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概率统计2011-2012下A卷及答案


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卷<

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2011 — 2012 学年第二学期期末考试 《 班级 分 题 得 附 目 分 概率论与数理统计 学号 》 卷) (A 姓名 总

阅卷人

? (4) ? 9.488 , ? (4) ? 0.711, ? (3) ? 7.815 , ? (3) ? 0.352
2 2 2 2 0.05 0..95 0.05 0.95

装 订 线
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t (14 ) ? 1.761, t (15) ? 1.753, t (13) ? 1.771,
0.05 0..05 0.05

t

0.025

(14 ) ? 2.145 , t ? 1.96, z
0..05

0..025

(15) ? 2.132 , t
0.1

0.025

(13) ? 2.160 ,

,

z

0.025

? 1.645 , z ? 1.282 ,

一、选择题(共 5 题,每题 3 分,共 15 分) 。 1. 设 A、B 为任意两个事件,且 A ? B, P(B) ? 0 ,则必然有( b )。 (a) (c)
P( A) ? P( A B), ; P( A) ? P( A B), ; P( A) ? P( A B), ; P( A) ? P( A B), .

(b) (d)

2. 设随机变量 X 的分布函数为 F ( x), 则随机变量 Y ? 2 X ? 1的分布函数
G ( y ) 是(

a )。 (b) (d)
1 G( y ) ? F ( y ? 1) ; 2 1 1 G( y) ? F ( y) ? . 2 2

(a) (c)

1 1 G( y) ? F ( y ? ) ; 2 2
G( y ) ? 2 F ( y) ? 1 ;

第 1 页 共 8 页

3.一射手对同一目标独立地进行四次射击, 若至少命中一次的概率 为 15 则该射手的命中率为( c ) 。
16,

(a)

1 ; 4

(b)

1 ; 16

(c)

1 ; 2

(d)

15 . 16

4.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2, 则随机 变量 3X-2Y 的方差是( (a)
44 .
8;

d ) 。 (b)
16 ;

(c)

28 ;

(d)

5.设总体 X 的数学期望为 ? , X1 , X 2 ,? X n 是取自总体 X 的简单随机样 本,则下列命题中正确的是( a (a)
X1是?的无偏估计量

) 。 (b)

;

X 1是?的最大似然估计量 ;

(c)

X1不是?的估计量 ;

(d)无法判断.

二、计算题(共8题,第8题8分,其余每题各11分,共85分) 。 1. 已知在 10 个灯泡中坏灯泡的个数最多不超过 2 个,且坏灯泡个 数从 0 到 2 是等可能的, (1)求从 10 个灯泡中取出的 3 个都是好灯泡的概率; (2)如果从 10 个灯泡中取出的 3 个都是好的,求这 10 个 灯泡都是好灯泡的概率。 解:1)设 A 表示“取出的 3 个都是好灯泡” ;

第 2 页 共 8 页

Bi 表示“10

个灯泡中有 i 个坏灯泡” ,

i ? 0,1, 2

由已知条件得:
3 3 c3 c9 c8 7 7 1 P( Bi ) ? , i ? 0,1, 2 ; P( A | B0 ) ? 10 ? 1, P( A | B1 ) ? 3 ? , P( A | B2 ) ? 3 ? ,则 3 c10 c10 10 c10 15 3

P( A) ? P( A | B0 ) P( B0 ) ? P( A | B1 ) P( B1 ) ? P( A | B2 ) P( B2 ) 1 7 1 7 1 13 ? 1? ? ? ? ? ? 3 10 3 15 3 18

1 2) P( B0 A) ? P( A | B0 ) P( B0 ) ? 133 ? 6 P( A) 13 18 1?

2. 设随机变量 X 服从[2,6]上的均匀分布,现对 X 进行三次独立观 察,求至少有两次观测值大于 3 的概率。 X 的概率密度为
P( X ? 3) ? ?
6

?1 ? ,2 ? x ? 6 f ( x) ? ? 4 ?0,其它 ?

3

1 3 dx ? 4 4

令Y表示三次独立试验中观测值大于3的次数,则Y~ b(3,3/4)
1 1 27 2 3 3 3 P{Y ? 2} ? C3 ( ) 2 ? C3 ( )3 ( )0 ? 4 4 4 4 32

第 3 页 共 8 页

3.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为,
? Ae? ( x ? 2 y ) , x ? 0, y ? 0 f ( x, y ) ? ? ?0,其它

求: (1)常数 A; (2)X,Y 的边缘概率密度; (3)X,Y 是否相互独立; (4) P{0 ? X ? 1,0 ? Y ? 2} . 解: (1) ?0 ?0
?? ??

Ae?( x?2 y ) dxdy ? 1 ? A ? 2

所以

?2e ? ( x ? 2 y ) , x ? 0, y ? 0 f ( x, y ) ? ? 其他 ? 0,

? ?? 2e? ( x ? 2 y ) dy ? e? x , x ? 0 (2) f X ( x) = ??? f ( x, y)dy ? ??0 ? ? 0, x ? 0 ? ? ?? 2e? ( x ? 2 y ) dx ? 2e?2 y , y ? 0 ?? ? fY ( y ) = ? f ( x, y )dx ? ? ?0 ?? ? 0, y ? 0 ?
??

