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高中数学易考应用题


19. (本小题满分 13 分)经过长期 观测得到:在交通繁忙的时段 内,某公路段汽车的车流量 y (千辆/小时)与汽车的平均速 度 ? (千米/小时)之间的函数 关系为:y ?

920? (? ? 0) . 2 ? ? 3? ? 1600

(1)在该时段内,当汽车的平均 速度 v 为多少时,车流量最大? 最大车流量为多少?(精确到 0

.1 千辆/小时) (2)若要求在该时段内车流量超 过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度 应在什么范围内? 解: (Ⅰ) 依题意,y ?
920 920 920 ? ? , 1600 83 3 ? 2 1600 3 ? (v ? ) v

当且仅当v ? 所以y max

1600 ,即v ? 40时, 上式等号成立, v 920 ? ? 11.1(千辆 / 小时). 83
2

v (Ⅱ)由条件得 v ? 920 ? 10, 3v ? 1600 整理得 v2-89v+1600<0, 即(v-25) (v-64)<0, 解得 25<v<64. 答: 当 v=40 千米/小时, 车流量最大, 最大车流量约为 11.1 千辆/小时.如 果要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时, 则汽车平均速度应大于 25 千米/小时且小于 64 千米/小时.

21. (本题 12 分)运货卡车以每小 时 x 千米的速度匀速行驶 130 千 米 , 按 交 通 法 规 限 制 千米/ 小 时 ). 假 设 汽 油 的 价 格 是 每

50 ? x ? 100 ( 单 位 :

升 2 元 , 而汽车每 小时耗油 x2 (2 ? ) 360 升 , 司机的工资是每 小时 14 元. (1) 求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2) 当 x 为何值时, 这次行车的总 费用最低, 并求出最低费用 的值. (精确到小数点后两 位, 10 ? 3.16 ) 解 : (1) 设 行 车 所 用 时 间 为
130 t? (h ) ………(1 分) x
130 x2 14 ? 130 y? ? 2 ? (2 ? )? , x ? [50, 100 ] x 360 x



(5 分) 所以, 这次行车总费用 y 关于 x

的表达式是
y? 130 ? 18 2 ? 130 ? x, x ? [50, 100 ] x 360

(或: 分) (
y?

2340 13 y? ? x, x 18

x ? [50, 100 ]

… (7 )

2 ,

130 ? 18 2 ? 130 ? x ? 26 10 ? 82.16 x 360

x ? [50, 100 ]

…(9 分) 仅
130 ? 18 2 ? 130 ? x ,即x ? 18 10 ? 56 .88 时, x 360



上述不等式中等号成立……(11 分) 答: 当 x 约为 56.88km/h 时 , 行车的 总费用最低, 最低费用的值约为 82.16 元.…(12 分) 12.如图,南北方向的公路 l,A 地 在公路的正东 2km 处,B 地在 A 地

东偏北 30°方向 2 3 km 处, 河流 沿岸 PQ(曲线) 上任一点到公路 l 和到 A 地距离相等.现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 A、B 两地 转运货物,经测算从 M 到 A, M 到 B 修建公路的费用均为 a 万元/km, 那么修建这两条公路总费 用最低是 A. (2 ? 3)a 万元 B. 2( 3 ? 1)a 万元 C.5a 万元 D.6a 万元

17. (本小题满分 12 分 如图,A,B 是海面上位于东西方

向相距 5 ? 3 ? 3 ? 海里的两个观测点, 现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏 西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救 信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立 即即前往营救,其航行速度为 30 海 里/小时,该救援船到达 D 点需要多 长时间?

解:由题意知 AB=5(3+ 3) 海里,
?DBA ? 90? ? 60? ? 30?, ?DAB ? 45?, ??ADB ? 105?

DB AB 在 ?DAB 中,由正弦定理得 sin ? ? DAB sin ?ADB
? DB ? AB ? sin ?DAB 5(3 ? 3) ? sin 45? 5(3 ? 3) ? sin 45? ? ? sin ?ADB sin105? sin 45? ? cos 60? ? sin 60? ? cos 45?

3(1 ? 3) ? 10 3 (海里) = 5 (1 , ? 3) 2

又 ?DBC ? ?DBA ? ?ABC ? 30? ? (90? ? 60?) ? 60?, BC ? 20 3 海里,在 ?DBC 中,由余弦定理得
CD2 ? BD2 ? BC 2 ? 2BD ? BC ? cos ?DBC

= 300 ?1200 ? 2 ?10 3 ? 20 3 ? 1 ? 900 2 (海里) ,则需要时间 t ? 30 (小 ?1 ?CD ? 30 30 时) 。 答:救援船到达 D 点需要 1 小时 (20)(本小题满分 12 分) 如图,甲船以每小时 30 2 海里的 速度向正北方向航行,乙船按固定

方向匀速直线航行 . 当甲船位于 A1 处时, 乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处, 此时两船相距 20 海里. 当甲船航行 20 分钟到达 A1 处时, 乙 船航行到甲船的北偏西 120 °方向 的 B1 处,此时两船相距 10 2 海里, 问乙船每小时航行多少海里?

解 : 如 图 , 连 结 A B , A B ? 10 2 , 20 A A ? ? 30 2 ? 10 2 , 60 ?A A B 是等边三角形, ?B A B ? 105? ? 60? ? 45? ,
1 2
2 2

1

2

1

2

2

1 1

2

在 ?A B B 中,由余弦定理得 B B ? A B ? A B ? 2 A B ? A B cos 45? , 2 ? 20 ? (10 2) ? 2 ? 20 ?10 2 ? ? 200
1 2 1
1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

2

B1 B2 ? 10 2.

