,则函数 g(x)=f[f(x)]的值域为_______。

6.已知 f(x)=|x+a|,当 x≥3 时 f(x)为增函数,则 a 的取值范围是_______。

7.设 y=f(x)在定义域( 8. 若函数 y= _______对称。

,2)内是增函数,则 y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。
-1

(x)存在反函数 y=

(x), y= 则

-1

(x)的图象与 y=-

(-x)的图象关于直线

9.函数 f(x)满足 10. 函数 y=

=1-

,则 f(

)=_______。

, x∈(1, +∞)的反函数是_______。

11.求下列函数的值域:(1)y=

; (2)y=

;

(3)y=x+2 12. 已知

; (4) y= 定义在 R 上, 对任意 x∈R, f(x)=f(x+2), f(x)是偶函数, 且 又当 x∈[2,3]

时,f(x)=x,则当 x∈[-2,0]时,求 f(x)的解析式。 四、高考水平训练题

1. 已知 a∈

, f(x)定义域是 (0,1], g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。 则
6

2.设 0≤a<1 时,f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1 恒为正值。则 f(x)定义域为_______。 3. 映射 f: {a, b, c, d}→{1, 3}满足 10<f(a)· 2, f(b)· f(c)· f(d)<20, 这样的映射 f 有_______ 个。 4.设函数 y=f(x)(x∈R)的值域为 R,且为增函数,若方程 f(x)=x 解集为 P,f[f(x)]=x 解 集为 Q,则 P,Q 的关系为:P_______Q(填=、 、 )。

5.下列函数是否为奇函数:(1)f(x)=(x-1) (x)= ;(4)y= 6. 设函数 y=f(x)(x∈R 且 x

;(2)g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3)

0),对任意非零实数 x1, x2 满足 f(x1x2)=f(x1)+f(x2),又 f(x)在

(0,+∞)是增函数,则不等式 f(x)+f(x-

)≤0 的解集为_______。

7. 函数 f(x)=

, 其中 P, 为 R 的两个非空子集, M 又规定 f(P)={y|y=f(x), , f(P) ∩f(M)= 则 ; ②若 P∩M

x∈P}, f(M)={y|y=f(x), x∈M}, 给出如下判断: ①若 P∩M= , f(P) ∩f(M) 则

; ③若 P∪M=R, 则 f(P) ∪f(M)=R; ④若 P∪M

R, f(P) ∪f(M) 则

R. 其中正确的判断是_______。 8.函数 y=f(x+1)的反函数是 y=f-1(x+1),并且 f(1)=3997,则 f(1998)= _______。 9.已知 y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当 x∈[0,3]时是一次函数,当 x∈[3,6] 时是二次函数,又 f(6)=2,当 x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3。求 f(x)的解析式。

10.设 a>0,函数 f(x)定义域为 R,且 f(x+a)= 函数。

,求证:f(x)为周期

11.设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为α ,β (α <β ),已知函数 f(x)=

,(1)

求 f(α )、f(β );(2)求证:f(x)在[α ,β ]上是增函数;(3)对任意正数 x1, x2,求证:

<2|α -β |.

7

五、联赛一试水平训练题 1.奇函数 f(x)存在函数 f-1(x),若把 y=f(x)的图象向上平移 3 个单位,然后向右平移 2 个单位后,再关于直线 y=-x 对称,得到的曲线所对应的函数是________.

2.若 a>0,a

1,F(x)是奇函数,则 G(x)=F(x)

是________(奇偶性).

3.若

=x,则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x);②F(-x)=

;③F(x-1)=F(x);④F(F(x))=-x. 4.设函数 f:R→R 满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则 f(x)=________. 5.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1, 且对任意 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤ f(x)+1。若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)= ________.

6. 函数 f(x)=

的单调递增区间是________.

7. 函数 f(x)= 8. 函数 y=x+

的奇偶性是:________奇函数,________偶函数(填是,非)。 的值域为________.

9.设 f(x)=

,

对任意的 a∈R,记 V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]},试求 V(a)的最小 值。

10.解方程组:

(在实数范围内)

11.设 k∈N+, f: N+→N+满足:(1)f(x)严格递增;(2)对任意 n∈N+, 有 f[f(n)]=kn,

求证:对任意 n∈N+, 都有 六、联赛二试水平训练题

n≤f(n)≤

8

1. 求证: 恰有一个定义在所有非零实数上的函数 f, 满足: 对任意 x≠0, f(x)=x· (1) f (2)对所有的 x≠-y 且 xy≠0,有 f(x)+f(y)=1+f(x+y).



2.设 f(x)对一切 x>0 有定义,且满足:(ⅰ)f(x)在(0,+∞)是增函数;(ⅱ)任意 x>0,

f(x)f

=1,试求 f(1). 3. f:[0,1]→R 满足:(1)任意 x∈[0, 1], f(x)≥0;(2)f(1)=1;(3)当 x, y, x+y∈[0, 1]

时,f(x)+f(y)≤f(x+y),试求最小常数 c,对满足(1),(2),(3)的函数 f(x)都有 f(x)≤ cx. 4. 试求 f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。 5.对给定的正数 p,q∈(0, 1),有 p+q>1≥p2+q2,试求 f(x)=(1-x) + 在[1-q,p]上的最大值。

6.已知 f: (0,1)→R 且 f(x)=

.

当 x∈

时,试求 f(x)的最大值。

7.函数 f(x)定义在整数集上,且满足 f(n)= 值。

,求 f(100)的

8.函数 y=f(x)定义在整个实轴上,它的图象在围绕坐标原点旋转角 证:方程 f(x)=x 恰有一个解;(2)试给出一个具有上述性质的函数。

后不变。(1)求

9.设 Q+是正有理数的集合,试构造一个函数 f: Q+→Q+,满足这样的条件:

f(xf(y))=

x, y∈Q+.

9


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