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西藏拉萨中学2016届高三数学第六次月考试题 理


拉萨中学高三年级(2016 届)第六次月考理科数学试卷
(满分 150 分,考试时间 120 分钟,请将答案填写在答题卡上) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.设集合 A ? x x ? 2 , B ? ? x y ? A.[1,2] B.[0,2]

?

?

? ? ?

?

x ? ? ? ,则 A ? B( x ?1 ? ?
D.[-1.0)



C. (1,2]

2 2.已知 m ? R , “ m ? 1 ”是“复数 z ? m ? mi ? 1 为纯虚数”的(



A.充分但不必要条件 C.充要条件 3.函数 y ? 2sin x 的最小正周期为( A.

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) C.

? 2

B. ?

? 4

D.2 ?

4.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和 解答题这 3 种题型进行改编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( ) A.150 B.180 C.200 D.280 5.已知函数 f ( x) 定义在区间 [?3 ? m,m2 ? m] 上的偶函数( m ? 0 ) ,且
2 ? ? x ? 1, ( x ? 0) f ( x) ? ? )( ) ,则 f (2016 f ( x ? m ), ( x ? 0 ) ? ?

A.1 B.2 C.9 D.10 6.如图为某几何体的三视图,求该几何体的体积(



A.36

B.24

C.12

D.9

1

? ? x ? y ? 1 ? 0, 2 ? 1? 1 ? 7.若不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 表示的区域Ω ,不等式 ? x ? ? ? y 2 ? 表示的区域为Γ ,向Ω 2? 4 ? ? 1 ?y ? ? 0 2 ?
区域均匀随机撒 360 颗芝麻,则落在区域Γ 中芝麻数约为( ) A.114 B.10 C.150 D.50 8.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为-4 时,则条件框内应填写(



A. i ? 3 ? C. i ? 4 ?

B. i ? 5 ? D. i ? 4 ? )

9.已知直线: y ? kx ? k ? 1 与曲线 C : x2 ? 2 y 2 ? m 恒有公共点,则 m 的取值范围是( A. m ? 3 B. m ? 3 C. m ? 3 D. m ? 3

10.直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面是正三角形,三棱柱的高为 3 ,若 P 是△ A1B1C1 中心, 且三棱柱的体积为 A.

? 6

9 ,则 PA 与平面 ABC 所成的角大小是( 4 ? ? 2? B. C. D. 3 4 3



11.已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1、F2,点 A 在 C 上, 若F 2F 1 ? 1A ? 2 F 2 A ,则 cos ?AF ( ) A.

1 4

B.

1 3

C.

2 4

D.

2 3

2

12.已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ln x(a ? R) , g ( x) ? ? x ?
3

5 2 x ? 2 x ? 6 , g ( x) 在[1,4]上的 2


最大值为 b ,当 x ? ?1,??? 时, f ( x) ? b 恒成立,则 a 的取值范围( A. a ? 2 B. a ? 1 C. a ? ?1 D. a ? 0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.总体编号为 01,02,?19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取 方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为 7816 3204 6572 9234 0802 4936 . 6314 8200 0214 3623 4319 4869 9714 6938 0198 7181

14.在四边形 ABCD 中, AB // CD , AB ? BC ? 0 , AB ? 2 BC ? 2CD ? 2 ,则 AD 在 CA 上 的投影为 .

15.已知数列 ?an ? , ?bn ?满足 a1 ?

1 bn ? , an ? bn =1, bn ?1 ? , n ? N ,则 b2016 2 2 1 ? an



16.过双曲线

x 2 y2 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切 线,切点 2 a b
1 (OF ? OP ) ,则双曲线的离 2

为 E,延长 FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P,O 为坐标原点,若 OE ? 心率为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。

17. (本题 12 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? 2an ? n ? 1 , n ? N ,
?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 bn ?

