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2015年全国各地高考模拟数学试题汇编空间点、线、面之间的位置关系(理卷B)


专题 5 立体几何 第2讲 空间点、线、面之间的位置关系(B 卷)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.(2015·聊城市高考模拟试题·4)已知两条不同的直线 l , m 和两个不同的平面 ? , ? ,有 如下命题: ①若 l ? ? , m ? ? , l / / ? , m / / ?,则? / / ? ; ②若 l ? ? , l / /

? , ? ? ? ? m,则l / / m ; ③若 ? ? ? , l ? ?,则l / /? ,其中正确命题的个数是( A.3 B.2 ) C.1 D.0

2.(2015·绵阳市高中第三次诊断性考试·9)己知四梭锥 P-ABCD 的各条棱长均为 13, M, N 分别是 PA, BD 上的点,且 PM:MA=BN:ND=5:8,则线段 MN 的长( (A)5 (B)6 ( C) 7 )

(D)8

3. (2015·山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·5)如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

AB ? 2, AD ? AA1 ? 2 .设长方体的截面四边形 ABC1 D1 的
切圆为 O,圆 O 的正视图是椭圆 O? ,则椭圆 O? 的离心率等于 ( )



A.

3 3

B.

2 2

C.

2 3

D.

3 2

4.(2015·山西省太原市高三模拟试题二·10)

二、非选择题(80 分) 5. ( 江 西省 新八校 2014-2015 学年度 第二次 联考· 15) 如图,在直角梯形 ABCD 中,

B C AB ? 2 DC ? 2 AD ? 2 , ?DAB ? ?ADC ? 90? , 将 ?D
面 BDC ,则三棱锥 C ? DAB 的外接球的表面积为 .

沿 BD 向上折起, 使面 ABD ?

6. (2015·苏锡常镇四市高三数学调研(二模) ·11)已知圆锥的底面半径和高相等,侧面 积为 4 2? ,过圆锥的两条母线作截面,截面为等边三角形,则圆锥底面中心到截面的距离 为 7. (2015· 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟·10)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱
AA1 ? 平面 AB1C1 , AA1 ? 1, 底面△ ABC 是边长为 2 的正三角形, 则此三棱柱的体积为

.

8.(2015·盐城市高三年级第三次模拟考试·8)已知正四棱锥 P ? ABCD 的体积为 边长为 2 ,则侧棱 PA 的长为 .

4 ,底面 3

9.(2015·启东中学高三第二学期期初调研测试·3)底面边长为 2 m,高为 1 m 的正三棱锥 的全面积为 ▲ m2.

10.(2015·南京市届高三年级第三次模拟考试·8)已知正六棱锥 P-ABCDEF 的底面边长为 2,侧棱长为 4,则此六棱锥的体积为 .

11 (2015· 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟·16)(本小题满分 10 分)如图,矩形
ABCD 所在平面与三角形 ECD 所在平面相交于 CD , AE ? 平面 ECD .

(1)求证: AB ? 平面 ADE; (2)若点 M 在线段 AE 上, AM ? 2 ME , N 为线段 CD 中点,求证: EN // 平面 BDM . 12.(江西省九江市 2015 届高三第三次模拟考试·19)(本小题满分 10 分)如图,四边形 ABCD 是圆柱 OQ 的轴截面,点 P 在圆柱 OQ 的底面圆周上,G 是 DP 的中点,圆柱 OQ 的 底面圆的半径 OA ? 2 ,侧面积为 8 3? , ?AOP ? 120 .
?

(1)求证: AG ? BD ; (2)求二面角 P-AG-B 的余弦值.

13. (2015·开封市高三数学(理)冲刺模拟考试·19) (本小题满分 10 分)如图,在三棱
? 锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 , AP ? BP ? AB , PC ? AC .

