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山省师范大学附属中学2015届高三下学期第九次高考模拟数学(文)试题


启用前绝密

2015 高三第九次模拟考试试题

文 科 数 学 ( A)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟,考试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 写在答题卡和 试卷规定的位置

上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不 能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中只有一 项是符合 题目要求的. (1)设集合 U ? {1, 2,3, 4}, M ? {1, 2,3}, N ? {2,3, 4} ,则 CU (M ? N ) = (A) {1, 2} (2)复数 (B) {2,3} (C) {2, 4} (D) {1, 4}

4 ? 3i 的实部是 1 ? 2i (A) ?2 (B) 2
2

(C) 3

(D) 4

(3)函数 y ?

log 1 ? 4 x ? 3 ? 的定义域为
(B) ( ??, )

(A) ( , ??)

3 4

3 4

(C) ( ,1]

3 4

(D) ( ,1)

3 4

(4)下列有关命题的说法错误的是 (A)命题“若 x ? 1 ? 0 , 则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 则 x ? 1 ? 0 ”
2 2

(B)“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2

(C)若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 (D)对于命题 p : ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R 均有 x ? x ? 1… 0
2

2

?x ? 0 ? (5)若关于 x , y 的不等式组 ? x ? y ? 0 ,表示的平面区域是直角三角形区域, ? kx ? y ? 1 ? 0 ?
则正数 k 的值为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (6)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的表面积为 (A)48 ? 12 2 (B)48 ? 24 2 (C)72 ? 12 2 (D)72 ? 24 2 第(6)题图

(7) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f (1 ? x) 成立, 且 f ( x ) 在 [?1, 0] 上单调递增,设 a ? f (3), b ? f ( 2), c ? f (2) ,则 a 、 b 、 c 的大小关系是 (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) b ? c ? a (D) c ? b ? a

(8)函数 f ( x) ? sin 2 x ? eln| x| 的图象的大致形状是

(A)

(B)

(C)
2 2

(D)

(9)中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线 C 的两条渐近线与圆:( x ? 2) ? y ? 1都相切, 则双曲线 C 的离心率是 (A) 3 或

6 2

(B)2 或 3

(C)

2 3 或2 3

(D)

2 3 6 或 3 2

(10) 若存在实常数 k 和 b , 使得函数 F ( x) 和 G ( x) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足:

F ( x) ? kx ? b 和 G( x) ? kx ? b 恒成立,则称此直线 y ? kx ? b 为 F ( x) 和 G ( x) 的“隔离直
线” ,已知函数 f ( x) ? x ( x ? R), g ( x) ?
2

1 ( x ? 0), h( x) ? 2e ln x ,有下列命题: x

① F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? ( ?

3

1 , 0) 内单调递增; 2

② f ( x ) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线” ,且 b 的最小值为 ?4 ; ③ f ( x ) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线” ,且 k 的取值范围是 (?4, 0] ; ④ f ( x ) 和 h( x) 之间存在唯一的“隔离直线” y ? 2 ex ? e . 其中真命题的个数有 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.

) 的切线方程为 ( 11 ) 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 M (1,f (1)处
1 y ? ? x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) ? _____. 2 ? ? (12)在区间[ ? , ]上随机取一个数 x ,则 sin x ? cos x ?[1, 2 ] 的概率是 6 2
(13)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是_____. (14)已知过点 M(-3,0)的直线 l 被圆 x2+(y+2)2=25 所截得的弦长为 8,那么直线 l 的方 程为________. (15)设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,如果存在正实数 k ,对于任意 x ? D, 都有 x ? k ? D , 且 f ( x ? k ) ? f ( x) 恒成立,则称函数 f ( x ) 为 D 上的“ k 型增函数” ,已知函数 f ( x ) 是定 义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? a ? 2a ,若 f ( x ) 为 R 上的“ 2015 型增函 数” ,则实数 a 的取值范围是______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin ?

.

? 7? ? ? 2 x ? ? 2sin 2 x ? 1( x ? R) , ? 6 ?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的周期及单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,三内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,已知函数 f ? x ? 的图象经过 点 ? A, ? , b, a, c 成等差数列,且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值. (17)(本小题满分 12 分) 在某高校自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和

? ?

1? 2?

??? ? ??? ?

“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A, B, C , D, E 五个等级. 某考场考生的两科考试 成绩数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩 为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A, B, C , D, E 分别对应 5 分 , 4 分 , 3 分 , 2 分 , 1 分 , 求该考场考生“数学与逻辑”科目 的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的 两科成绩均为 A . 在至少一科成绩为 A 的考生中, 随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率. (18)(本小题满分 12 分) 已知三棱柱 ABC- A?B?C ? 中,平面 BC C ?B? ⊥底面 ABC,BB′⊥AC,底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形, AA? =3,E、F 分别在棱 AA? , CC ? 上,且 AE= C ?F =2. (Ⅰ)求证: BB? ⊥底面 ABC; (Ⅱ)在棱 A?B? 上找一点 M,使得 C ?M ∥平面 BEF,并给出证明.

