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圆锥曲线 例题 测试题


圆锥曲线中的方法与运算

1. (与名师对话第 51 练) 已知抛物线 y ? 2 x ? 1 ,点 A ( 2 , 0 ) , 问是否存在过点
2

A 的直线 l ,

使抛物线上存在不同的两点关于直线 l 对称,如果存在, 求出直线 l 的斜率 k 的取 值范围; 如果不存在,请说明理由. 分析: 这是一

个求变量(斜率 k )的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率 k )相关的 变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换 得到. 我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线 l 对称的不同的两点所在直线必须 与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线 l 上. 相应得到一个不等 式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量 k 的取值范围. 解: 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2 ) ,若 k ? 0 ,则结论显然成立,即 k ? 0 可取.若 k ? 0 ,
1 ? ? y ? ? x ? m, 2 则直线 PQ 的方程为 y ? ? x ? m , 由方程组 ? 可得, y ? 2 y ? 2 kb ? 1 ? 0 . k k ? y 2 ? 2 x ? 1, ?

1

∵ 直线 PQ 与抛物线有两个不同的交点, ∴ ? ? 4 k ? 4 ( ? 2 kb ? 1) ? 0, 即 k ? 1 ? 2 kb ? 0 .
2
2

设线段 PQ 的中点为 G( x 0 , y 0 ), 则 y 0 ? ∴ x0 ? ? k (
y1 ? y 2 2

y1 ? y 2 2
2

? ?k ,

) ? km ? ? k (? k ) ? km ? k ? km ,
1? k k
2

∵ 点 G( x 0 , y 0 )在直线 l 上, ∴ ? k = k ( k ? km ? 2 ) , 由 k ? 0 可得, m ?
2

,

∴ k ? 1 ? 2k
2

1? k k

2

? 0 , k ? 1 ( k ? 0 ) , ∴ ?1 ? k ? 0 或 0 ? k ? 1 .
2

综上所述, 直线 l 的斜率 k 的取值范围为 ? 1 ? k ? 1 . 2. (与名师对话第 51 练)已知椭圆 E : 4 x ? 5 y ? 8 0 , 点 A 是椭圆与 y 轴的交点, F 为椭
2 2

圆的右焦点, 直线 l 与 椭圆交于 B,C 两点. (1) 程; (2) 若 A B ? A C ? 0 , D 在 B C 上,且 A D ? B C ? 0 ,求动点 D 的轨
??? ???? ? ???? ????

若点 M 满足 O M ?

???? ?

? ???? ? 1 ??? ???? ???? ( O B ? O C ), A F ? 2 F M ,求直线 l 的方 2

1

迹 方程. 分析: 题(1)是个定状态的问题: 由 A F ? 2 F M 可知,点 M 是定点,且由
???? ? ? 1 ??? ???? O M ? ( O B ? O C ) 是线段 BC 的中点, 由此可求得直线 BC 即直线 l 的方程. 2
???? ???? ?

解(1) 由椭圆 E : 4 x ? 5 y ? 8 0 可知 A(0,4), F(2,0).
2 2

∵ A F ? 2 F M , ∴ (2,0)-(0,4)=2[( x 0 , y 0 )-(2,0)], ∴ x 0 ? 3, y 0 ? ? 2, 即 M(3,-2). ∵ OM ?
???? ? ? 1 ??? ???? ( O B ? O C ) , ∴ 点 M 是线段 BC 的中点, 2
6 5
k 法,④设而不求法求得).

????

???? ?

∴ 直线 BC 即直线 l 的斜率为

. (可以有四中方法:① k 0 F k l ? ?

a b

2 2

,②点差法,③设

∴ 直线 l 的方程为 y ?

6 5

( x ? 3) ? 2 ,即 6 x ? 5 y ? 2 8 ? 0 .

分析: 题(2)是一个动状态的问题:①点 D 随 AB 的变化而变化,从而点 D 的坐标是刻画直 线 AB 的变化的量的参数(斜率 k )的函数, ②可设 BC 的方程为 y ? kx ? b (k 存在), 从而点 M 是直线 AM(直线 AD 用参数 k 刻画)与直线 BC 的交点,在由 ? B A C 是 直角得参数 k 与 b 的关于式,消参数 k 与 b 即得点 D 的方程. 解法(一) 设直线 AB 的斜率为 k ,则直线 AC 的斜率为 ?
1 k

.