1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn . n(an ? 2n ?1 ? 2)

18. (本题 12 分)某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包 活动的同学进行调查,按照使用手机系 统不同(安卓系统和 IOS 系统)分别随机抽取 5 名同学进行问卷调查,发现他们咻得红包总金额 数如下表所示: 手机系统 安卓系统(元) 一 2 二 5 三 3 四 20 五 9

3

IOS 系统(元)

4

3

18

9

7

(1)如果认为“咻”得红包总金额超过 6 元为“咻得多” ,否则为“咻得少” ,请判断手机系统 与咻得红包总金额的多少是否有关? (2)要从 5 名使用安卓系统的同学中随机选出 2 名参加一项活动,以 X 表示选中的同学中咻得 红包总金额超过 6 元的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E ( X ) . 下面的临界值表供参考:

p( K 2 ? k )
k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

独立性检验统计量 K 2 ?

n(ad ? bc)2 其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本题 12 分) 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 是菱形,ADNM 是矩形, 平面 ADNM ⊥平面 ABCD ,∠DAB=60°, AD ? 2, AM ? 1, E 是 AB 的中点.

(1)求证: AN ∥平面 MEC ; (2)在线段 AM 上是否存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为 若不存在,请说明理由. 20. (本题 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中, E ? , F ? 两点的坐标分别为 (0, 3 ) , (0,? 3) , 动点 G 满足:直线 E ?G 与直线 F ?G 的斜率之积为 ?

? ?若存在,求出 AP 的长; 3

3 . 4

(1)求动点 G 的轨迹方程; (2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与(1)中的轨迹分别交于 A , B 两点,求△ OAB 面积的 最小值.
2 21. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? ln x , a ? R 。

(1)若函数 g ( x) ?

x2 ?1 ? ? ax ? f ( x) ,求 g ( x) 在区间 ? , e? 上的最大值; 2 ?e ?

4

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? x2 ,是否存在实数 a ,当 x ? ?0, e? ( e 是自然常数)时,函数 g ( x) 的最 小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; 请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本题 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,△ ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 E, ?BAC 的平分线与 BC 相交于 点 D , AE ? 2 BD ? 2

(1)求证: EA ? ED ; (2)求 DC ? BE 的值. 23. (本题 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 设倾斜角为 a 的直线: ? ( ? 为参数)相交于不同的两点 A , B . (1)若 a ?

? x ? 2 ? t cosa

? y ? 3 ? t sin a

(t 为参数) 与曲线 C : ?

? x ? 2 cos? ? y ? sin ?

?
3

,求线段 AB 的长度;

(2)若直线的斜率为

5 2 ,且有已知点 P(2, 3 ) ,求 PA ? PB ? OP . 4

24. (本题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a . (a ? 1) (1)若不等式 f ( x) ? 2 的解集为 ? x x ?

? ?

1 5? 或 ? ? ,求 a 的值; 2 2?

(2) , ?x ? R, f ( x) ? x ? 1 ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

5

高三第六次月考数学(理科)参考答案 1.C2.A 3.B4.A5.D. 6.C7.A8.D9.A10.C 11.B12.B

13.01

14.

15.

16.

17. (1)

; (2)

【解析】 (1)∵ ∴数列

,∴

,∴ ,∴

, .

是以 1 为首项 ,2 为公比的等比数列,∴

(2)由(1)可得 ∴

. 【命题意图】本题考查等比数列通项公式的求法,考查构造数列的方法的应用,意在考查分析问 题、解决问题的能力、基本运算能力. 18. (1)有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关; (2) 0 的分布列为 1 2

【解析】 (1)根据题意列出 咻得多少 手机系统 安卓 IOS

列联表如下: 咻得多 2 3 咻得少 3 2

6

, 所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金 额的多少有关. (2)随机变量 的所有可能取值为 ,

; 故 的分布列为 0 1 2

;

【命题意图】本题考查独立性检验,期望公式等基础知识,意在考查学生的统计思想和基本的运 算能力.

