当前位置:首页 >> 高中教育 >>

广东省仲元中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷


广东仲元中学 2015 学年上学期期终考试高一数学试题 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项 是符合题目要求的. 1.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( A. )

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6


2.不等式 ? x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 的解集是( A. x | x ? 2或x ? 1

?

?

B. x | x ? 2或x ? 1

?

?

C. ? x |1 ? x ? 2? )

D. ? x |1 ? x ? 2?

3.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是(

A. y ?

x 2 ?x B. y ? ( x ? 1) C. y ? 2 D. y ? log 0.5 x 2


4.设 l 为直线, ?、? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l / /? , l / / ? ,则 ? / / ? C.若 l ? ? , l / / ? ,则 ? ? ? B.若 ? / / ? , l / /? ,则 l / / ? D.若 ? ? ? , l / /? ,则 l ? ?

5.已知两直线 l1 : x ? mx ? 4 ? 0, l2 : (m ? 1) x ? 3my ? 2m ? 0 . 若 l1 / / l2 , 则 m 的值为 ( A.4 B.0 或 4 C.-1 或
2 2



1 2

D.

1 2


6.若方程 x ? y ? x ? y ? m ? 0 表示圆,则实数 m 的取值范围是( A. m ?

1 2

B. m ?

1 2

C. m ? 1

D. m ? 1 )

7.函数 f ( x) ? ( ) x ? x ? 2 的零点所在的一个区间是( A. (?1, 0) B. (0,1) C. (1, 2) D. (2,3)

1 2

8.在空间直角坐标系中,给定点 M (2, ?1.3) ,若点 A 与点 M 关于平面 xOy 对称,点 B 与 点 M 关于 x 轴对称,则 AB ? ( A.2 B.4 C. 2 5 D. 3 7
1



9.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm ,将一个球放在容器口, 再向容器内注水,当球面恰好接触水面时,测得水深为 6cm ,如果不计容器的厚度,则球 的体积为( )

A.

866? cm3 3

B.

500? cm3 3
2 2 2

C.

2048? cm3 3

D.

1372? cm3 3

10. M ( x0 , y0 ) 为圆 x ? y ? a (a ? 0) 外一点,则直线 x?x0 ? y ?y0 ? a 2 与该圆的位置关 系为( ) D.相切或相离

A.相切 B.相离 C.相交

11.若 5 ? x ? 6, P ? ( ) x , Q ? log 2 x, R ? A. Q ? P ? R B. P ? Q ? R
? x2 ? 2 x ? 5 4

1 2

x ,则 P, Q, R 的大小关系是(
D. P ? R ? Q



C. Q ? R ? P

12.设函数 f ( x) ? 2

,对于给定的正数 K ,定义函数 f g ( x) ? ?
5 4

? f ( x), f ( x) ? K , ? K , f ( x) ? K


若对于函数 f ( x) ? 2

? x2 ? 2 x ?

定义域内的任意 x ,恒有 f g ( x) ? f ( x) ,则( C.K 的最小值为 2 2

A.K 的最小值为 1 B.K 的最大值为 1

D.K 的最大值为 2 2

第Ⅱ卷(本卷共计 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) . 13. P 为圆 x ? y ? 1 的动点,则点 P 到直线 3 x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最大值为
2 2

________.
2 2 14.已知直线 y ? kx ? 2k ? 1 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3 相交于 M , N 两点,则 MN 等于

__________. 15.若函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) ? m (a ? 0, 且a ? 1) 恒过定点 (n, 2) ,则 m ? n 的值为 ________. 16.设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? a
x ?1

, 则 f (?1) 的 ? 4( a 为常数)
2

值为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分共 70 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 17.(满分 10 分) 设函数 f ( x) ?

log a ( x ? 2) (0 ? a ? 1) 的定义域为集合 A ,已知集合

B ? ? x |1 ? x ? 3? , C ? ? x | x ? m? ,全集为 R .
(1)求 (CR A) ? B ; (2)若 ( A ? B ) ? C ? ? ,求实数 m 的取值范围.

19.(本题满分 12 分) 如图所示,已知 AB ? 平面 BCD , M , N 分别是 AC , AD 的中点, BC ? CD . (1)求证: MN / / 平面 BCD ; (2)求证:平面 ABC ? 平面 ACD .