直线 AB 的斜率为方程为 y ? kx ? 4 ,由方程组 ?

? y ? kx ? 4, ? 4 x ? 5 y ? 80,
2 2

可得, (5 k ? 4 ) x ? 4 0 kx ? 0,
2 2

∴ xB ? ?

40k 5k ?4
2

, yB ?
2

16 ? 20k 5k ? 4
2

2



同理得 x C ?

40k 4k ? 5
2

, yC ?

16k ? 20
2

4k ? 5
2

.

16 ? 20k

∴ k BC ?

5k ? 4 ?40k
2

? ?

16k ? 20
2

4k ? 5 ?40k
2

?

? 4 ( k ? 1)
2



9k

5k ? 4
2

4k ? 5
2

∴ 直线 BC 的方程为, y ?

? 4 ( k ? 1)
2

(x ?

40k 5k ?4
2

)+

16 ? 20k 5k ? 4
2 2

2



9k ? 4 ( k ? 1)
2

y ?

x?

1 6 0 ( k ? 1)
2

9k

9 (5 k ? 4 )
2

?

16 ? 20 k 5k ? 4
2

2

,y ?

? 4 ( k ? 1) 9k

x?

4 (5 k ? 4 )
2

9 (5 k ? 4 )
2



2

y ?

? 4 ( k ? 1)
2

x?

4 9

.

9k



直线 AD 的方程为, y ? ?

9k 2 ( k ? 1)
2

x? 4,

∴ 由 y?
4 9

2 ( k ? 1)
2

x?

4 9

与 y ??
16 9

9k 2 ( k ? 1)
2

x?4 移 项 相 乘 消 去 k

可 得

9k

(y ?

)( y ? 4 ) ? ? x , 即 x ? ( y ?
2 2

) ? (
2

20 9

)

2

( y ? 4) .

说明: 本解法用的是参数法中的特殊方法--------交轨法. 解法(二): 设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , 则直线 AD 的方程为 y ? ? (显然由方程 y ? k x ? m 和方程 y ? ?
1 1 k x ? 4 消去 k 和 m 即可得点 D 的轨迹方程, 这里 k ???? ???? 我们必须给出 k 和 m 的关系式,将 A D ? B C ? 0 这一几何条件转化为代数形式即可得 k 和 x?4.

m 的关系式)

由方程组 ?

? y ? kx ? m , ? 4 x ? 5 y ? 80,
2 2

可得, (5 k ? 4 ) x ? 1 0 km x ? 5 b ? 8 0 ? 0 ,
2 2 2

设 B ( x1 , y 1 ) , C ( x 2 , y 2 ) , 则 x 1 ? x 2 ? ∵ AD ? BC ? 0 ,
???? ????

? 10 km 5k ? 4
2

, x1 x 2 ?

5m
2

2

5k ? 4

.

∴ AD ? BC ,

∴ x1 x 2 ? ( y 1 ? 4 )( y 2 ? 4 ) ? 0 , x1 x 2 ? ( kx1 ? m ? 4 )( kx 2 ? m ? 4 ) ? 0 ,
(1 ? k ) x1 x 2 ? k ( m ? 4 )( x1 ? x 2 ) ? ( m ? 4 ) ? 0 ,
2 2

(1 ? k )
2

5m
2

2

5k ? 4

+ k (m ? 4)
4 9

? 10 km 5k ? 4
2

? ( m ? 4 ) ? 0 化简得, 9 m ? 3 2 m ? 1 6 ? 0 .
2
2

解得, m ? 4 (舍去)或 ? ?

.
4 9

∴ 方程 y ? k x ? m 即为 y ? k x ? 得, ( y ?
20 9
2 2

, 由方程 y ? k x ?
16 9 ) ? (
2

4 9

和方程 y ? ?

1 k

x ? 4 消去 k

)( y ? 4 ) ? ? x , 即 x ? ( y ?