19. (1)见解析; (2)在线 段

上不存在点

,使二面角 ,

的大小为



【解析】 (1 )证明:由已知, MN∥AD∥BC,连接 设 又 所以四边形 又 因为 所以 是 与 交于 ,连结 , 是平行四边形, 的中点,所以 AN∥EF. ? 平面 ∥平面 , . ?平面 , 是 ,如图所示.

的中点.

(2)如图所示,假设在线段

上存在点

,使二面角

的大小为



7

延长 因为四边形 所以 又 所以

交于点

,过





,连接 ,



是矩形,平面 ,又 ,所以 , 为 ? 平面 ⊥平面

⊥平面 ,所以 , 的二面角.

⊥平面



由题意,知 在△ 则 = 中,



. , ,

所以





又在 Rt△PAH 中,









×tan





所以在线段

上不存在点

,使二面角

的大小为



【命题意图】本小题主要考查空间面面垂直的判定,二面角等基础知识,考查空间想象能力,推 理论证能力,运算求解能力,易错点是二面角是钝角还是锐角的判断.

8

20. (1) 【解析】( 1 )已知

; (2) ,设动点 的坐标 ,所以直线 的斜率

,直线

的斜率



),又

,所以

,即 (2)设 ,



直 线

的 方 程 为

与 椭 圆

联 立 消 去





,把

, 代入得

整理得

,所以

到直线

的距离 ,

( 8 分)

当且仅当

时取“=”号.

9



即弦

的长度的最小值是

所以三角形的最小面积为



【命题意图】本题考 查轨迹方程求解,椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,几何问题构建代数 方法解决等基础知识,意在考查学生转化与化归能力,综合分析问题,解决问题的能力,推理能 力和运算能力.

21. (1)

; (2)存在实数

,使得当



有最小值 3

【解析】 (1)易知



,当

,有

;当

,有



在区间

上是增函数,在

上为减函数,

当 x=1 时,g(x)在在区间 (2)假设存在实数 ,使

上有最大值,最大值为 (



)有最小值 3,

①当

时,



上单调递减,



(舍去) ,

②当

时,



上单调递减,在

上单调递增



,满足条件.

10

③当

时,



上单调递减, 时 有最小值 3.



(舍去) ,

综上,存在实数

,使得当

【命题意图】本题考查导数的几何意义,函数的零点,利用导数研究单调性,构建新函数的思想, 分类讨论的思想等基础知识,意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题,解决问题以及运算 求解能力,逻辑思维能力. 22. (1)见解析; (2)2 【解析】 (1)∵ 而 . , ,

(2) ,

,又 ,即 由(1)知 ,

, ,

.根据已知条件,



,所以



【命题意图】本小题主要考查四点共圆的判断,切割线定理,意在考查学生平面几何推理证明和 逻辑思维能力.

23. (1)

; (2)见解析

【解析】 (1)由曲线



的普通方程是

.当

时,直线方程



(t 为参数) ,代入曲线

的普通方程

,得

,则线段

11

的长度为



(2)将 得

代入曲线

的普通方程 ,



因为



而直线的斜率为



代入上式求得



已知点 所以

,所以

【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,涉及极 坐标方程与平面直角坐标 方程的互化、参数方程与普通方程的互化,利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点 的距离等内容.意在考查转化与化归能力、基本运算能力,方程思想与数形结合思想. 24. (1) ; (2) .

【解析】 (1)



时,



时, 综上得: (2)由 .



可得



12

当 当 当 综上

时,只要 时,只要 时,只要 .

恒成立即可,此时只要 恒成立即可,此时只要 恒成立即可,此时只要

; ; ,

【命题意图】本小题主要考绝对值不等式的解法,恒成立问题,意在考查学生综合分析问题解决 问题的能力以及运算求解能力,逻辑思维能力,化归与转化思想.

13


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