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2012届高三文科培优限时训练(函数与导数)


培优限时训练九
设函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? m(a ? 0) .
3 2 2

(1)若函数 f ( x) 在 x ? ? ?1,1? 内没有极值点,求实数 a 的取值范围; (2) a ? 1 时函数 f ( x) 有三个互不相同的零点,求实数 m 的取值范围; (3)若对任意的 a ? ?3, 6? ,不等式

f ( x) ? 1 在 x ? ? ?2, 2? 上恒成立,求实数 m 的取值范围.

培优限时训练九参考答案
解:(1)由题设可知,方程 f ( x) ? 3x ? 2ax ? a ? 0 在 ? ?1,1? 上没有实数根,
/ 2 2

? f / (1) ? 3 ? 2a ? a 2 ? 0 ? / 2 ∴ ? f (?1) ? 3 ? 2a ? a ? 0 ,解得 a ? 3 . ?a ? 0 ?
3 2

………4 分

(2)当 a ? 1 时 f ( x) ? x ? x ? x ? m ,∵ f ( x) 有三个互不相同的零点, ∴ f ( x) ? x ? x ? x ? m ? 0 即 m ? ? x3 ? x2 ? x 有三个互不相同的实数根.
3 2

令 g ( x) ? ? x ? x ? x ,则 g ( x) ? ?3x ? 2 x ? 1 ? ?(3x ? 1)( x ? 1)
3 2 / 2

∵ g ( x) 在 (??, ?1) 和 ( , ??) 均为减函数,在 (?1, ) 为增函数, ∴ g ( x)极小 ? g (?1) ? ?1, g ( x)极大 ? g ( ) ? 所以 m 的取值范围是 (?1,

1 3

1 3

1 3

5 27

5 ). 27

………………8 分

(3)∵ f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? 3( x ? )( x ? a), 又 a ? 0 ,

a 3

a a / / 时, f ( x) ? 0 ;当 ? a ? x ? 时, f ( x) ? 0 . 3 3 a a ∴函数 f ( x) 的递增区间为 (??, ?a)和( , ??), 单调递减区间为 ( ? a, ) 3 3 a 当 a ? ?3, 6? 时, ? ?1, 2? , ?a ? ?3 , 又 x ? ? ?2, 2? ,∴ f ( x)max ? max ? f (?2), f (2)? 3
∴当 x ? ?a 或 x ? 而 f (2) ? f (?2) ? 16 ? 4a ? 0 ,∴ f ( x) max ? f (?2) ? ?8 ? 4a ? 2a 2 ? m ,
2

又∵ f ( x) ? 1在 ? ?2, 2? 上恒成立,∴ f ( x) max ? 1即 ? 8 ? 4a ? 2a 2 ? m ? 1 , 即 m ? 9 ? 4a ? 2a 在a ? ?3, 6? 上恒成立.
2

∵ 9 ? 4a ? 2a 2 的最小值为 ?87 ,

∴ m ? ?87.

………12 分

培优限时训练十
已知函数

f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R且a ? 0) .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f (x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率为 1 ,问: m 在什么范围取值 时,对于任意的 t ? [1,2] ,函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 [

m ? f ?( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极值? 2

培优限时训练十参考答案
解: )由 (Ι

f ?( x) ?

a(1 ? x) 知: x

当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,??) ; 当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (1,??) ,单调减区间是 (0,1) ;………………6 分 (Ⅱ)由

f ?(2) ? ?

a ? 1得 a ? ?2 2
f ' ? x? ? 2 ? 2 x.
………………………8 分

∴ f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 ,

m ?m ? g ( x) ? x3 ? x 2 ? ? f '( x) ? ? x3 ? (2 ? ) x 2 ? 2 x 2 ?2 ?
∴ g '( x) ? 3x ? (4 ? m) x ? 2 ,
2

∵ 函数 g (x) 在区间 (t ,3) 上总存在极值, ∴ g ?( x) ? 0 有两个不等实根且至少有一个在区间 (t ,3) 内…………10 分 又∵函数 g ?(x) 是开口向上的二次函数,且 ∴? 由 所以

g ?(0) ? ?2 ? 0 ,
…………12 分

? g ?(t ) ? 0 ? g ?(3) ? 0

g ?(t ) ? 0得m ?

2 2 ? 3t ? 4 ,∵ H (t ) ? ? 3t ? 4 在 [1,2] 上单调递减, t t 37 ; 3

H (t ) min ? H (2) ? ?9 ; m ? ?9 , g ?(3) ? 27 ? 3(4 ? m) ? 2 ? 0 , ∴ 由 解得 m ? ?

