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高三理科复习概率与统计(含答案)


理科

概率与统计

课前练习 1.从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张, 则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为__________ 解:可从对立面考虑,即三张价格均不相同, ? P ? 1 ?
1 1 1 C5 C3C2 3 ? . 3 C10 4

2.一个坛子里有编号为 1,2,?,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球 是红球,其余的是黑球. 若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码 是偶数的概率是_______________
2 解: 从中任取两个球共有 C12 ? 66种取法,其中取到的都是红球,且至少有 1 个球

2 2 的号码是偶数的取法有 C6 ? C3 ? 12种取法,概率为

12 2 ? ,. 66 11

3. 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有 4 个红 球、2 个白球,乙袋装有 1 个红球、5 个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球,则取出的两球 是红球的概率为______(答案用分数表示) 解:P=

4 1 1 ? = 6 6 9

2 3 4 5 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的 4. 在五个数字 1,,,,
2 1 C2 C3 3 ? = 0 .3 3 C5 10

概率是

(结果用数值表示) .

解:

5. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是

1 ,他投球 10 次,恰好投进 3 个球的概率为 2
3 7

. (用数值作答) 由题意知所求概率 p ? C 3 ? 1 ? ? 1 ? ? 15 10 ? ? ? ? 128 ?2? ? 2? 知识梳理:离散型随机变量的分布列。 (1)分布列:设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1, x2, ?, xi, ?, ξ 取每一个值 xi(i=1,2,??)的概率 P(ξ =xi)=Pi, 则称下表为随机变量ξ 的概率分布,简称为ξ 的分布列.

(2)分布列的性质:由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质: <1> Pi≥0,i=1,2,??;<2> P1+P2+??=1. (3)二项分布: 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 P(? ? k ) ? Cn p q
k k n? k

,其中 k=0,1,?,n.q=1-p,于是得到随机变量ξ 的概率分布如下:

1

k k n? k 我们称这样的随机变量ξ 服从二项分布,记作ξ ~B(n,p)其中 n,p 为参数,记 Cn p q =b(k;n,p).

(4)离散型随机变量ξ 的期望:Eξ =x1p1+x2p2+??+xipi+? (5)离散型随机变量ξ 的方差:

D? ? ( x1 ? E? )2 p1 ? ( x2 ? E? )2 p2 ?

? ( xi ? E? )2 pi ?

(6)若? 为随机变量, 则? ? a? ? b(a, b为常数,a ? 0)也为随机 变量,且E? ? aE? ? b, D? ? a 2 D?。
(7)若? B(n,p),则E? =np,D? =np(1-p).

★★★ 突 破 重 难 点 【范例 1】某批产品成箱包装,每箱 5 件.一用户在购进该批产品前先取出 3 箱,再从每箱中任意抽 取 2 件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品,其余为一等品. (Ⅰ)用 ξ 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数,求 ξ 的分布列及 ξ 的数学期望; (Ⅱ)若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品级用户 拒绝的概率. 解(1) ? ? 0,1, 2,3 P( ? ? 0)=
2 C32 18 C4 9 ? ? ? 2 2 C5 C5 100 50 , 1 1 2 C32 C4 C3 C2 C1 24 4 ? ? ? ? 2 2 2 2 C5 C5 C5 C5 50 , 2 C1 C2 2 P(? ? 3) ? 4 ? ? 2 2 C5 C5 50

P( ? ? 1 )=

P(? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为

1 1 1 2 2 C3 C2 C4 C4 C2 15 ? ? ? ? 2 2 2 2 C5 C5 C5 C5 50 ,

?
P

0

1

2

3

24 15 50 50 9 24 15 2 ? 的数学期望 E( ? )= 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1.2 50 50 50 50 15 2 17 ? ? (2) P( ? ? 2 )= P (? ? 2) ? P (? ? 3) ? 50 50 50

9 50

2 50

变式:袋中装着标有数学 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球,按 3 个小球上最大数 字的 9 倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用 ? 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求: (1)取出 的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量 ? 的概率分布和数学期望; (3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率. 解: (I)解法一:“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A , 则 P( A) ?
3 1 1 1 C5 ? C2 ? C2 ? C2 2 ? 3 C10 3 1 2 1 C5 ? C2 ? C8 1 ? ,所以 3 C10 3