(Ⅰ)求证: PC ? 平面ABC ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的的余弦值 . A

P

D

B

C 14. (2015·苏锡常镇四市高三数学调研(二模) ·16) (本小题满分 10 分)如图,在四棱锥

P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, AB ? 2, AD ? 2 ,
PD ? 平面 ABCD , E , F 分别为 CD, PB 的中点
求证: (1) CF // 平面 PAE ; (2) AE ? 平面 PBD

15. (2015·启东中学高三数学调研(二模) ·16) (本小题满分为 10 分)如图 1 所示,在 Rt△ ABC 中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD 为∠ACB 的平分线,点 E 在线段 AC 上,CE= 4.如图 2 所示,将△ BCD 沿 CD 折起,使得平面 BCD⊥平面 ACD,连结 AB,设点 F 是 AB 的 中点. (1)求证:DE⊥平面 BCD; (2)在图 2 中, 若 EF∥平面 BDG, 其中 G 为直线 AC 与平面 BDG 的交点, 求三棱锥 BDEG 的体积.

专题 5 立体几何 第2讲 空间点、线、面之间的位置关系(B 卷) 参考答案与解析
1.【答案】C 【命题立意】本题主要考查空间线面及面面的平行、垂直判定和性质。

.. 【解析】 ①若 l // m则不一定成立故错 ②若 l ? ? , l / / ? , ? ? ? ? m,则l / / m . 故选 C. 确. ③若 l ? ?则不成立
易错警示:注意③容易忽视直线 a 在平面 a 内情况. 2.【答案】C 【命题立意】考查立体几何中的计算,注意将条件转 化到三角形中,然后解三角形. 【解析】取 BC 的中点 H,连接 PH,则 PH⊥BC.连接 AN 并 延 长 交 BC 于 I , 连 接 PI , 则 MN ∥ PI, 且
M D P



C I H B

MN AM 8 8 ? ? ,故 MN ? PI ??? (1) PI AP 13 13 BI BN 5 65 ? ? ,? BI ? , 又 AD ND 8 8

N A

BH ?

13 65 13 13 13 3 ,? HI ? ? ? , PH ? , 在 直 角 三 角 形 △ PIH 中 , 可 求 得 2 8 2 8 2

8 7 13 3 2 13 2 7 ? 13 ? ? 7 . ,得 MN ? PI ? PH 2 ? HI 2 ? ( ) ? ( ) ? 13 ? 代入(1) 13 8 2 8 8
3.【答案】B 【命题立意】本题重点考查空间几何体的三视图和椭圆的离心率,难度中等. 【解析】根据题意,画出图形如图所示,椭圆 O? 的长轴长为 2a ? AB ? 2 ,短轴长为

2b ? AA? ? 2 ,所以 a ? 1, b ?

2 2 c 2 ,得 c ? ,离心率 e ? ? . 2 2 a 2

4.【答案】C 【命题立意】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用,难度中等. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设 AD ? a(a ? 0), AP ? x(0 ? x ? 2) ,则

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? P(a, x, 2), C (0, 2, 2) ,所以 D1P ? (a, x,2), CP ? (a, x ? 2,0) ,因为 D1P ? CP ? 0 ,所以

a2 ? x( x ? 2) ? 0 , a ? ?( x ? 1) 2 ? 1 ,当
0 ? x ? 2 时, a ? (0,1] .
5.【答案】 10? 【命题立意】考查平面图形的折叠,球的表面积,考查空间想象能力,中等题. 【 解 析 】 取 BD 的 中 点 M , 依 题 意 , AM ? BM ? DM ?

5 , BC ? 2 , 2

cos?BDC ? cos?ABD ?

2 5 ,? sin ?BDC ? , 5 5

依题意, 三棱锥 C ? DAB 的外接球的半径为 ?BCD 的外接圆的半径, 设外接球的半径为 R , 在 ?BCD 中,由正弦定理得

BC 10 2 ? 2 R ,? ? 2 R ,即 R ? , sin ?BDC 2 5 5

? 三棱锥 C ? DAB 的外接球的表面积为 S ? 4? ? (
2 3 3

10 2 ) ? 10? 2

6.【答案】

【命题立意】本题旨在考查圆锥的几何性质,圆锥的侧面积,等积法的应用. 【解析】由题可知 h=r,可得母线 l= 2 r,其侧面积为 S=πrl= 2 πr2=4 2 π,解得 r=2,等

