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高中数学3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案6 新人教A版必修4


两角和与差的正弦、余弦、正切公式(第一课时) ——两角和与差的正弦公式教学设计
一﹑内容和内容解析 “两角和与差的正弦公式”是高中数学新课程人教社 A 版《数学》必修 4 第三章 3.1.2 《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》的第 1 节课,学生在上一节课学习了“两角和与差 的余弦公式” 。本课的主要内容是两角和与差的正弦公式的推导及其简单应用。研究的是两 个角的正弦

函数式的变换,重点是公式的掌握及应用。 两角和与差的正弦公式是两角和与差的余弦公式、诱导公式等知识的延伸,是后面两角 和差角正切公式及二倍角公式、解三角形等知识的基础,在向量、解析几何等其它方面有一 定综合应用,所以在课标体系中有着较重要的地位。 二﹑目标和目标解析 1、了解两角和与差的正弦公式的推导,了解这些公式的内在联系,使学生经历由两角 差的余弦公式导出两角和与差的正弦的探究过程, 进一步培养学生问题转化思想和逻辑推理 能力;培养学生利用旧知识推导、论证新知识的探索能力;培养学生进行数学交流,获得数 学知识的能力。 ; 2.掌握两角和与差正弦公式的特点与功能,理解只变其形不变的特点,能正确运用两角 和与差的正弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等证明。 三、教学问题诊断与处理方法 本课在教学过程中可能会遇到以下问题: (1)学生前面学习了任意角的三角函数, “拆角法“是学生第一次接触,难免感到有些困 难,不能很快看出所求角和已知的角之间存在怎样的关系,教学中教师应采取适当的方法, 注意启发引导,通过课内讲解例题分析拆角的方法和技巧,课后补充相关练习,通过独立思 考从而熟练掌握“拆角法” 。 (2)化简题中的知识点是正余弦函数叠加的基础,学生在辅助角及符号的确定上易出错, 这里对学生特殊角的三角函数值要求也较高, 初学时要求学生一步一步将过程写详细, 写完 结果后再展开验算,熟练之后允许直接写出最后结果。

四 、学习行为分析 本节课是在学生已经掌握了同角三角函数间的关系、 诱导公式, 以及两角和与差的余弦 公式的基础上进行的,高一学生经历了初中新课程改革,他们敢于发表自己的见解,有较强 的独立解决问题的能力。 在本节课中通过提问两角和余弦公式的证明过程, 学生能比较容易 的考虑到利用原有的公式进行证明,比较了 sin(?

? ? ) 与 cos(? ? ? ) 联系后,完全可以由

学生自己去探究,教师只要作适当的引导。在公式的简单应用中,例 2 的(2)和例 3 给学
1

生一定思考的时间,让他们自己去探索,最后教师作点拨。 五、教学支持条件分析 充分利用信息技术通过动态演示来验证两角和与差公式。

六、教学过程设计 1.课题引入设计:


可以设置情景: 海上有三个岛分别为 A、B、C,B 岛在 A 岛北偏西 ? 度,C 岛在 A 岛北偏东 ? 度,在 C 到望 B 岛和 A 岛所成的视 角为 ? 度,且 AC 距离为 d,求 B、C 岛之间的距离.
B

? ??
A

C



设计意图:数学源于现实,从学生感兴趣的实际问题引入,激发学生学习的兴趣,引导学 生对这一实际问题进行抽象,通过求两角和的正弦进而解出 BC 的长度,培养学生从实际问题 抽象出数学模型的能力,同时也让学生明白学习两角和与差正弦公式的必要性。 或者直接从数学问题入手: sin 75? 的值是多少?由上节内容知道可以转化为 cos15? 求 值, 再利用两角差的余弦公式来计算。 而 sin 75?

? sin(45? ? 30?) ,sin 75? 能不能用 45? 和

30 ? 的三角函数来求解呢?是否有两角和与差的正弦公式?
设计意图:由此具体的数学问题引入,能激发学生的好奇心,由此问题引出还有一个好 处就是为下文从两角和、 差的余弦公式到两角和、 差的正弦公式推导要用到诱导公式作好铺 垫。从既然存在两角和与差的余弦公式到是否存在两角和与差的正弦公式的想法也是较自 然、直接的,符合学生的想法。 2. 问题链设计 先考虑两角和的正弦 问题 1 我们是怎么得到 cos(? ? ? ) 公式的? 将 cos(? ? ? ) 记成 cos[(? ? (?? )] 然后再利用两角差的余弦公式。 是直接利用两角差的 余弦公式的结果得到。 设计意图:如果要直接考虑如何得到两角和的正弦公式那么思考方向是毫无头绪的,

