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取对数的求导法则


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取对数的求导法则
例 1.设 导,试求 y 的导数. 注意:这是一种特殊类型的函数,它既不是幂函数,也不是指数 函数, 称为幂指函数.具体地, 如 , 等都是幂指函数. ,其中 u,ν是 x 的函数且均可

求幂指函数的导数时,既不能直接利用幂函数的导数公式计算,也不 能直接利用指数函数的导数公式计算。 我们可以利用对数求导法求其 导数. 解:将函数式 两边取自然对数,有

按隐函数求导法,上式两边对 x 求导数,得

即 从而有 另解:也可以将幂指数 y=uν化为复合函数 y=eνlnu,用复合函数 的求导法则求导数.记 u=elnu,则 y=uν=(elnu)ν=evlnu 于是有 y′=(uν)′ =(eνlnu)′=eνlnu(νlnu)′

读者可以不必死记幂函数的导数公式, 只要掌握对数求导法即可. 所谓对数求导法,就是先对所给的函数式两边取自然对数,再按 隐函数的求导法则求导数.在某些情况下,利用对数求导法求导数,

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要比用通常的方法求导数方便一些.下面通过例题来说明这种方法.


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