20 9

)

2

( y ? 4) .
2

3. (与名师对话第 51 练)已知直线 l 过点 M (1,0),且与抛物线 x ? 2 y 交于 A , B 两点,
??? ? ? 1 ??? ? 1 ??? O 为原点,点 P 在 y 轴的右侧且满足: O P ? O A ? O B . 2 2

3

(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 若曲线 C 的切线的斜率为 ? ,满足: M B ? ? M A ,点 A 到 y 轴的 距离为 a ,求 a 的取值范围. 分析:由 O P ?
??? ? ? 1 ??? ? 1 ??? O A ? O B 可知,点 P 的轨迹 C 就是弦 AB 的中点的轨迹. 2 2

????

????

k 解(1) 显然直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为: y ? ( x ? 1),由方程组

k ? y ? ( x ? 1) , 2 消去 y 整理得 x ? 2 kx ? 2 k ? 0 ,设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , ? 2 ? x ? 2 y,
x1 ? x 2 ? 2 k ,

∴ xp ?
y ? x ?x .
2

x1 ? x 2 2

k ? k , y p ? ( k ? 1)? k ? k , 消去 k 得点 P 的轨迹 C 的轨迹方程为:
2

∵ 4k ? 8k ? 0 , ∴ k ? 0 或 k ? 2 ,
2

∵ 点 P 在 y 轴的右侧, ∴ x ? k ? 2 ,故点 P 的轨迹 C 为抛物线 y ? x ? x 上的一段
2

弧. 分析: 点 A 到 y 轴的距离为 a 就是点 A 的横坐标的绝对值.因为曲线 C 的切线的斜率 为 ? ,所以 ? = y ? 2 x ? 1 ,由 x ? 2 知, ? ? 3 ,由此可知,我们必须建立点 A 的横坐标的绝
'

对值关于 ? 的关系. 解(2): 设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 则由 M B ? ? M A 可知, ( x 2 , y 2 ) ? (1, 0 ) = ? [ ( x1 , y 1 ) ? (1, 0 ) ], ∴ x 2 ? 1 ? ? ( x1 ? 1) , y 2 ? ? y 1 , ∴ x 2 ? ? x1 ? ? ? 1 , x 2 ? ? x1 ,
2 2

????

????

∴ [ ? x1 ? ( ? ? 1)] ? ? x1
2

2

∵ ? ?1, ∴ ? x1 ? 2 ? x1 ? ? ? 1 ? 0 ,
2

方法(一) x1 ?

2? ? 2?
1

4?

? 1?

1

?

, ( ? ? 3 ),

∴ a ? x1 ? 1 ?

?

( ? ? 3) ,

4

∴ a ? (1 ?

3 3

,1) ? (1,1 ?

3 3

).

方法(二) ( x1 ? 1) ?
2

1

?

, ( ? ? 3 ),
1 3

∴ 0?

1

?

?

1 3

,

0 ? ( x1 ? 1) ?
2

,

∴ x1 ? 1 且 1 ?

3 3

? x1 ? 1 ?

3 3

)

∴ a ? (1 ?

3 3

,1) ? (1,1 ?

3 3

).

4. (与名师对话第 51 练) 已知抛物线的方程为 x ? 2 p y
2

( p ? 0 ) ,过点 M (0, m ) 且倾斜

角 为 ? (0< ? <
?
2

)的直线交抛物线于 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 两点,且 x1 x 2 ? ? p .
2

(1)求 m 的值; (2)若点 M 分 A B 所成的比为 ? ,求 ? 关于 ? 的函数关系式. 分析: 要求 m 的值,必须给出关于 m 的方程. 解(1): 设过点 M (0, m ) 且倾斜角为 ? (0< ? <
? y ? k x ? m, ? x ? 2 p y,
2
2

??? ?

?
2

)的直线的方程为 y ? k x ? m .

由方程组 ?