边三角形的截面面积为

3 2 l =2 3 ,设圆锥底面中心到截面的距离为 d ,由等积法可得 4

1 1 1 2 3 ×2 3 ×d= × ×2×2×2,解得 d= . 3 3 2 3
7.【答案】 2 【命题立意】本题旨在考查空间几何体的性质与体积. 【解析】由题知 AA1=2,A1B1=A1C1=B1C1=2,而 AA1⊥平面 AB1C1,则有 AA1⊥AB1,AA1⊥AC1, 可得 AB1=AC1= 22 ? 12 = 3 , 那么 S?AB1C1 = V= S?AB1C1 ×AA1= 2 . 8.【答案】 3 【命题立意】本题旨在考查空间几何体的性质与体积. 【解析】设正四棱锥 P—ABCD 的高为 h,则 V= 2 2 ,则侧棱 PA= ( 2 ) ? 1 = 3 .
2 2

1 2 2 ×2× ( 3 ) ? 1 = 2 , 则此三棱柱的体积为 2

1 2 4 ×2 ×h= ,可得 h=1,而底面对角线长为 3 3

9.【答案】3 3; 【命题立意】本题考查三棱锥的表面积. 【解析】由条件得斜高为 1 ? ( (m2). 10.【答案】12 3 1 2 3 2 2 (m).从而全面积 S= 4 ×22+3×2×2× =3 3 ) ? 3 3 3

【命题立意】本题旨在考查空间几何体的性质与体积. 【解析】 由于正六棱锥 P-ABCDEF 的底面边长为 2, 侧棱长为 4, 则其高为 h= 42 ? 22 =2 3, 故此六棱锥的体积为 V=

1 3 2 × ×2 ×6×2 3=12. 3 4

11.【答案】 (1)略; (2)略. 【命题立意】本题旨在考查空间几何体的性质,空间线面的位置关系的判定与性质. 【解析】 (1)因为 AE ? 平面 ECD , CD ? 平面 ECD , 所以 AE ? CD . 又因为 AB // CD ,所以 AB ? AE .……………………………2 分 在矩形 ABCD 中, AB ? AD , 因为 AD ? AE ? A , AD, AE ? 平面 ADE , 所 以 …………………………4 分

AB ?





A



D

E
AN 交 BD

……………………………6 分 于 F 点 , 连 结

( 2 ) 连 结

FM ,………………………………………………8 分 因为 AB // CD 且 AB ? 2 DN , 所以 AF ? 2 FN , 又 AM=2ME,所以 EN // FM , …………12 分 10 分

又 EN ? 平面 BDM , FM ? 平面 BDM , 所以 EN //平面 BDM . 12.【答案】 (1)略 (2) …………14 分

15 5

【命题立意】本题旨在考查线面垂直的判定、二面角的求解、空间直角坐标的建立、空间向 量的基本运算等知识。 【解析】解法一:(1)由题意可知 8 3? ? 2? ? 2 ? AD , 解得 AD ? 2 3 ………1 分 在 ?AOP 中, AP ? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2cos1200 ? 2 3 ,

? AD ? AP ,又? G 是 DP 的中点,? AG ? DP ………2 分 ? AB 为圆 O 的直径,? AP ? BP

由已知得: DA ? 平面 ABP ,? DA ? BP ,

? BP ? 平面 DAP

? A G? B P ………4 分

? AG ? 平面 DPB ,? AG ? BD ………6 分
(2)? AG ? 平面 DPB ,? AG ? BG , AG ? PG

??PGB 是二面角 P ? AG ? B 的平面角………8 分

PG ?

1 1 PD ? ? 2 AP ? 6 , BP ? OP ? 2 , ?BPG ? 900 . 2 2

? BG ? PG2 ? BP2 ? 10 ………10 分
? cos ?PGB ?
15 PG 6 15 ,即二面角 P ? AG ? B 的余弦值为 ………12 分 ? ? 5 BG 5 10

解法二:建立如图所示的直角坐标系, 由题意可知 8 3? ? 2? ? 2 ? AD ,解得 AD ? 2 3 ………1 分 则 A(0, 0, 0) , B(0, 4, 0) , D(0,0, 2 3) , P( 3,3,0) ,

? G 是 DP 的中点,? G (
(1)? AG ? (

3 3 , , 3) ………2 分 2 2

????