解法二:“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A”,“一次取出的 3 个小球上有两个 数 字 相 同 ” 的 事 件 记 为 B , 则 事 件 A 和 事 件 B 是 互 斥 事 件 , 因 为 P( B) ?
2

1 2 P( A) ? 1 ? P( B) ? 1 ? ? . 3 3 (II)由题意 ? 有可能的取值为:2,3,4,5.
2 1 1 2 2 1 1 2 C2 ? C2 ? C2 ? C2 C4 ? C2 ? C4 ? C2 1 2 P(? ? 2) ? ? ; P(? ? 3) ? ? ; 3 3 C10 30 C10 15 2 1 1 2 1 1 2 C6 ? C2 ? C6 ? C2 C82 ? C2 ? C8 ? C2 3 8 P(? ? 4) ? ? ; P(? ? 5) ? ? ; 3 3 C10 10 C10 15

所以随机变量 ? 的概率分布为

?

2

3

4

5

1 2 3 15 10 30 1 2 3 8 13 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 因此 ? 的数学期望为 E? ? 2 ? 30 15 10 15 3 (Ⅲ)“一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为 C ,则 2 3 13 P(C ) ? P("? ? 3" 或 " ? ? 4") ? P(" ? ? 3") ? P(" ? ? 4") ? ? ? 15 10 30
P

8 15

1 2 1 【范例 2】甲、乙、丙 3 人投篮,投进的概率分别是 , , . 3 5 2 (Ⅰ)现 3 人各投篮 1 次,求 3 人都没有投进的概率; (Ⅱ)用 ξ 表示乙投篮 3 次的进球数,求随机变量 ξ 的概率分布及数学期望 Eξ . 解: (Ⅰ)记"甲投篮 1 次投进"为事件 A1 , "乙投篮 1 次投进"为事件 A2 , "丙投篮 1 次投进"为事件 1 2 1 A3,"3 人都没有投进"为事件 A .则 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= , 3 5 2 ∴ P(A) = P( A1 . A2 . A3 )=P( A1 )·P( A2 )·P( A3 ) 1 2 1 1 = [1-P(A1)] ·[1-P (A2)] ·[1-P (A3)]=(1- )(1- )(1- )= 3 5 2 5 1 ∴3 人都没有投进的概率为 . 5 2 (Ⅱ)解法一: 随机变量 ξ 的可能值有 0,1,2,3, ξ ~ B(3, ), 5 2 3 2 6 k k 3-k P(ξ =k)=C3 ( ) ( ) (k=0,1,2,3) , Eξ =np = 3× = . 5 5 5 5 解法二: ξ 的概率分布为: ξ 0 1 2 3 P 错误! 错误! 错误! 错误! 27 54 36 8 6 Eξ =0× +1× +2× +3× = . 125 125 125 125 5 分析提示:已知概率求概率,主要运用加法公式(互斥)和乘法公式(独立)以及 n 次独立重复试验 (二项分布) ,注意条件和适用的范围,另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了。 变式:假设每一架飞机引擎飞机中故障率为 P,且个引擎是否发生故障是独立的,如果有至少 50%的引擎 能正常运行,问对于多大的 P 而言,4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全? 解 飞机成功飞行的概率: 4 引擎飞机为:
2 2 3 3 4 4 C4 P (1 ? P)2 ? C4 P (1 ? P) ? C4 P

? 6 P 2 (1 ? P)2 ? 4 P3 (1 ? P) ? P 2
2 引擎飞机为: C2 P(1 ? P) ? C2 P ? 2P(1 ? P) ? P
1 2 2 2

3

要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全,只要

6P 2 (1 ? P) 2 ? 4P 3 (1 ? P) ? P 4 ? 2P(1 ? P) ? P 2 3P 3 ? 8P 2 ? 7 p ? 2 ? 0
所以 3P ? 2 ? 0, P ?

2 3

【范例 3】某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司 缴纳每辆 900 元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位获 9000 元 的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次) 。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率 分别为 ,

1 1 1 , , 且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中: 9 10 11

(1)获赔的概率;(4 分) (2)获赔金额 ? 的分布列与期望。(9 分)

2, 3 .由题意知 A1 , A2 , A3 独立, 解:设 Ak 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故, k ? 1,
且 P ( A1 ) ?

1 1 1 , P ( A2 ) ? , P( A3 ) ? . 9 10 11

(Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为

8 9 10 3 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? ? ? ? . 9 10 11 11
(Ⅱ) ? 的所有可能值为 0 , 9000 , 18000 , 27000 .

