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《实数运算》复习导学案(青大附中)


《实数运算》复习导学案
【知识梳理】 1.实数的分类: (1)按定义分类:
? ? ?正整数? ? ? ? ? ? ?整数?0 ? ?负整数?有限小数或无限循环小 ?有理数? 数 ? ? ? ? ? ? ? 实数? 正分数? ?分数? ? ? ? ?负分数? ? ? ? ? ?正无理数? ?无理数? ?无限不循环小数 ? ?负无理数? ? (2)按正负分:

? ? ?正整数 ? ?正有理数? ?正实数? ?正分数 ? ? ?正无理数 ? ? 实数?0 ? ? ?负整数 ? 负有理数? ? ?负实数? ?负分数 ? ? ? ?负无理数 ?
2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴,数轴上的点与实数是一一对应的关系. 3.相反数:只有符号不同的两个数互为相反数.数 a 的相反数是-a;若 a 和 b 互为相反数,则 a+b=0. 4.绝对值:在数轴上,表示数 a 的点到原点的距离,叫做数 a 的绝对值,记作 a ,正数的绝对值是它本身,负数

?a(a ? 0) ? 的绝对值是它的相反数,0 的绝对值是 0,即 a ? ?0(a ? 0) ?? a (a ? 0) ?
5.倒数:乘积为 1 的两个数互为倒数.数 a(a≠0)的倒数是

1 ;若实数 a,b 互为倒数,则 ab=1. a

6.科学记数法:把一个数表示成 a× 10n(1≤ a <10,n 为不等于 0 的整数)的形式的方法叫做科学记数法. 7.平方根、算术平方根与立方根: (1)若 x2=a(a≥0),则称 x 为 a 的平方根,记为 ?
3

a ,其中 a 叫做 a 的算术平方根.0 的算术平方根

是 0.同样,若 x =a,则称 x 为 a 的立方根,记为 3 a ,0 的立方根为 0. (2)一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,负数没有平方根. 一个数的立方根只有一个. 8.实数的大小比较: (1)数轴表示法:将两个实数分别表示在数轴上,右边的数总比左边的数大. (2)代数比较法:正数>0>负数;两个负数比较,绝对值大的反而小. (3)根式比较:若 a>b≥0,则 a > b . 9.实数的运算: (1)有理数的运算法则: ①加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号, 并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两数之和等于 0. ②减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数. ③乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;0 乘任何数都得 0.
1

④除法法则:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除(除数不为 0);除以一个数等于乘这个数的倒 数. ⑤实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方,其运算顺序为:先算乘方,再算乘除,最后算加减.有括号 时,先算括号里面的,同一级运算按照从左到右的顺序依次进行. (2)有理数的运算律在实数范围内也适用,常用的运算律有加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、 分配律. (3)二次根式的运算与化简: ①一般地,形如 a (a ? 0) 的式子叫做二次根式,a 叫做被开方数。 ②二次根式的性质: a ? b ?

a ? b (a ? 0, b ? 0),

a a ? (a ? 0, b ? 0). b b

③最简二次根式:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次 根式. 注意:化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式. ④二次根式的乘法法则和除法法则: a ? b ? 【易错题和要注意的问题】 1、 被开方数的取值范围,以及平方根、算术平方根的区别。 2、 根式化简必须彻底,而且最后被开方数必须是整数。 3、 科学记数法中,注意“a”的取值。 4、 实数的运算中,去括号时的符号和系数分配的问题。 【典型例题】 例 1.下列四个数中,是负数的是( A. ?2 A.a<b A.0.845× 10 亿元 例 4.估算 10 +1 的值在 ( A.2 和 3 之间
4

a ? b (a ? 0, b ? 0),

a b

?

a (a ? 0, b ? 0). b

)
2

B. ? ?2 ? B. a > b

C.- 2 ) C.-a<-b
3

D.

? ?2 ?

2

例 2 实数 a、b 在数轴上的位置如图所示,下列式子错误的是 (

D.b-a>0 )
4

例 3.未来三年, 国家将投入 8450 亿元用于缓解群众“看病难、 看病贵”的问题. 将 8450 亿元用科学记数法表示为 ( B.8.45× 10 亿元 ) B.3 和 4 之间 C.4 和 5 之间 . (2) 27 ? D.5 和 6 之间 C.8.45× 10 亿元 D.84.5× 10 亿元
2

例 5.在如图所示的数轴上,点 B 与点 C 关于点 A 对称,A、B 两点对应的 实数分别是 3 和-1,则点 C 所对应的实数是 例 6.计算:(1) ?5 ?