消去 y 整理得 x ? 2 p kx ? 2 p m ? 0 , 则 x1 x 2 ? ? 2 p m ,
2 2

∵ x1 x 2 ? ? p , ∴ ? 2 p m ? ? p , 分析: 由 m ?
p 2

m ?

p 2

.
?
2

可知过点 M (0, m ) 且倾斜角为 ? (0< ? <

)的直线为 y ? k x ?

p 2

.先

建立关于 k 的函数关系式,再转换为关于 ? 的函数关系式. 解(2): ∵ 关于 ? 的函数关系式,
???? ? ???? p p ∴ A M ? ? M B , (0 , ) ? ( x1 , y 1 ) ? ? [( x 2 , y 2 ) ? (0 , )] , 2 2
? x1 ? ? ? x 2 , ? ? p p ? ? y 1 ? ? ( y 2 ? ), ?2 2

由(1)可知 x1 ? x 2 ? 2 p k , x1 x 2 ? ? p ,
2

? x1 ? ? ? x 2 , ? 2 2 由方程组 ? x 1 ? x 2 ? 2 p k , 可消去 x1 , x 2 , p 得, ? ? 2 ( 2 k ? 1) ? ? 1 ? 0 . ? 2 ? x1 x 2 ? ? p ,

∵ 0< ? <

?
2

,

∴ ? ?1,

5

故 ? ? 2 k ? 1 ? 2 k k ? 1 = 2 ta n ? ? 1 ? 2 ta n ?
2 2
2

ta n ? ? 1 ?
2

(1 ? s in ? ) cos ?
2

2

=

1 ? s in ? 1 ? s in ?

.

5. ( 与 名 师 对 话 第 51 练 ) 已 知 方 向 向 量 为 v ? (1, 3 ) 的 直 线 l 过 点 (0,-2) 和 椭 圆
x a
2 2

?

C:

?

y b

2 2

?1

( a ? b ? 0 ) 的焦点, 且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C

的右准线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在过点 E(-2,0)的直线 m 交椭圆 C 于 M , N ,满足: O M ? O N ?
co t ? M O N

???? ???? ?

4 3

6

? 0 (O 为原点 ) ? 若存在,求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.

6.(与名师对话第 52 练 20) 椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1 ,F 是它的左

18

9

焦点,M 是椭圆 C 上的一个动点,O 为坐标原点. (1) 求 ? O F M 的重心 G 的轨迹方程; (2) 若 ? O F M 的重心 G 对原点和点 P(-2,0)的张角 ? O G P 最大, 求点 G 的坐标.
0 解(1): 设点 G ( x , y ) (y ? 0) , M(x1,y1)由题设可知,F( ? 3 2, )

则x ?

x1 ? 3 3

,y ?

y1 3

, ∴ x1 ? 3 x ? 3, y 1 ? 3 y ,
2



( x ? 1) 2 ? y ? 1 ( y ? 0 ). ? O F M 的重心 G 的轨迹方程为 2 ( x ? 1)
2

(2) 由(1)可知, 原点和点 P(-2,0)是椭圆

? y ? 1 的两个焦点.下面证明当点 M
2

2 ( x ? 1)
2

与椭圆

? y ? 1 的短轴的端点重合时张角 ? O G P 最大.
2

2

方法(一) 用椭圆的定义 设椭圆 C 上的一个动点 M 到椭圆的两个焦点的距离为 r1 、 r 2 ,则由椭圆的定义可知
r1 + r 2 =2 2 .
r1 ? r 2 ? OP 2 r1 r 2
2 2 2

在 ? MOP 中, COS ? OGP ?

=

r1 ? r 2 ? 4 2 r1 r 2

2

2

=

( r1 ? r 2 ) ? 4 ? 2 r1 r 2
2

2 r1 r 2

6

=

(2

2 ) ? 4 ? 2 r1 r 2
2

=? 2 ?

4 r1 r 2

? ? 2?