8 9 10 8 P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? ? ? ? , 9 10 11 11

P(? ? 9000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 )
1 9 10 8 1 10 8 9 1 242 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 45

P(? ? 18000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 )
1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 110 1 1 1 1 . P(? ? 27000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? ? ? ? 9 10 11 990
综上知, ? 的分布列为

?
P
求 ? 的期望有两种解法:

0

9000

18000

27000

8 11

11 45
4

3 110

1 990

解法一:由 ? 的分布列得

E? ? 0 ? ?

8 11 3 1 ? 9000 ? ? 18000 ? ? 27000 ? 11 45 110 990

29900 ≈ 2718.18 (元) . 11

2, 3, 解法二:设 ?k 表示第 k 辆车一年内的获赔金额, k ? 1,
则 ?1 有分布列

?1
P
故 E?1 ? 9000 ?

0

9000

8 9

1 9

1 ? 1000 . 9 1 1 ? 900 , E?3 ? 9000 ? ? 818.18 . 同理得 E? 2 ? 9000 ? 10 11
综上有 E? ? E?1 ? E?2 ? E?3 ? 1000 ? 900 ? 818.18 ? 2718.18 (元) . 变式:猎人在距离 100 米处射击一野兔,其命中率为 0.5,如果第一次射击未中,则猎人进行第二次射击, 但距离 150 米. 如果第二次射击又未中,则猎人进行第三次射击,并且在发射瞬间距离为 200 米. 已 知猎人的命中概率与距离的平方成反比,求猎人命中野兔的概率. 解 记三次射击依次为事件 A,B,C,其中 P( A) ?

1 1 k ,由 ? P ( A) ? ,求得 k=5000。 2 2 100 2

? P(B) ?

5000 2 5000 1 ? , P(C) ? ? ,? 命中野兔的概率为 2 150 9 200 2 8

P(A)? P(A ? B) ? P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) P(C ) 1 1 2 1 2 1 95 ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? )(1 ? ) ? ? . 2 2 9 2 9 8 144
配套练习

, ? 1) 1.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1
的夹角为 ? ,则 ? ? ? 0, ? 的概率是__________ 解: 由向量夹角的定义,图形直观可得,当点 A ? m, n ? 位于直线 y ? x 上及其下方时, 满足 ? ? ? 0, ? ,点 A ? m, n ? 的总个数为 6 ? 6 个,而位于直线 y ? x 上及其下方 的点 A ? m, n ? 有 6 ? 1 ? C2 ? C3 ? C4 ? C5 ? 21个,故所求概率 ?
1 1 1 1

? ?

?? ??

? ?

?? ??

21 7 ? , 36 12

2.将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次 成等差数列的概率为_________ ..
5

解: 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 6 个,其中为等差数列有三类: (1)公差为 0 的有 6 个; (2)公差为 1 或-1 的有 8 个; (3)公差为 2 或-2 的 有 4 个,共有 18 个,成等差数列的概率为

3

18 1 ? , 6 3 12

3. 15 名新生,其中有 3 名优秀生,现随机将他们分到三个班级中去,每班 5 人,则每班都分到优秀生的 概率是
3 4 A3 C12 C84 5 5 C15 C10



4. 如图,已知电路中 3 个开关闭合的概率都是 0.5, 且是相互独立的,则灯亮的概率为

0.625 5.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ? 的分布列为

?
P

1 0.4

2 0.2

3 0.2

4 0.1

5 0.1

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元.? 表示经销一件该商品的利润. (Ⅰ)求事件 A : “购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P ( A) ; (Ⅱ)求? 的分布列及期望 E? . 解: (Ⅰ)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款” . 知 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”

P( A) ? (1 ? 0.4)3 ? 0.216 , P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.216 ? 0.784 .
(Ⅱ)? 的可能取值为 200 元, 250 元, 300 元. P(? ? 200) ? P(? ? 1) ? 0.4 ,

P(? ? 250) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 , P(? ? 300) ? 1 ? P(? ? 200) ? P(? ? 250) ? 1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 .

? 的分布列为

?
P

200 0.4

250 0.4

300 0.2

E? ? 200 ? 0.4 ? 250 ? 0.4 ? 300 ? 0.2 ? 240 (元) .

6


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