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相似三角形


◆考点链接 一、相似三角形的定义 三边对应成_________,三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形. 二、相似三角形的判定方法 1. 若 DE∥BC(A 型和 X 型)则______________.

A D B E C
B

E A

D

C

2

. 射影定理:若 CD 为 Rt△ABC 斜边上的高(双直角图形) 则 Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且 AC =________,CD =_______,BC =__ ____.
2 2 2

C

A

D

B

3. 两个角对应相等的两个三角形__________. 4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似. 5. 三边对应成比例的两个三角形___________. 三、相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应边_________,对应角________. 2. 相似三角形的对应边的比叫做________,一般用 k 表示. 3. 相似三角形的对应角平分线,对应边的 ________ 线,对应边上的 _______? 线的比等于 _______比,周长之比也等于________比,面积比等于_________.

一、选择题 1. (2011 浙江金华,9,3 分)如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路与 环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准备去书店,按图中的街道行走,最 近的路程约为( A.600m ) C.400m D.300m

B.500m

环城路 300m 南京路 400m 八 一 街 书店 曙 光 西安路 400m 路



2. (2011 浙江台州, 5,4 分) 若两个相似三角形的面积之比为 1:4, 则它们的周长之比为 ( A. 1:2 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:16



3.( 2011 重庆江津, 8,4 分)已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在 图上标注,图(2)中 AB、CD 交于 O 点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的 是( A.都相似 ) B.都不相似 C.只有(1)相似 A 4 75° 35° (1) 第 3 题图 4.(2011 湖北荆州,7,3 分)如图,P 为线段 AB 上一点,AD 与 BC 交于 E,∠ CPD=∠ A =∠ B,BC 交 PD 于 F,AD 交 PC 于 G,则图中相似三角形有 A.1 对 B.2 对
D C G A E F

D.只有(2)相似 3 O 6 B D

70° 75° C

8 (2)

C.3 对

D.4 对

P

B

第 4 题图 二、填空题 5. (2011 广东广州市,14,3 分)如图 3,以点 O 为位似中心,将五边形 ABCDE 放大后 得到五边形 A′B′C′D′E′,已知 OA=10cm,OA′=20cm,则五边形 ABCDE 的周长与五边形

A′B′C′D′E′的周长的比值是

. A′ E′ A B E D C 图3 C′ B′ D′

O

6. (2011 四川重庆,12,4 分)如图,△ ABC 中,DE∥ BC,DE 分别交边 AB、AC 于 D、E 两点,若 AD:AB=1:3,则△ ADE 与△ ABC 的面积比为 .

7. (2011 江苏苏州, 17,3 分) 如图, 已知△ ABC 的面积是 3 的等边三角形, △ ABC∽ △ ADE, AB=2AD,∠ BAD=45° ,AC 与 DE 相交于点 F,则△ AEF 的面积等于__________(结果保 留根号).

三、解答题 8. (2011 广东汕头,21,9 分)如图(1),△ ABC 与△ EFD 为等腰直角三角形,AC 与 DE 重合,AB=EF=9,∠ BAC=∠ DEF=90° ,固定△ ABC,将△ EFD 绕点 A 顺时针旋转,当 DF 边与 AB 边重合时,旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设 DE、DF(或它们的 延长线)分别交 BC(或它的延长线)于 G、H 点,如图(2). (1)问:始终与△ AGC 相似的三角形有 及 ;

(2)设 CG=x,BH=y,求 y 关于 x 的函数关系式(只要求根据 2 的情况说明理由); (3)问:当 x 为何值时,△ AGH 是等腰三角形?

9. (2011 湖南怀化,21,10 分)如图 8,△ ABC,是一张锐角三角形的硬纸片,AD 是边 BC 上的高, BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH, 使它的一边 EF 在 BC 上,顶点 G、H 分别在 AC,AB 上,AD 与 HG 的交点为 M. (1) 求证:
AM HG ? ; AD BC

(2) 求这个矩形 EFGH 的周长.

10. (2011 湖北武汉市,24,10 分)(本题满分 10 分) (1)如图 1,在△ ABC 中,点 D,E,Q 分别在 AB,AC,BC 上,且 DE∥ BC,AQ 交 DE 于点 P.求证:
DP PE ? . BQ QC

(2) 如图,在△ ABC 中,∠ BAC=90° ,正方形 DEFG 的四个顶点在△ ABC 的边上,连接 AG, AF 分别交 DE 于 M,N 两点. ① 如图 2,若 AB=AC=1,直接写出 MN 的长; ② 如图 3,求证 MN2=DM· EN.

【收获筐】博观而约取,厚积而薄发,今天你收获到了什么?

知识点总结:
1、 知识点:

2、 错题分析

【答案】 考点链接(答案略) 1. B 2. A 3. A 4. C 5. 1 2 6. 1:9 7.

3? 3 4

8.【解】(1)△ HGA 及△ HAB; (2)由(1)可知△ AGC∽ △ HAB



CG AC x 9 ? ,即 ? , AB BH 9 y

所以, y ?

81 x

(3)当 CG<

1 BC 时,∠ GAC=∠ H<∠ HAC,∴ AC<CH 2

∵ AG<AC,∴ AG<GH 又 AH>AG,AH>GH 此时,△ AGH 不可能是等腰三角形;

1 BC 时,G 为 BC 的中点,H 与 C 重合,△ AGH 是等腰三角形; 2 9 9 2 ,即 x= 2 此时,GC= 2 2 1 当 CG> BC 时,由(1)可知△ AGC∽ △ HGA 2
当 CG= 所以,若△ AGH 必是等腰三角形,只可能存在 AG=AH 若 AG=AH,则 AC=CG,此时 x=9 综上,当 x=9 或

9 2 时,△ AGH 是等腰三角形. 2

9. (1)解:∵ 四边形 EFGH 为矩形 ∴ EF∥ GH ∴ ∠ AHG=∠ ABC 又∵ ∠ HAG=∠ BAC ∴△ AHG∽ △ ABC (2)由(1)得 可得 ∴
AM HG ? ; AD BC

AM HG ? ; 设 HE=x,则 HG=2x,AM=AD-DM=AD-HE=30-x AD BC

30 ? x 2 x ? ,解得,x=12 , 2x=24 30 40

所以矩形 EFGH 的周长为 2× (12+24)=72cm.

10、(1)证明:在△ ABQ 中,由于 DP∥ BQ, ∴ △ ADP∽ △ ABQ, ∴ DP/BQ=AP/AQ. 同理在△ ACQ 中,EP/CQ=AP/AQ. ∴ DP/BQ=EP/CQ.

(2)

2 . 9

(3)证明:∵ ∠ B+∠ C=90° ,∠ CEF+∠ C=90° . ∴ ∠ B= ∠ CEF, 又∵ ∠ BGD=∠ EFC, ∴ △ BGD∽ △ EFC. ∴ DG/CF=BG/EF, ∴ DG· EF=CF· BG 又∵ DG=GF=EF,∴ GF2=CF· BG 由(1)得 DM/BG=MN/GF=EN/CF∴ (MN/GF)2=(DM/BG)· (EN/CF) ∴ MN2=DM· EN


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