4 ( r1 ? r 2 ) 4
2

2 r1 r 2

(当且仅当 r1 ? r 2 时,等于号成立)

=0 ∴ 当 r1 ? r 2 ,即点 M 与短轴的端点重合时张角 ? O G P 最大, 最大角为 90 ,这时点 M
0

的坐标为(-1,1)、 (-1,-1). 方法(二) 用椭圆的焦半径公式
( x ? 1)
2

将椭圆

? y ? 1 平移到中心在原点的位置,这时椭圆的方程为
2

x

2

? y ? 1 ,原张
2

2

2

角 ? O G P 就 是 在 点 P 处 的 两 条 焦 半 径 的 夹 角 . 设 点 P 的 坐 标 为 ( x 0, y 0 ), 则
2 2 2 2 ( 2 ? x 0) ? ( 2 ? x 0) ? 4 2 x0 1 1 2 2 c o s ? F1 P F 2 ? ? ? = 1 2 1 2 2 2 2 ( 2 ? x0 ) 2 ? ( 2 ? 2 x 0) ( 2 ? x 0) 2 2 x0 2 2 2

x 0 ? [ 0, ] 2
2

( 2 ( 1] 当 x 0 ? 0 时, co s ? F1 P F 2 ? 0 , 当 x 0 ? 0,] 时, co s ? F1 P F 2 ? 0, ,
2

1] 故 co s ? F1 P F 2 ? [0, , ? F1 P F 2 的最大值为 9 0 ,这时相应点 P 的坐标为(0, ? 1),在椭圆
0

的原位置相应点 P 的坐标为(-1, ? 1). 7. (与名师对话第 52 练 21) 已知动点 P 与双曲线 离之和为定值,且 c o s ? F1 P F 2 的最小值为 ? (1) 求动点 P 的轨迹方程; (2) 若已知点 D (0,3),点 M , N 在动点 P 的轨迹上,且 D M ? ? D N ,求实 数 ? 的取值范围; (3) 若已知点 D (1,1), 点 M , N 在动点 P 的轨迹上,且 M D ? D N ,求直线
M N 的方程.

x

2

?

y

2

2

3

? 1 的两个焦点 F1, F 2 的距

1 9

.

?????

????

???? ?

????

分析: 由题设可知, 动点 P 的轨迹是以双曲线

x

2

?

y

2

2

3

? 1 的两个焦点 F1, F 2 为其焦点

的椭圆,因此动点 P 的轨迹方程可以用待定系数法求得. 解(1): 由题设可知, 动点 P 的轨迹是以双曲线
x
2

?

y

2

2

3

? 1 的两个焦点 F1, F 2 为其焦点

7

的椭圆,设其方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ).

可 以 证 明 ( 仿 例 6) 当 动 点 P 在 椭 圆 的 短 轴 的 端 点 时 c o s ? F1 P F 2 的 值 最 小 , 这 时
2a ? 20
2

c o s ? F1 P F 2 ?

2a

2

? 1?

10 a
2

, ∴ 1?

10 a
2

? ?

1 9

, a ?9.
2

∴ b ?4,
2

∴ 动点 P 的轨迹方程为
????? ????

x

2

?

y

2

? 1.

9

4

分析: 由 D M ? ? D N 可知, 点 D , M , N 共线, 直线 MN 的变化可以用其斜率表示(直线 的方程为 y ? kx ? 3, 这时要 k 作讨论),也可以用 t 表示(直线的方程为 x ? t ( y ? 3) ,这时不需 要对 t 作讨论).下面用直线方程 y ? kx ? 3 求解. 解法(一): 由 D M ? ? D N 可知, 点 D , M , N 共线. 若直线 MN 的斜率不存在,则 ? ?
1 5 或? ? 5.

?????

????

若直线 MN 的斜率存在,设直线 MN 的方程为 y ? kx ? 3, 则由方程组 ? 可得,
(9 k ? 4 ) x ? 5 4 kx ? 4 5 ? 0 ,
2 2

? y ? k x ? 3, ? 4 x ? 9 y ? 36,
2 2

设 M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 又由 D M ? ? D N 可得, x1 ? ? x 2 , ∴ x1 ?
?
(1 ? ? )
2

?54k 9k ? 4
2

, x1 x 2 ?

45 9k ? 4
2

.

?????

????

?54k (1 ? ? )9 k ? 4
2

, x2 ?

?54k ? (1 ? ? )9 k ? 4
2

,



(5 4 k ) ?
2

(1 ? ? ) (9 k ? 4 )
2 2

2

?

45 9k ? 4
2



?