?

0 2 ?1 1? 2 ? 3 ? 6 ? ? ? ? ? ? ?1? ; ?3 2?

?

1 ? 12 . 3

【试题精选】 一、选择题: 1.计算 3 27 的结果是( ) C.± 3 D.3 A.± 3 3 B.3 3 2. 0.0196 的算术平方根是( ) A. 0.14 B. 0.014

C. ? 0.14 D. ? 0.014 . . 1 3.在数 2 , ,π, 3 8 ,0.3030003000003??(相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2),0. 32 ,0 中,无理数 3 的个数是( )
2

A.1 B.2 4.下列四个实数中,最大的数是(

C.3 )

D.4

A.-1 B.0 C.1 D. 2 5.如图,A、B 两点在数轴上表示的数分别为 a、b,下列式子成立的是( ) A.ab>0 B.a+b<0 C.(6-1)(a+1)>0 D.(b-1)(a-1)>0 6. (?6) 2 的平方根是( ) C.±6 B. 无理数是无限小数 D.± 6 C.无限小数是无理数 D. A.-6 B.36 7.下列说法正确的是 ( ) A. 有理数只是有限小数 8.下列说法错误的是( A. ( ?1) ? 1
2
﹣-3

? 是分数 3
?3? ?2

) B.
3

?? 1?3

? ?1

C. 2 的平方根是 ?

2

D. (?3) ? ?? 2? ?

9.将 6.18× 10 化为小数的是( ) A.0.000618 B.0.00618 C.0.0618 D.0.618 10.12 的负的平方根介于( ) A.-5 与-4 之间 B.-4 与-3 之间 C.-3 与-2 之间 D.-2 与-1 之间 11.已知 a、b、c 为△ ABC 的三边,则化简 (a ? b ? c) ? 2 c ? a ? b 的结果为 (
2

)

A.3a+b-c 二、填空题:

B.- a-3b+3c

C.a+3b- 3c

D.2a

1.在数一 1,0,0.2,

1 ,3 中,正数一共有_______个. 7

2.数轴上的点 A 表示 ? 4. 6 的相反数是 绝对值是

2 ,则与 A 相距 5 个长度单位的点表示的数是
;绝对值等于 2 的数是 。 . ? 5 的倒数是

。 ,2 3 -3 2 的

3. 算术平方根等于它本身的数是____;立方根等于它本身的数是____。

5.一个正方体的体积变为原来的 8 倍,则它的棱长变为原来的____倍。
2 6.若 ( a ? 2) ? 2 ? a ,则 a 的取值范围是

; 。 (精确到 1)。

? 1 ? 2014 ? ? y 2013 ? 7.已知 x ? 5 ? ? ?y? ? ? 0, 则x 5? ?
8.估算:(1) 13.7 ? 9.已知 7 ? 2.646 ,则 ? 28 ? 三、计算题: 1.计算:(1) 25 ? ? 3 ? (?? ) 0 ? 2014; 。 ;

2

(精确到 1),(2) 3 660 ? B A 1 C

10.如图,CA=CB, 则数轴上点 A 表示的数为

1 -1 0 ?2 1 2 3 (2) (? ) ? 3 8 ? 1 ? 9 . 2

4

2.化简计算: (1)

12 ? 6 24

( 5?

2 5

)2

(3)

27 ? 3 3

? 32 ?

1 8

3

3.求图中四边形 ABCD 的周长和面积,其中方格的边长为 1.
D

A

C

四、探究题: 阅读下列文字: 我们知道形如

B

1 3

,

1 3? 2

的数可以化简,其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数,如

1 3

?

3 3? 3

?

3 1 , ? 3 3? 2

?

3? 2 3? 2

??

3? 2

??

3 ? 2 ,这样的化简过程叫做分母有理化。我们把 3

叫做 3 的有理化因式, 3 ? 根据上面的内容完成下列各题 。 .............

2 叫做 3 ? 2 的有理化因式。

(1) 5 的分母有理化因式是_______________, 2 3 ? 5 的有理化因式是__________; (2)化简:

5 3? 5



(3)比较 2003? 2002 ,

2002 ? 2001的大小,说明理由。

4


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