2

由此提问是提示学生要想得到新的和差角公式,并不是都要象证明两角差的余弦公式那样, 而是可以在已有的公式基础之上进行证明。 问题 2 要想得到两角和的正弦是否也可以在原有的公式基础之上进行证明呢?比较

sin(? ? ? ) 与 cos(? ? ? ) 有何联系?
角相同,三角函数名不同 设计意图:在已有知识的基础上提出新问题,有利于调动学生学习探究,接纳新知识的 心理倾向.将两角和的正弦与两角和的余弦进行联系,他们是同角的三角函数,关系是较为 密切的,学生能感知到这一点,这是学生思考的一个起点。 问题 3 同角的正弦和余弦能否建立联系呢? 学生中可能会出现两种思路①同角的正、余弦平方和为 1,②利用诱导公式,按照他们 的思路让学生自己分析, 很快他们就能将思路①否定, 因为思路①中最后的结果难于确定三 角函数的符号。 设计意图:让学生自我探索,自我分析,从原有知识结构中提取正弦与余弦的关系。 问题 4 利用哪个诱导公式? 正、余弦互化有两组诱导公式,用哪一组呢?刚开始学生可能会认为都可以,但是当他 们自己动手进行验证是很快就会发现利用诱导公式六是不行的,因为

? ? sin(? ? ? ) ? cos( ? ? ? ? ) ,最后确定可以用诱导公式五 sin(? ? ? ) ? cos[ ? (? ? ? )] 。 2 2
设计意图: 利用哪个诱导公式?不经过思考判断是得不到结果的,由学生自己去验证自己 的答案,自己探究并解决问题,提高学生学习的热情和动力,使学生体验到成功解决问题的愉 悦感,变”要我学”为”我要学,我要研究”的主动学习. 问题 5 如何利用和差角的余弦公式?

sin(? ? ? ) ? cos[

?
2

? (? ? ? )] ? cos[(

?
2

??) ? ? ]

一部分学生刚开始时,可能会按照所给的形式直接展开,但是很快就会发现问题所在. 设计意图:利用转化思想,使学生体会到数学的巧妙之处。 最后得到 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ,让学生仔细观察公式的特征, 感受公 式的对称美。 由上述结果联系两角和差的余弦公式学生不难得到两角差的正弦公式:

3

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
对这两组公式采用互相比较、联系的同时与两角和差的余弦公式也进行比较、联系从而 使学生可以更好的记住这些公式。 3.公式应用 例 1 利用和差角公式计算下列各式的值 (1) sin 72? cos 42? ? cos 72? sin 42? (2)

cos 74? sin14? ? sin 74? cos14?

设计意图: 公式的简单逆应用, 问题设计的思路较明确,从简单的问题开始,给学生一个 轻松的心情,目的是巩固两角和与差的正弦公式,加深学生对公式的记忆, 使学生能更熟练的 使用公式。 例 2 化简 (1)

1 3 cos x ? sin x 2 2

(2) 3 sin x ? cos x

(3)

2 2 cos 2 x ? sin 2 x 2 2

设计意图: 此题对公式的应用提出了较高的要求, 但是由于数字的特殊性及例题 1 的铺 垫作用, 学生在经过观察,思考后能解决,在此过程中,教师只需稍作点拨,让学生自己去 发现,使学生在学习中体会成就感。 例 3(1)已知 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,求 sin( (2)已知 cos(? ? ? ) ?

3 5

?
4

? ? ) 的值。

5 4 , cos ? ? , ? , ? 均为锐角,求sin?的值。 13 5

设计意图:运用所学知识进行求值,第(1)问中上公式的直接应用,第(2)问中,虽 然也是应用两角和差的正弦公式,但是两角和差是需要我们寻找的, “拆角法”是三角函数 公式应用中的一个较为重要的知识点。两道题目难度逐渐上升。 例4 求证:

sin(2 A ? B) sin B ? 2 cos( A ? B) ? sin A sin A

设计意图:使学生全面理解公式,进一步培养学生分析能力以及思维的灵活性。

总设计说明:
4

1.在本课的教学设计中,始终注意培养学生的问题意识,随着一个个问题的解决,自然而 然的把学生带到一个全新的知识生长场景中 .在整个教学设计过程中强调研究性学习方法, 由学生自己去探究,去解决问题. 2.按照建构主义观点,知识需要经过学习者自身体验,才能被同化和顺应,因此,教学设计 注重学生的主题地位,发挥教师的组织引导作用,强调学生的主动性和积极性,使数学教学成 为教学活动的教学,激发学生学习数学的兴趣和积极性.

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