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2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学1


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学Ⅰ
参考公式: (1)样本数据 x1 , x2 ,…, xn 的方差 s 2 ?

1 n 1 n 2 xi ? x ? ,其中 x ? ? xi . ?? n i ?1 n i ?1

(2)直棱柱的侧面积 S ? ch ,其中 c 为底面周长, h 为高. (3)棱柱的体积 V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 ...... 置上. .. 1.已知集合 A ? {?1,1, 2, 4} , B ? {?1,0, 2} ,则 A ? B ? 2.函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是 ▲ . ▲ . ▲ . Read a,b If a>b Then m←a Else m←b End If Print m

3. 设复数 z 满足 i( z ? 1) ? ?3 ? 2i i 为虚数单位) 则 z 的实部是 ( ,

4.根据如图所示的伪代码,当输入 a, b 分别为 2,3 时,最后输出的 m 的值 为 ▲ .

5.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是 ▲ .
2

6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是 10,6,8,5,6,则该组数据的方差 s ? ▲ 7. 已知 tan( x ? .

?
4

) ? 2, 则

tan x 的值为 tan 2 x





y

8.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与 函数 f ( x) ? 的最小值是

2 Q 的图象交于 P 、 两点, 则线段 PQ 长 x
▲ .

? 3
O

7? 12

x

A 9. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) A , , 是常数, ? 0 , ( ? ?

? 2

? ?0) 的部分图象如图所示, f (0) 的值是 ▲ . 则
10.已知 e1 ,e2 是夹角为

??

?? ?

? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 2 ? 的两个单位向量,a ? e1 ? 2e2 ,b ? ke1 ? e2 ,若 a ? b ? 0 , 3
1

则实数 k 的值为





11.已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? ▲ .

?2 x ? a, x ? 1 ,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 a 的值为 ?? x ? 2a, x ? 1

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x) ? e x ( x ? 0) 的图象上的动点,该 图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M , 过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N , 设线段 MN 的 中点的纵坐标为 t ,则 t 的最大值是 ▲ .

13.设 1 ? a1 ? a2 ? … ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a6 成公差 为 1 的等差数列,则 q 的最小值是 14.设集合 A ? ?( x, y) | ▲ .

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R? , 2

B ? ?( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1 , x, y ? R? ,若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范
围是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .

2cos (1)若 sin( A ? ) ? 6

?

1 A ,求 A 的值; (2)若 cos A ? ,b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面

P

ABCD , AB ? AD , ?BAD ? 60? , E , F 分别是

E

AP, AD 的中点.
求证: (1)直线 EF / / 平面 PCD ; (2)平面 BEF ? 平面 PAD .

A

F

D

C
B
2

17. (本小题满分 14 分) 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影 部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重 合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F 在 AB 上,是被切去的 一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设 AE=FB=x(cm) . (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值.

D

C

P

60

A

x

E

F

x

B

18. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, M , N 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的顶点,过坐标原 4 2

点的直线交椭圆于 P, A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C , 连接 AC ,并延长交椭圆于点 B .设直线 PA 的斜率为 k . (1)当直线 PA 平分线段 MN ,求 k 的值; (2)当 k ? 2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d ; (3)对任意 k ? 0 ,求证: PA ? PB .

y
P

M

B

O
A

C

x

N
19. (本小题满分 16 分)
3

已知 a , b 是实数,函数 f ( x) ? x3 ? ax , g ( x) ? x 2 ? bx , f ?(x) 和 g ?(x ) 是 f ( x ) 和 若 则称 f (x) 和 g (x) 在区间 I 上 g ( x) 的导函数. f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立, 单调性一致. (1) a ? 0 , f (x) 和 g (x) 在区间 [?1,??) 上单调性一致, 设 若 求实数 b 的取值范围; (2)设 a ? 0 且 a ? b ,若 f (x) 和 g (x) 在以 a , b 为端点的开区间上单调性一致,求

| a ? b | 的最大值.

20. (本小题满分 16 分) 设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项的和为 S n ,已知对 任意整数 k ? M ,当 n ? k 时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立. (1)设 M ? {1} , a 2 ? 2 ,求 a5 的值; (2)设 M ? {3, 4} ,求数列 {an } 的通项公式.

4

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. .................... 若多做,则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A ,其半径分别为 r1 与 r2 ( r ? r2 ) .圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C ( O1 不在 AB 上) . 1 求证: AB : AC 为定值. B.选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?

?1 ? ?1 1? 2 ? ,向量 ? ? ? 2? .求向量 ? ,使得 A ? ? ? . ? ? ?2 1?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ?

? x ? 5cos ? ( ? 为参数)的右焦点,且与直线 ? y ? 3sin ?

? x ? 4 ? 2t ( t 为参数)平行的直线的普通方程. ? ?y ? 3?t
D.选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 解不等式: x? | 2 x ? 1|? 3 .

5

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解 ........ 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA ? 2 , 1

D1 A1 B1

C1

AB ? 1 ,点 N 是 BC 的中点,点 M 在 CC1 上.
设二面角 A ? DN ? M 的大小为 ? . 1 (1)当 ? ? 90 时,求 AM 的长;
?

M D

C

6 (2)当 cos ? ? 时,求 CM 的长. 6

N
A B

23. (本小题满分 10 分) 设整数 n ? 4 , P (a, b) 是平面直角坐标系 xOy 中的点,其中 a, b ? ?1, 2,3, …, n? ,

a ?b.
(1)记 An 为满足 a ? b ? 3 的点 P 的个数,求 An ; (2)记 Bn 为满足 ( a ? b) 是整数的点 P 的个数,求 Bn .

1 3

6


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