5 324
2

?

9k ? 4
2

k

2

?

5 324

? (9 ?

4 k
2

).

∵ ? ? (5 4 k ) ? 4 ? 4 5(9 k ? 4 ) ? 0 , ∴ k ?
2

2

5 9

.



5 36

?

?
(1 ? ? )
2

?

1 4

, ∴

1 5

? ? ? 5且 ? ?

1 5

,5 ,

8

综上所述,

1 5

? ? ? 5.

分析:用点 M , N 的坐标表示直线 MN 的变化. 解法(二): 由 D M ? ? D N 可知, 点 D , M , N 共线.
x1 9
2

?????

????

设 M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,则
????? ????

?

y1 4

2

? 1,

x2 9

2

?

y2 4

2

? 1.

∵ D M ? ? D N , ∴ x1 ? ? x 2 , y 1 ? ? y 2 ? 3 ? ? 3 , ∴
? x2
2 2

?

( ? y 2 ? 3 ? ? 3) 4
2

2

? 1,

? x2
2

2

?

? y2
2

2

? ? .
2

9 ( ? y 2 ? 3 ? ? 3) 4

9

4
3( 2 ? y 2 ? 3 ? ? 3)(1 ? ? ) 4



?

? y2
2

2

?1? ? ,
2

? 1? ? ,
2

4

∴ ? ?1或

3( 2 ? y 2 ? 3 ? ? 3) 4
2

? 1 ? ? , ?2 ? y2 ?

1 3? ? 5 6?

? 2 , ? ? 0 解得

1 5

? ? ? 5.

( 8. 抛物线 C 的方程为 y ? a x ( a ? 0 ) ,过抛物线 C 上一点 P x 0, y 0) ( x 0 ? 0 )作斜率

为 k 1, k 2 的两条直线分别交抛物线 C 于 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 两点( P 、 A、 B 三点各不相同), 且满足 k 2 ? ? k 1 ? 0( ? ? 0 且 ? ? - 1 ). (1) 求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (2) 设直线 A B 上一点 M 满足: B M ? ? M A ,证明线段 P M 的中点在 y 轴上; (3)当 ? ? 1 时,若点 P 的坐标为(1,-1),求 ? P A B 为钝角时点 A 的纵坐标 y 1 的取值范 围. 分析: 将 a 看作常量. 解(1): 抛物线 C 的方程为 x ?
2

???? ?

????

1

1 y ( a ? 0 ) , 故抛物线 C 的焦点坐标为( 0 , ),准线方 a 4a

程为 y ? ?

1 4a

.

分析: 从形式上看, 线段 P M 的中点坐标与 k 1、 k 2、 ? 相关,而实际上肯定横坐标可以 消元为 0.
( 解 (2): 由 题 设 可 知 , 直 线 P A 的 方 程 为 : y ? k 1 x ? x 0)? y 0 , 由 方 程 组

( ? y ? k 1 x ? x 0)? y 0, 2 2 2 可得, a x ? k 1 x ? k 1 x 0 ? y 0 ? 0 ,即 a x ? k 1 x ? k 1 x 0 ? a x 0 ? 0 , ? 2 y ? ax , ?

9



x1 ?

k1 a

? x0 ,

同理 x 2 ?

k2 a

? x0 ,

???? ? ???? ∵ BM ? ? M A ,

( ∴ x M ? x 2 ? ? x1 ? x M ), x M ?

? x1 ? x 2
1? ?

? (

k1 a

? x 0)( ? 1? ?

k2 a

? x 0)

=

∵ k 2 ? ? k 1 ? 0( ? ? 0 且 ? ? - 1 ), ∴ x M ? - x 0 , ∴ 线段 P M 的中点横坐标为 0, 即线段 P M 的中点在 y 轴上. 分析:
( 解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线 C 的方程为 y ? ? x , x1 ? ? k 1 ? 1) ? ? 1 ,故 ,又
2

x 2 ? k1 ? 1 ,

( ( ∴ A ? k 1 ? 1) , - ( k 1 ? 1)), B( k 1 ? 1, - ( k 1 ? 1))
2 2

( 4 ( ∴ A B ? 2 k 1, k 1), A P ? k 1 ? 2, k 1 ? 2 k 1) ,
2

??? ?

