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全国高中数学联赛模拟试题(四)


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全国高中数学联赛模拟试题(四)
第一试
一、选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
1、设 logab 是一个整数,且
1 log 1
a

b

? log

a

b ? log b a

2

,给出下列四个结论

①b ; ③0<a<b<1; 其中正确结论的个数是 (A)1 (B)2

?

b ?a

2

②logab+logba=0; ④ab?1=0. (C)3
2

(D)4

? a ? a ? 2b ? 2 c ? 0 ? 2、若△ABC 的三边长 a、b、c 满足 ? a ? 2 b ? 2 c ? 3 ? 0 ,则它的最大内角度

数是 (A)150°
l ? 2b

(B)120°
2

(C)90°

(D)60°
x
2 2

a )的线段 AB 的两端点都在双曲线 a 3、定长为 l( b>0) ,则 AB 中点 M 的横坐标的最小值为

?

y b

2 2

?1

(a>0,

al
2 2 (A) 2 a ? b

a?l
2 2 (B) 2 a ? b

a ?l ? 2 a ?
2 2

a ?l ? 2 a ?
2 2

(C) 2 a ? b (D) 2 a ? b 4 4、在复平面上,曲线 z +z=1 与圆|z|=1 的交点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 5、设 E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x?4}是直角坐标平
? ? x1 ? x 2 y 1 ? y 2 ? ? , ? ? x1 , y 1 ? ? E , ? x 2 , y 2 ? ? F ? ?? 2 2 ? ?所 面上的两个点集, 则集合 G= ? ?

组成的图形面积是 (A)6 (B)2? (C)6.5 (D)7 6、正方形纸片 ABCD,沿对角线 AC 对折,使 D 在面 ABC 外,这时 DB 与 面 ABC 所成的角一定不等于 (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

二、填空题: (每小题 9 分,共 54 分)
1、已知 于
1?

? ?

?
24 , o s 则c

n i s

?
3?

4? o c s

?

n i s o c s 1

?
2?

3? o c s

?

n i s o c s

? ?

2? o c s

?

n i s o c s

? ? 的值等


1 ? 1 1? 2 ? 3 ?? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2004 =

2、

1? 2



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3、在 Rt△ABC 中,AB=AC,以 C 为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆的 另一个焦点在 AB 内, 且椭圆过 A、 点, B 则这个椭圆的离心率等于 . 4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数,使得没有两个数相邻,有 种 不同的选法.
? z ? z ? z ? a ? bi ? ? ? 5、设 a、b 均为正数,且存在复数 z 满足 ? z ? 1 ,则 ab 的最大值

等于
8


? n n?k ? 7 13 对惟一的一个整数 k 成立的最大正整数 n 为

6、使不等式 15



三、 (20 分)
已知实数 x、y 满足 x2+y2≤5.求 f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y?3x?18|的最 大值与最小值.

四、 (20 分)
经过点 M(2,?1)作抛物线 y2=x 的四条弦 PiQi(i=1,2,3,4),且 P1、P2、 P3、P4 四点的纵坐标依次成等差数列.
P1 M

求证: MQ 1

?

P2 M MQ 2

?

P3 M MQ 3

?

P4 M MQ 4 .

五、 (20 分)
n 为正整数,r>0 为实数.证明:方程 xn+1+rxn?rn+1=0 没有模为 r 的 复数根.

第二试
一、 (50 分)
设 C(I)是以△ABC 的内心 I 为圆心的一个圆,点 D、E、F 分别是从 I 出发垂直于边 BC、CA 和 AB 的直线 C(I)的交点. 求证:AD、BE 和 CF 三线共点.

二、 (50 分)
非负实数 x、y、z 满足 x2+y2+z2=1.

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x

求证:1≤ 1 ? yz

?

y 1 ? zx

?

z 1 ? xy ≤ 2 .

三、 (50 分)
对由 n 个 A, 个 B 和 n 个 C 排成的行, n 在其下面重新定义一行 (比 上面一行少一个字母) 若其头上的两个字母不同,则在该位置写上第三 , 个字母;若相同,则写上该字母.对新得到的行重复上面的操作,直到 变为一个字母为止.下面给出了 n=2 的一个例子. A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A 求所有的正整数 n,使得对任意的初始排列,经上述操作后,所得的 大三角形的三个顶点上的字母要么全相同,要么两两不同.

参考答案
第一试
一、选择题: 题号 1 答案 A 二、填空题:
3
4008

2 B

3 D

4 A

5 D

6 D

1、 3 ; 3、 6 ? 3 ;
1

2、 2005 ; 4、816; 6、112.

5、 8 ;

三、最大值 27 ? 6 5 ,最小值 27 ? 3 10 .
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四、证略. 五、证略.

第二试
一、证略; 二、证略. 三、 n=1.

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