因此乙船的速度的大小为 10202 ? 60 ? 30 2. 答:乙船每小时航行 30 2 海里. 19. (本小题满分 12 分) 下表是某地一年中 10 天测量的白昼 时间统计表(时间近似到 0.1 小时) 1 2 3 4 5 6 8 9 1 1 月月 月 月 月 月 月 月 0 2 日 1 28 21 27 6 21 13 20 月 月 期 日日 日 日 日 日 日 日 2 2 5 1 日日 日 2 3 期 11 12 17 22 26 1 59 80 9 5 7 6 2 5 3 位 8 5 置

序 号 x 白 昼 时 间 5. 10 12 16 17 19 16 12 8. 5. y 6 .2 .4 .4 .3 .4 .4 .4 5 4 ( 小 时 ) (I)以日期在 365 天中的位置序号 x 为横坐标,白昼时间 y 为纵坐标, 在给定坐标系中画出这些数据的散 点图; ( Ⅱ ) 试 选 .用 .一 .个 .形 如 y ? A sin(?x ? ? ) ? t 的 函 数

来近似描述一年中白昼时 间 y 与日期位置序号 x 之 间的函数关系.[注:①求出 所选用的函数关系式;② 一年按 365 天计算] (Ⅲ)用(Ⅱ)中的函数模型 估 计 该 地 一 年 中大约有多少天白昼时间大于 15.9 小时. 19. (本小题满分 12 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn=2n2, {bn } 为 等 比 数 列 , 且

a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . (Ⅰ)求数列 {a n } 和 {bn } 通项公式;
an (Ⅱ)设 c n ? bn

,求数列 {c n } 的前 n

项和 Tn. 解: (1 ) :当 n ? 1时, a ? S ? 2;
1 1

当n ? 2时, a n ? S n ? S n?1 ? 2n ? 2(n ? 1) ? 4n ? 2,
2 2

故 {an} 的 通 项 公 式 为 a ? 4n ? 2,即{a }是a ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. 设{bn}的通项公式为 q, 则b qd ? b , d ? 4,? q ? 1 . 4 故 b ? b q ? 2 ? 41 ,即{b }的通项公式为b ? 42 . 4n ? 2 (II)? c ? a ? ? (2n ? 1)4 , 2 b
n n 1

1

1

n ?1

n

1

n ?1

n

n

n ?1

n

n ?1

n

n

4 n ?1

? Tn ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n ?1 ], 4Tn ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 3)4 n ?1 ? (2n ? 1)4 n ]

两式相减得
1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9

17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, ?A、?B、?C 所对 的边长分别为 a、b、c ,设 a、b、c 2 2 2 b ? c ? bc ? a 满 足 条 件 和
c 1 ? ? 3 ,求 ?A 和 tan B 的值. b 2

17.本小题考查余弦定理、正弦定 理、两角差的正弦公式、同角 三角函数的基本关系等基础知 识,考查基本运算能力 . 满分 12 分. 解 法 一 : 由 余 弦 定 理 b ?c ?a 1 cos A ? ? , 2bc 2 因 此 , ?A ? 60? 在 △ ABC 中 , ∠ C=180°-∠A-∠B=120°-∠B. 由已知条件,应用正弦定理
2 2 2

1 c sin C sin(120 ? ? B) ? 3? ? ? 2 b sin B sin B sin120 ? cos B ? cos120 ? sin B 3 1 ? ? cot B ? , sin B 2 2

解得 cot B ? 2, 从而 tan B ? 1 . 2 解 法 二 : 由 余 弦 定 理 b ?c ?a 1 cos A ? ? , 2bc 2 因此, ?A ? 60? ,由 b ? c ? bc ? a , a c c 1 1 15 得 (b ) ? 1? ( ) ? ? 1? ? 3 ? 3 ? ? 3 ? . b b 4 2 4 a 15 ? . 所以 b ① 2 2 3 1 sin A ? ? ? 由正弦定理 sin B ? b . a 15 2 5
2 2 2

2

2

2

2

2

由①式知 a ? b, 故∠B<∠A,因此∠B 为锐角,于是 cos B ? 1 ? sin B ? 2 , 15
2

sin B 1 从而 tan B ? cos ? . B 2 20.(本小题满分 12 分) 等 差 数 列 {a n } 中 , 公 差

d ? 0, a2是a1与a4 的等比中项.已知 数 列 a1 , a3 , a k , a k ,?, a k ,? 成 等
1 2 n

比数列,求数列 {k n } 的通项 k n .

解:依题设得 a ?aa ∴ (a ? d ) ? a (a ? 3d ) ,整理得 d2=a1d, ∵ d ? 0, ?d ? a , 得 a n ? nd , 所以, 由已知得
a n ? a1 ? (n ? 1)d ,
2 2 1 4
2 1 1 1

1

d , 3d , k1d , k2d ,…, knd …是等 比数列. 由 d ? 0, 所以数列 1, 3, k1, k2, …, kn,… 也是等比数列,首项为 1,公比为
q? 3 ? 3,由此得k1 ? 9. 1





数 ,



{k n }的首项k1 ? 9, 公比q ? 3, 所以k n ? 9 ? q n?1 ? 3n?1 (n ? 1,2,3,?)

n ?1 { k } 的通项 k ? 3 . n 即得到数列 n


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