第(17)题图

(19)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ? 3an ? 3n ?1 ? 2n (n ? N* ) . (Ⅰ)设 bn ?

第(18)题图

an ? 2n ,证明:数列 ?bn ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; 3n

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

(20)(本小题满分 13 分) 如图,已知点 A(1, 2)是离心率为 2 y2 x2 的椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)上的一点, 2 a b

斜率为 2的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点,且 A、B、D 三点互不重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求证:直线 AB、AD 的斜率之和为定值. 第(20)题图 (21)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ,且 f ?(?1) ? 0 3 (Ⅰ)试用含 a 的代数式表示 b ;
(Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;

( Ⅲ ) 令 a ? ?1 , 设 函 数 f ( x )



x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处 取 得 极 值 , 记 点

M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) 证明:线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点.

山东师大附中 2012 级高三第九次模拟考试试题

文 科 数 学 ( A) 参 考 答 案
一、选择题

DBCCA

CDBCC

二、填空题

11. 2

12.

13. 4

14. x=-3 或 5x-12y+15=0

15.

三、解答题 16. 解:

??????????????????3 分

17.解: (Ⅰ)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 人????????2 分

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为 ????????4 分 (Ⅱ)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为 ????????7 分 (Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A, 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等级 为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为 {甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁} ,有 6 个基本事 件

设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包 含的基本事件有 1 个,则 . ????????12 分

18. (Ⅰ)证明 取 BC 中点 O,连接 AO,因为三角形 ABC 是等边三角形,所以

AO⊥BC,????2 分 又因为平面 BCC′B′⊥底面 ABC, AO?平面 ABC, 平面 BCC′B′∩平面 ABC =BC, 所以 AO⊥平面 BCC′B′,又 BB′?平面 BCC′B,所以 AO⊥BB′.???? 4分 又 BB′⊥AC,AO∩AC=A,AO?平面 ABC,AC?平面 ABC. 所以 BB′⊥底面 ABC.????6 分
(Ⅱ) 显然 M 不是 A′, B′, 棱 A′B′上若存在一点 M, 使得 C′M∥平面 BEF,

过 M 作 MN∥AA′交 BE 于 N,连接 FN,MC′,所以 MN∥CF,即 C′M 和 FN 共面, 所以 C′M∥FN, 所以四边形 C′MNF 为平行四边形, 所以 MN=2, 所以 MN 是梯形 A′B′BE 的中位线,M 为 A′B′的中点.????12 分

19.













, 为等差数列.??????3 分 又 , . ,则 .????6 分

(Ⅱ)设

.????7 分

.????9 分

????11 分

????12 分 c 2 y2 x2 2 1 20. (Ⅰ)解 由题意,可得 e=a=2,将(1,)代入a2+b2=1,得a2+b2=1,

又 a2=b2+c2, 解得 a=2,b=,c=,????4 分 所以椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1.????5 分
(Ⅱ)证明 设直线 BD 的方程为 y=x+m,又 A、B、D 三点不重合,所以 m y2 x2

≠0.设 D(x1,y1)、B(x2,y2), 由2x2+y2=4得,4x2+2mx+m2-4=0,????7 分 所以 Δ=-8m2+64>0,∴-2<m<2,????8 分 x1+x2=-2m①,x1x2= 4 ②.??????10 分 设直线 AB、AD 的斜率分别为 kAB、kAD, 则 kAD+kAB=x1-1+x2-1=x1-1+x2-1=2+m· x1x2-x1-x2+1(*). ???? 11 分 将①②式代入(*), 得 2+m2=2-2=0,????12 分 所以 kAD+kAB=0,即直线 AB、AD 的斜率之和为定值 0. ??????13 分
21. 解 :( Ⅰ ) 依 题 意 得 ????2 分 ,由 得 2 2 2 2 x1+x2-2 2 m2-4 2x+m

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 故

,??????3 分 ,令 ,则 或

①当

时,

,当

变化时,

的变化情况如下表

可得函数 ②当 故函数 ③当 单调减区间为

的单调增区间为 时, 的单调增区间为 时, , 此时 ; ,函数 ??????10 分



,单调减区间为 恒成立, 且仅在 处

。 ,

的单调增区间为





(III)当 由(II)得

时, 的单调增区间为

, 和

, ,单调减区间为 ,



函数



处取得极值,故

直线

的方程为

由 令 的图像在 故 在

得 ,易得 内是一条连续不断的曲线, 内存在零点 ,这表明线段 与曲线 有异于 的公共


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