??? ? 3 3 , , 3) , BD ? (0, ?4, 2 3) ………4 分 2 2

???? ??? ? 3 3 ………6 分 ? AG ? BD ? ( , , 3) ? (0, ?4, 2 3) ? 0 ? A G? B D 2 2
(2)由(1)知, BP ? ( 3, ?1,0) , AG ? (

??? ?

????

??? ? 3 3 , , 3) , AP ? ( 3,3,0) 2 2

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ? BP ? AG ? 0 ,? BP ? AP ? 0 ,? BP 是平面 APG 的一个法向量………8 分 ? ???? ? ??? ? ? 设 n ? ( x, y,1) 是平面 ABG 的一个法向量,由 n ? AG ? 0 , n ? AB ? 0 ,

? 3 3 ? x? y? 3 ?0 ? 得? 2 ,解得 n ? (?2,0,1) ………10 分 2 ? 4y ? 0 ? ??? ? ? BP ? n 2 3 ??? ? ? 15 15 , 即二面角 P ? AG ? B 的余弦值为 …12 分 ? cos ? BP, n ? ? ??? ? ? ? ? 5 5 BP ? n 2 5

13.【答案】 (1)略; (2)

3 . 3

【命题立意】本题旨在考查空间线面的位置关系的判定与性质,空间向量的应用,空间角的 求解与应用. 【解析】 (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD .

? AP ? BP ,? PD ? AB .

? AC ? BC ,? CD ? AB .? PD ? CD ? D ,
? AB ? 平面 PCD .----3 分

? PC ? 平面 PCD ,

? PC ? AB ,又∵ PC ? AC ,∴ PC ? 平面ABC -----6 分
解: (Ⅱ)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz .

0,, 0) A(0, 2,, 0) B(2, 0, 0) .设 P(0, 0,t ) .---8 分 则 C (0, 0, 2) .----9 分 ? PB ? AB ? 2 2 ,? t ? 2 , P(0,
取 AP 中点 E ,连结 BE,CE .? AC ? PC , AB ? BP , E

z P y A C x B

? CE ? AP , BE ? AP . ??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.

??? ? ??? ? ? E (0, 11) , , EC ? (0, ?1 , ?1) , EB ? (2, ?1, ?1) ,---10 分 ??? ? ??? ? EC ?EB 2 3 3 ? cos ?BEC ? ??? ? . ? 二面角 B ? AP ? C 的余弦值为 . --12 ? ??? ? ? 3 3 2? 6 EC ?EB
分 14.【答案】 (1)略; (2)略. 【命题立意】本题旨在考查空间几何体的性质,空间线面的位置关系的性质与判定. 【解析】

15.【答案】 (1)见证明过程, (2)

3 2

【命题立意】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系及几何体的体积. 【解析】 (1)证明:在题图 1 中,因为 AC=6,BC=3,∠ABC=90°, 所以∠ACB=60° .因为 CD 为∠ACB 的平分线,所以∠BCD=∠ACD=30° , 所以 CD=2 3.又因为 CE=4,∠DCE=30° ,所以 DE=2.则 CD2+DE2=CE2,

所以∠CDE=90° ,即 DE⊥CD.在题图 2 中,因为平面 BCD⊥平面 ACD,平面 BCD∩ 平面 ACD=CD,DE?平面 ACD,所以 DE⊥平面 BCD. (2)在题图 2 中,因为 EF∥平面 BDG,EF?平面 ABC, 平面 ABC∩平面 BDG=BG,所以 EF∥BG. 因为点 E 在线段 AC 上,CE=4,点 F 是 AB 的中点, 所以 AE=EG=CG=2. 过点 B 作 BH⊥CD 交于点 H.因为平面 BCD⊥平面 ACD,BH?平面 BCD, 3 1 1 1 所以 BH⊥平面 ACD.由条件得 BH= .又 S△ DEG= S△ ACD= × AC· CD· sin 30° = 3, 2 3 3 2 1 1 3 3 所以三棱锥 BDEG 的体积为 V=3S△ DEG· BH=3× 3×2= 2 .


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