??? ?



?PAB 为 钝 角 ,
2

P 、 A、 B 三 点 各 不 相 同 ,
2



??? ??? ? ? A P ? A B ? 0, 即 有

( ( 2 k 1, k 1) k 1 ? 2, k 1 ? 2 k1)? 0 , 2 k 1 ( k 1 ? 2 ) ? 4 k 1 ( k 1 ? 2 k 1 ) ? 0 , k 1 ( k 1 ? 2)(2 k 1 ? 1) ? 0 4 ?

∴ k1 ? ? 2 或 ?

1 2
2

? k1 ? 0 , k1 ? ? 2 或 ?
1 4

∴ y 1 ? ( k 1 ? 1) ,

1 2

? k1 ? 0 ,

∴ y 1 ? ? 1或 ? 1 ? y 1 ? ?

.
5)且 方 向 向 量 为

( ? 9. 已 知 椭 圆 C 的 中 心 在 原 点 , 焦 点 在 X 轴 上 , 一 条 经 过 点 3,

? ???? ? ???? a ? ? 2, 5) ( 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,交 X 轴于 M 点,又 A M ? 2 M B .

(1) 求直线 l 的方程; (2) 求椭圆 C 的长轴长的取值范围. 解(1): 直线 l 的方程为 y ? ?
5 ( x ? 3)? 2 5 .

分析: “直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点”可以转化为一个关于 a, b 的不等式, 向量等式 A M ? 2 M B 可以转化为一个关于 a, b 的等式. 解(2):
???? ? ????

10

? 5 4 2 4 2 ? y ? ? ( x ? 3)? 5 , 2 2 2 2 2 ( b ? a )y ? b y?b ?a b ? 0. 由方程组 ? 可得 2 5 5 ?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 , ?

4

b

2

设设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 则 y 1 ? y 2 ?
???? ? ????

5 4 5 b ?a
2 2

,y 1 y 2 ?

b ?a b
2 2

2

.
2

4 5

b ?a
2

由 A M ? 2 M B 可知, y 1 ? 2 y 2 ,
? 4 5 4 5 b ?a
2
2

b

2

8

b

2

32

b

2

∴ y1 ?

, y2 ?
2

5 4 5 b ?a
2 2

,




5 4 5 b ?a )
2 2 2

?

b ?a b
2 2

2

4 5

,
2

b ?a
2

∴ 4b ?
2

5 a( a ? 1) ? 0 2 9?a
2

∵ ? ? (?

4 5

b ) ? 4(
2 2

4 5

b ? a )( b ? a b ) ? 0 , ∴ 5 a ? 4 b ? 5 ,
2 2 2 2 2
2 2



? 5 a ( a ? 1) ? 0, ? 2 ? 9?a ? 5 a 2 ? 4 b 2 ? 5, ?
2 2



? 5 a ( a ? 1) ? 0, ? ? 9 ? a2 ? 2 2 ? 5 a 2 ? 5 a ( a ? 1) ? 5, 2 ? 9?a ?
2 2
2 2

1? a ? 9.
2



b ? a , ∴
2 2

4b ?
2

5 a( a ? 1) 2 ? 4a , 2 9?a
41 3



a ?
2

41 9

或a ? 9 ,
2

∴ 1? a ?
2

41 9

,

1? a ?

,



2 ? 2a ?

2

41 3

,即椭圆 C 的长轴长的取值范围为 ( 2 ,

2

41 3

).

10.自点 A (0 , ? 1) 向抛物线 C: y ? x 作切线 AB,切点为 B ,且点 B 在第一象限,再过线
2

段 AB 的中点 M 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 E,F,直线 AE,AF 分别交抛物线 C 于 P,Q 两点. (1) 求切线 AB 的方程及切点 B 的坐标; (2) 证明 P Q ? ? A B ( ? ? R ) . 解 (1): 设 切 点 B 的 坐 标 为 ( x 0 , y 0 ) , 过 点 B 的 切 线 的 方 程 为
???? ??? ?