综上得: ?

37 37 ? m ? ?9 所以当 m 在 (? ,?9) 内取值时,对于任意 t ? [1,2] ,函数 3 3 m …………14 分 g ( x) ? x 3 ? x 2 [ ? f ?( x)] ,在区间 (t ,3) 上总存在极值 . 2

培优限时训练十一

已知函数 f ( x) ? (Ⅰ) 若点(1, ? 极大值;

1 3 x ? ax 2 ? bx (a, b ? R) 。 3

11 )在函数 y ? f (x) 图象上且函数在该点处的切线斜率为-4,求 y ? f (x) 的 3

(Ⅱ)若 y ? f (x) 在区间[-1,2]上是单调减函数,求 a ? b 的最小值。

培优限时训练十一参考答案

解:(Ⅰ)∵ f ?( x) ? x ? 2ax ? b ,
2

1分

∴ 由题意可知: f ?(1) ? ?4 且 f (1) ? ?

11 , 3
3分

?1 ? 2a ? b ? ?4, ? a ? ?1 ? ∴ ?1 , 11 得: ? ?b ? 3 ?3 ? a ? b ? ? 3 , ? 1 2 ∴ f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3x , f ?( x) ? x ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)( x ? 3) . 3 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 ,
由此可知: X (-∞,-1) + f ?(x) -1 0 (-1, 3) - 3 0

(3, +∞) + ↗

f (x)



f (x) 极大值

5 3



f (x) 极小值
6分

∴ 当 x=-1 时, f(x)取极大值

(Ⅱ) ∵ y ? f (x) 在区间[-1,2]上是单调减函数, ∴ f ?( x) ? x ? 2ax ? b ? 0 在区间[-1,2]上恒成立.
2

5 3

7分

根据二次函数图象可知 f ?(?1) ? 0 且 f ?(2) ? 0 , 即: ?

?1 ? 2a ? b ? 0, ?2a ? b ? 1 ? 0, 也即 ? ?4 ? 4a ? b ? 0, ? 4 a ? b ? 4 ? 0.

9分 11 分 b 4a-b+4=0 4
1 P(- , 2) 2

作出不等式组表示的平面区域如图: 1 当直线 z ? a ? b 经过交点 P(- , 2)时, 2

1 3 , z ? a ? b 取得最小值 z ? ? ? 2 ? 2a+b-1=0 2 2 3 ∴ z ? a ? b 取得最小值为 2
o

13 分 14 分

-2

2 a z=a+b

培优限时训练十二

设函数 (x)= x 3 ? f

1 3

a 2 在点 P(0, (0) )处的切 f f x ? bx ? c ,其中 a>0,曲线 y ? (x) 2

线方程为 y=1。 (Ⅰ)确定 b、c 的值

f (Ⅱ)设曲线 y ? (x) 在点( x1,(x1) )及( x 2,(x 2) )处的切线都过点(0,2)证明: f f
当 x1 ? x 2 时, f '( x 1 ) ? f '( x2 ) (Ⅲ)若过点(0,2)可作曲线 y ? (x) 的三条不同切线,求 a 的取值范围。 f

培优限时训练十二参考答案

?2 3 a 2 ? 3 x1 ? 2 x1 ? 1 ? 0??? (1) ? ?2 3 a 2 ? x2 ? x2 ? 1 ? 0??? (2) 2 ?3 2 ? x1 ? ax1 ? x12 ? ax2 ??? (3) ? ?
由(3)得 x1 ? x2 ? a.
2 由(1) ? (2)得x12 ? x1 x2 ? x2 ?

3 2 a ??? (4) 4

a 3 2 又x12 ? x1 x2 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? x1 x2 ? a 2 ? x1 (a ? x2 ) ? x12 ? ax1 ? a 2 ? ( x1 ? )2 ? a 2 2 4 3 a a ? a 2 .故由(4)得x1 ? , 此时x2 ? 与x1 ? x2矛盾.所以f ?( x1 ) ? f ?( x2 ). 4 2 2
(III)由(II)知,过点(0,2)可作 y ? f (x) 的三条切线,等价于方程 2 ? f (t ) ? f ?(t )(0 ? t )

培优限时训练十三
设函数 f ( x) ? x e ? 1 ? ax
x

?

?

2

(Ⅰ)若 a=

1 ,求 f ( x) 的单调区间; 2

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f ( x) ≥0,求 a 的取值范围

培优限时训练十三参考答案
解: (Ⅰ) a ?