(3) f X ( x) fY ( y) = f ( x, y) , X , Y 相互独立 1 2 (4) P{0 ? X ? 1,0 ? Y ? 2} ? ?0 dx?0 2e?( x?2 y )dy ? (1 ? e?4 )(1 ? e?1 ) =0.62

4.保险公司为了估计企业的利润,需要计算各种概率,若一年 中某类投保者中每个人死亡的概率为 0.005,现有这类投保者 1 万人, 试求在未来一年中在这些投保者中死亡人数超过 70 人的
第 4 页 共 8 页

概率。 (结果用 ?( x) 表示) 解:令X为“一年中投保者中死亡人数” ,则X~ b(10000,0.005)
E( X ) ? 10000 ? 0.005 ? 50, D( X ) ? 10000 ? 0.005 ? 0.995 ? 49.75

由中心极限定理: X ~ N (50, 49.75) ,所以 ?
P{ X ? 70} ? 1 ? P{ X ? 70} ? 1 ? P{ X ? 50 70 ? 50 20 ? } ? 1 ? ?( ) ? 1 ? ?(2.84) 49.75 49.75 49.75

5. X1 , X 2 ,? X n 为总体 X 的一个简单随机样本。设总体 X 的概率密度 函数为 (1)
? 6x ? (? ? x), 0 ? x ? ? f ( x) ? ? ? 3 ?0, 其它 ?

,求 ? 的矩估计量 ?? ;

(2)

?1 ? ,? ? x ? 2? ,? ? 0 f ( x ) ? ?? ,求 ? 的最大似然估计量 ?? 。 ?0, 其它 ?
?
2

解: (1) E ( X ) ? ?0 6 x3
?
令E ( X ) ? X

(? ? x)dx ?

?
2

?

?
2

?X

? ?? ? 2 X

?1 ? ,0 ? x ?? L(? ) ? ?? n i ? 1, 2,..., n ?0, 其它 ? (2) ? ? min xi ? max xi ? 2?
1? i ? n 1? i ? n

1 max xi 2 1?i ? n 1 ?当? 取 max xi时L(? )取得最大值 2 1?i ?n ?? ?

第 5 页 共 8 页

? 1 ??的极大似然估计为? = max xi 2 1?i ?n

6. 对某种型号飞机的飞行速度进行 15 次试验, 测得最大飞行速度 的样本均值为 425.047,样本方差为 71.88,根据长期经验,最大飞 行速度可以认为服从正态分布, 试就上述试验数据, 对最大飞行速 度的期望值进行区间估计,取置信水平为 95%。 解: x ? 425.047, s2 ? 71.88, n ? 15, t? (n ?1) ? t0.025 (14) ? 2.145
2

? ( x ? t? (n ? 1) ?
2

s 71.88 ) ? (425.047 ? 2.145 ? ) ? (425.047 ? 4.696) ? (420.351, 429.743) n 15

7.某苗圃采用两种育苗方案做杨树的育苗试验,两组育苗试验中, 已知苗高的标准差分别为 ?1 ? 20cm, ? 2 ? 18cm. 各抽取 80 株树苗作为样 本,算得苗高的样本均值为 x1 ? 68.12cm, x2 ? 58.65cm. ,已知苗高服从正 态分布,试在显著性水平 ? ? 0.1 下,判断两种试验方案对平均苗高 的影响有无明显差别? 解: H 0 : ?1 ? ?2 , H1 : ?1 ? ?2

第 6 页 共 8 页

检验统计量: z ?

x1 ? x2

? 21 ? 2 2
n1 ? n2

拒绝域 w: z ? z?
2

? z0.05 ? 1.645

代入样本值计算得: z ? 68.122? 58.65 ? 3.15 ? 1.645, 2
20 18 ? 80 20

落入拒绝域

所以, 拒绝原假设, 认为两种试验方案对平均苗高的影响有明 显差别。

8.将一个四面体重复投掷 100 次,得如下结果 与地面接触 的面 X 次数 4 23 26 问该四面体是否为均匀的
(? ? 0.05) ?

1

2

3

26

25

解: H 0 : 四面体为均匀的

第 7 页 共 8 页

fi 2 ? ?? ?n i ?1 npi
k 2

Ai
A1 :{ X ? 1}
A2 :{ X ? 2}
A3 :{ X ? 3}
A4 :{ X ? 4}

fi

pi

npi

fi 2 npi

23 26 25 26

1/4 1/4 1/4 1/4

25 25 25 25

21.16 27.04 25 21.04
? ? 100.24

2 拒绝域为: ? 2 ? ??2 (k ? 1) ? ?0.05 (3) ? 7.815

现在 ? 2 ? 100.24 ? 100 ? 0.24 ? 7.815 没有落入拒绝域,所以接受 H 0 ,认为四面体是均匀的。

第 8 页 共 8 页


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