11

y ? 2 x0 ( x ? x0 ) ? x0 ,
2



, 切线过点 A ( 0 ? 1,)



? 1 ? 2x 0 ( ?x 0 ) ? x 0 ,
2

x0 ? 1 ,

∵ 点 B 在抛物线上, ∴ y 0 ? 1 , ∴ 切线 AB 的方程为 y ? 2 x ? 1 , 切点 B 的坐标为(1,1).

分析: 即证明 A B ∥ P Q . (2) 证明: 由(1)可知, 线段 AB 的中点 M 的坐标为 ( , 0 ) ,设直线 l 的方程
2 1

为 y ? k (x ?

1 2

) , E ( x1 , x1 ) , F ( x 2 , x 2 ) , P ( x 3 , x 3 ) , Q ( x 4 , x 4 ) .

2

2

2

2

1 ? ? y ? k ( x ? ), 由方程组 ? 2 ? y ? x2, ?

可得 x ? m x ?
2

1 2

m ?0 ,

故 x1 ? x 2 ? m , x1 x 2 ?

1 2

m .

???? 2 2 P Q ? ( x 4 ? x 3 , x 4 ? x 3 ) ? ( x 4 ? x 3 )(1, x 4 ? x 3 ) .
x3 ? 1
2

∵ A,E,P 三点共线, ∴
????

=

x1 ? 1
2

x3

x1
x1 ? x 2 x1 x 2

, x1 x 3 ? 1 , 同理 x 2 x 4 ? 1 ,
x1 ? x 2 x1 x 2 2 ( x1 ? x 2 ) m

∴ PQ ? (
??? ?

1 x2

?

1 x1

)(1,

1 x2

?

1 x1

)=

(1,

)?

(1, 2 )

由 A B ? (1, 2 ) 可知, P Q ? ? A B ( 其 中 ? ?
x a
2 2

????

??? ?

2 ( x1 ? x 2 ) m

? R).

11. 设双曲线

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的右顶点为 A, P 为双曲线上异于点 A 的一个动点,

从 A 引双曲线的渐近线的两条平行线与直线 OP 分别交于 Q 和 R 两点. (1) 证明:无论 P 点在什么位置,总有 O P
??? ?
2

???? ??? ? ? O Q ? O R (O 为坐标原点);

(2) 若以 OP 为边长的正方形的面积等于双曲线的实,虚轴围成的矩形的面积,求双曲线 的离心率的取值范围. (1) 证明: 设直线 OP 的方程为 y ? kx , 直线 AR 的方程为 y ?
y ? ? b a
b ? ??? ? ? ab ? kab ? ab ? kab ? y ? ( x ? a ), , ) , ∴ OR =( , ), 由方程组 ? 得 R( a ak ? b ak ? b ak ? b ak ? b ? y ? kx, ?

b a

( x ? a ) , AQ 的方程为

(x ? a) .

12

同理 O Q = (

????

ab

ak ? b ak ? b
( ? ab ,

,

kab

),
? kab ? ab ? kab

???? ??? ? ∴ OQ ?OR =

ak ? b ak ? b

) ? (

ak ? b ak ? b

,

)

=

a b (1 ? k )
2 2 2

a k ?b
2 2

2

.

设 P (m , n) ,
?x y 2 2 2 2 2 ? ? 1, a b k a b ? 2 2 由方程组 ? a 2 b 2 得m ? 2 ,n ? 2 2 2 2 2 b ?a k b ?a k ? y ? kx, ?
2 2

∴ OP =

??? ?

2

a b (1 ? k )
2 2 2

b ?a k
2 2

2

.
??? ?
2



2 2 2 直线 OP 过原点, ∴ b ? a k ? 0 , ∴ O P

???? ??? ? ? OQ ?OR .

(2) 解: 由题设知,

a b (1 ? k )
2 2 2

b ?a k
2 2

2

= 4ab , k ?
2

4b ? ab
2

ab ? 4a b a
2 2

2

? 0,

又k ?
2

b a

2 2

,



4b ? ab
2

ab ? 4a

2

?

, (恒成立))

解得 a ? 4 b ,



e ?

17 4

.

13


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