1 1 2 x x x x 时, f ( x) ? x(e ? 1) ? x , f '( x) ? e ? 1 ? xe ? x ? (e ? 1)( x ? 1) 。当 2 2

x ? ? ??, ?1? 时 f '( x) ? ? ;当 x ? ? ?1, 0 ? 时,f '( x) ? 0 ;当 x ? ? 0, ?? ? 时,f '( x) ? 0 。 f ( x) 故
在 ? ??, ?1? , ? 0, ?? ? 单调增加,在(-1,0)单调减少。 ( Ⅱ ) f ( x) ? x( e ? 1? ax) 令 g ( x) ? e ? 1 ? a x, 则 g '( x )? e ? a。 若 a ? 1 , 则 当 。
x x

x

x ? ? 0, ?? ? 时, g '( x) ? ? , g ( x) 为增函数,而 g (0) ? 0 ,从而当 x≥0 时 g ( x) ≥0,即 f ( x)
≥0. 若 a ? ?, 则当 x ? ? 0, ln a ? 时,g '( x) ? ? ,g ( x) 为减函数, g (0) ? 0 , 而 从而当 x ? ? 0, ln a ? 时 g ( x) <0,即 f ( x) <0. 综合得 a 的取值范围为 ? ??,1?

培优限时训练十四
3 2 设函数 f x? ? x? ?, gx ? ? x 2 () x 2 2 b a ( ) x 3 ? ,其中 x ? R ,a、b 为常数,已知曲 a x

线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线 l。 (I) 求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (II)若方程 f( ) gx? x 有三个互不相同的实根 0、 x 1 、 x 2 ,其中 x 1 ? x 2 ,且对任意的 x? ( ) m

x??x , x2 ?, f x g ?( ?恒成立,求实数 m 的取值范围。 () () m 1 ?x x) 1

培优限时训练十四参考答案

培优限时训练十五
a ln x b ? ,曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 , x ?1 x ln x (1)求 a, b 的值(2)证明:当 x ? 0, x ? 1 时, f ( x) ? . x ?1
已知函数 f ( x) ?

培优限时训练十五参考答案

培优限时训练十六

已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax ? 1.
2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | .

培优限时训练十六参考答案

解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 . ? 2ax ? x x

当 a≥0 时, f ?( x) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ?( x) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ?( x) =0,解得 x= ?

a ?1 .当 x∈(0, 2a ?

?

a ?1 )时, f ?( x) >0; 2a

x∈( ?

a ?1 ,+ ? )时, f ?( x) <0, 故 f(x)在(0, 2a

a ?1 a ?1 )单调增加,在( ? ,+ ? ) 2a 2a

单调减少. (Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4x1-4x2,
即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则

g ?( x) ?


a ?1 ? 2ax +4 x

2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 . x

于是 g ?( x) ≤

?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 = ≤0. x x

从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 .

培优限时训练十七

已知函数 f(x)=- x +x+lnx,g(x)=

2

1 2 x + e x -x e x . 2
2

(Ⅰ)判断函数 f(x)的零点的个数,并说明理由; (Ⅱ)当 x∈[-2,2]时,函数 g(x)的图像总在直线 y=a- e 的上方,求实数 a 的取值范围.

培优限时训练十七参考答案
解: (1)函数 f(x)只有一个零点,理由如下:f(x)=-x +x+lnx,其定义域为(0,+∞),
2

f ' ?x ? ? ?2 x ? 1 ?

1 2x2 ? x ? 1 1 ?? , 令 f ' ?x ? ? 0, 解得 x ? ? 或 x=1 x x 2
' '

又? x ? 0 故 x=1.当 0<x<1 时, f ? x ?>0 ;当 x>1 时, f ? x ?<0 .

?函数 f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,当 x=1 时函数 f(x) 取得最大值,即 f(x)max=f(1)=0, ?函数 f(x)只有一个零点。
(2)函数 g(x)的定义域为 ?- ?, ? ? , ?

? ? g ' ( x) ? x ? e x ? (e x ? xex ) ? x(1 ? e x ),
若 x<0,则 1 ? e ? 0,? g ?x ? ? 0;
x '

若 x=0,则 g ?x ? ? 0;
'

若 x>0,则 1 ? e ? 0,? g ?x ? ? 0,
x '

? ? ?g(x)在 ?- ?, ?? 上为减函数,即 g(x)的单调减区间为 ?- ?, ?? .

?g(x)在[-2,2]上为减函数,
?在[-2,2]上 g ?x ?min ? g (2) ? 2 ? e2 ,? a ? e2 ? 2 ? e2 ,?a<2
综上,实数 a 的取值范围是 ?- ?,? 2


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