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——由课本习题拓展延伸题(一) 由课本习题拓展延伸题( 拓展延伸题 河北省怀来县桑园中学 古金龙

课本习题是基础,中考试题 课本习题是基础, 的探索题往往以此为基础进行拓 展延伸,考查解题能力。我们在 展延伸,考查解题能力。 翻阅09年中考题时发现 年中考题时发现“ 翻阅 年中考题时发现“人教 版实验教材八年级第122页15题” 版实验教材八年级第 页 题 被多省市拓广探索演变成中考题。 被多省市拓广探索演变成中考题。 题题精彩!在河北省中考中此种 题题精彩! 类型题处于第24题的位置 题的位置。 类型题处于第 题的位置。

原题展示 如图,四边形ABCD是正方形,点 是正方形, 如图,四边形 是正方形 M是边 边的中点,∠AMN=90°, 是边BC边的中点 ∠ ° 是边 边的中点 MN交正方形外角的平分线 于N。 交正方形外角的平分线CN于 。 交正方形外角的平分线 求证: 求证:AM=MN.
A D

N

B M C

题目简析 的中点H,连接HM(如图), 取AB的中点 ,连接 的中点 (如图), 易证△ 易证△AMH≌△MNC, ≌ , 从而AM=MN。 从而 。

A

D N

B

M

C

中考探索 本题探索的潜在价值在中考有两点: 本题探索的潜在价值在中考有两点: 探索一、 可以在BC(或延长线)上运 探索一、点M可以在 (或延长线 上运 可以在 不一定是中点) 动(不一定是中点) 如图,四边形ABCD是正方 如图,四边形 是正方 是边BC上的任意一 形,点M是边 上的任意一 A 是边 点,∠AMN=90°,MN交正 ° 交正 方形外角的平分线CN于 。 方形外角的平分线 于N。 求证: 求证:AM=MN. B

D N M C

证明: 上取一点H, 证明:在AB上取一点 ,使 上取一点 AH=MC,连接 ,连接MH. . ∴∠BHM=45°, ∴MB=BH. ∴∠ ° ∴∠AHM=135°。 ∴∠ ° 是外角平分线, ∵CN是外角平分线, 是外角平分线 ∴∠DCN=45°,∴∠ ∴∠NCM=135° ∴∠DCN=45°,∴∠NCM=135° ∴∠AHM= ∠NCM, ∴∠ , 又∠AMB+ ∠BAM=90 °, ∠AMB+∠CMN=90° ∠ ° ∴∠BAM= ∠CMN。 ∴∠ 。 ∴△AMH≌△MNC(ASA) ≌ ∴MN=AM
B M C G A D

H

N

探索二、正方形变化为正多边形。 探索二、正方形变化为正多边形。 思考一: 思考一:
若以BC为边向右再作一个正方形, 若以 为边向右再作一个正方形,则N点 为边向右再作一个正方形 点 D A 一定在新正方形的一条对角线上; 一定在新正方形的一条对角线上;
N E

思考二: 思考二:
B M C F

为什么一定要MN⊥AM,才能使 ⊥ 为什么一定要 , AM=MN?(是否和正方形的内角有关) (是否和正方形的内角有关)

思考三: 思考三:
在正方形中存在的规律是否存在于其 它正多边形中(如正三角形等) 它正多边形中(如正三角形等)

类比探索: 类比探索 如图,两个全等正三角形的其中一 例1 如图 两个全等正三角形的其中一 完全重合, 是边BC上任意一点 边AC完全重合,点M是边 上任意一点 完全重合 是边 (不与点C重合)。若∠AMN=60°,是 不与点 重合)。若 ° 重合)。 否AM=MN?
简证: AB上截取 上截取AH=MC, 简证:在AB上截取AH=MC, 连接MH, 则BH=BM,易得 连接 , 易得 ∠AHM=120°=∠MCN, ° ∠ , ∠AMB+ ∠BAM=120°, ° ∠AMB+ ∠NMC =120°, ° 故 ∠NMC= ∠BAM. 得到△ 得到△AHM≌△MCN, ≌ , ∴AM=MN
B A H D N

M

C

如图,两个全等正方形的其中一边 例2 如图 两个全等正方形的其中一边 CD完全重合,点M是边 上任意一点 完全重合, 是边BC上任意一点 完全重合 是边 不与点C重合)。若 重合)。 (不与点 重合)。若∠AMN=90°, ° AM=MN仍成立吗? 仍成立吗? 仍成立吗
A D E

N

B

M

C

F

如图、 例3 如图、两个全等正五边形的其中一 完全重合, 是边BC上任意一点 边CD完全重合,点M是边 上任意一点 完全重合 是边 不与点C重合)。若 重合)。 (不与点 重合)。若∠AMN=108°, ° AM=MN还成立吗? 还成立吗? 还成立吗
简证:在AB上截取 简证: 上截取 AH=MC,连接 ,连接MH,证出 , △AHM≌△MCN。 ≌ 。
AH=MC ; ∠AHM=∠NCM ; ∠BAM=∠CMN。
A E D P

N B M C F G

拓展联想: 拓展联想:
例4 如图两个全等正n边形的其中一边 如图两个全等正 边形的其中一边 CD完全重合,点M是边 上任意一点 完全重合, 是边BC上任意一点 完全重合 是边 不与点C重合)。则当 重合)。则当∠ (不与点 重合)。则当∠AMN= °时, AM=MN。 。
F

180(n ? 2) 答案: 答案 n

G E H D J N A B M C K O L M I

巩固练习: 巩固练习:
如图, 如图,两个全等正六边形的其中 一边CD完全重合 完全重合, 是边BC的中 一边 完全重合,点M是边 的中 是边 点。若∠AMN=120°,点N是GC的 ° 是 的 中点吗?说明理由。 中点吗?说明理由。 E
F
简证: 上截取AH=MC, 简证:在AB上截取 上截取 , 连接MH,证出 连接 , △AHM≌△MCN。 ≌ 。 ∴HM=CN且HM= 且

D A
H

G

1 AC,又 , 2

N B M C H

1 AC=CG所以 所以CN= GC . 所以 2
故点N是 的中点 的中点。 故点 是GC的中点。

L

I

探索规律题方法总结

大胆猜想 思路顺 延 运用全等 细心论 证



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