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【随堂训练】高中数学(人教A版)必修5配套课件:2.1.2 数列的递推公式


2.1.2 数列的递推公式 【学习目标】 1.了解数列的递推公式. 2.能根据给出的递推公式求数列的前几项. 递推公式 如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项),且任何一项 an 与 前一项 an-1(或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示, 它的_____________________ 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 1 练习:已知数列{an}的第 1 项是 2,递推公式为 an=1- , an-1 1 则 a2=______ -1 2 ,a3=______. 【问题探究】 1.数列的递推公式是 n 的函数关系式吗? 答案:不是 2.通项公式与递推公式有何异同? 答案:相同:二者都可确定一个数列,都可求出数列的任 何一项.不同:通项公式是 n 的函数关系式,可直接求出任一 项;而递推公式可根据第一项(或前 n 项)的值,通过一次(或多 次)赋值逐项求出数列的值,直至求出所需的项 an. 题型 1 已知数列的递推公式,求前几项及其通项公式 【例 1】 已知数列{an}满足 an+1=2an+1,n∈N*. (1)若 a1=-1,写出此数列的前 4 项,并推测该数列的通 项公式; (2)若 a1=1,写出此数列的前 4 项,并推测该数列的通项 公式. 解:(1)a1=a2=a3=a4=-1, 可推测该数列{an}的通项公式为an=-1. (2)a1=1,a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7, a4=2×7+1=15, 可推测该数列{an}的通项公式为an=2n-1. (另解:由an+1=2an+1?an+1+1=2(an+1)?an+1+1= (a1+1)2n-1?an+1=2n-1.) 数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项 或前几项(基础)两个因素所确定的,即便递推关系完全一样, 而首项不同就可得到两个不同的数列,适当配凑是本题进行归 纳的前提. 【变式与拓展】 1.根据递推公式,分别写出它的前 5 项,并归纳出通项公 式: (1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*); 2an (2)a1=1,an+1= (n∈N*). an+2 解:(1)a1=0,a2=a1+1=1,a3=a2+3=4, a4=a3+5=9,a5=a4+7=16. 由a1=02,a2=12,a3=22,a4=32,a5=42, 可归纳出an=(n-1)2. 2 1 2 2 1 2 (2)a1=1,a2=3,a3=2=4,a4=5,a5=3=6, 2 ∴an= . n+1 题型 2 已知递推公式,用累加法求通项公式 【例 2】 已知在数列{an}中,a1=5,an=an-1+3(n≥2), 求数列{an}的通项公式. 思维突破:先对an=an-1+3 从 2 到 n 进行取值,得到 n- 1 个式子,再把这 n-1 个式子相加,消去中间项. 解:由递推关系 an=an-1+3(n≥2),得 a2=a1+3, a3=a2+3, … an-1=an-2+3, an=an-1+3. 将以上(n-1)个式子左右两边同时相加,得 a2+a3+…+an-1+an =a1+3+a2+3+a3+3+…+an-1+3. 消去a2+a3+…+an-1,并整理,得an=a1+3(n-1). ∵a1=5,∴an=3n+2. 若数列有形如 an + 1 = an + f(n) 的递推公式, 且可求f(1)+f(2)+…+f(n),可用累加法求通项公式. 【变式与拓展】 求an. 2.已知在数列 {an}

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