20.(本小题 12 分)

如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? a, AB ? 2a , E 为 C1 D1 的中点. (1)求证: DE ? 平面 BEC ; (2)求三棱锥 C ? BED 的体积. 21.(本题满分 12 分) 已知圆 O : x ? y ? 4 ,圆 O 与 X 轴交于 A, B 两点,过点 B 的圆的切线为 l , P 是圆上异于
2 2

3

A, B 的一点, PH 垂直于 X 轴,垂足为 H , E 是 PH 的中点,延长 AP, AE 分别交 l 于 F,C .
(1)若点 P (1, 3) ,求以 FB 为直径的圆的方程,并判断 P 是否在圆上; (2)当 P 在圆上运动时,证明:直线 PC 恒与圆 O 相切.

22.(本题满分 14 分) 函数 f ( x) ? log a ( x ? 4) ? 1 ( a ? 0, a ? 1) 所经过的定点为 (m, n) ,圆 C 的方程为 直线 3 x ? y ? 1 ? 2 3 ? 0 被圆 C 所截得的弦长为 73 . ( x ? m) 2 ? ( y ? n) 2 ? r 2 (r ? 0) , (1)求 m、n 以及 r 的值; (2)设点 P (2, ?1) ,探究在直线 y ? ?1 上是否存在一点 B (异于点 P ) ,使得对于圆 C 上 任意一点 T 到 P, B 两点的距离之比

TB TP

.若存在,请求出点 B 坐标以及常 ? k ( k 为常数)

数 k 的值,若不存在,请说明理由.

4

参考答案 一、选择题: DCACB

ADABC

DB

二、填空题:13.3; 14. 2 3 ; 15.4; 16.-12 三、解答题: 17. 解: (1) 因 0 ? a ? 1, 由 log a ( x ? 2) ? 0 得 0 ? x ? 2 ? 1 , 所以 A ? ? x | 2 ? x ? 3? , . . . . . 2 分

CR A ? ? x | x ? 2或x ? 3? ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分

(CR A) ? B ? ? x | x ? 2或x ? 3? ? ? x |1 ? x ? 3? ? ? x |1 ? x ? 2? , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6


(2)由(1)知 A ? ? x | 2 ? x ? 3? ,因 B ? ? x |1 ? x ? 3? , 所以 A ? B ? ? x |1 ? x ? 3? , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 又 C ? ? x | x ? m? , 所以 m ? 3 ,

( A ? B) ? C ? ? ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

18.解: 如图易知直线 l 的斜率 k 存在,设直线 l 的方程为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分, y ? 5 ? k ( x ? 5) , . 圆 C : x ? y ? 25 的圆心为 (0, 0) ,
2 2

5

半径 r ? 5 ,圆心到直线 l 的距离,

d?

5 ? 5k 1? k 2

, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

∴由

(5 ? 5k ) 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 ? (2 5) 2 ? 25 ,可得. 1? k 2
1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 2

2k 2 ? 5k ? 2 ? 0 ,∴ k ? 2 或 k ?


l 的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 或 x ? 2 y ? 5 ? 0 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10


∴ AE ? CD ,又∵ BC ? CD .且 AB ? BC ? B ,∴ CD ? 平面 ABC , 又∵ CD ? 平面 ACD , ∴平面 ABC ? 平面 ACD , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 分 20. (本小题 12 分) 解: (1)证明:∵ BC ? 侧面 CDD1C1 , DE ? 侧面 CDD1C1 , ∴ DE ? BC , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 在 ?CDE 中, CD ? 2a, CE ? DE ?

2a ,则有 CD 2 ? CE 2 ? DE 2 ,

∴ ?DEC ? 900 ,即 DE ? EC , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 又∵ BC ? EC ? C ,∴ DE ? 平面 BCE , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 (2)∵ BC ? 侧面 CDD1C1 且 CE ? 侧面 CDD1C1 , ∴ CE ? BC , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 则 S ?BCE ?

1 1 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 ?BC ? CE ? ? a ? 2a ? a , . 2 2 2

又∵ DE ? 平面 BDE , DE 就是三棱锥 E ? BCD 的 高, 则
6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分

VC ? BED ? VE ? BCD ? VD ? BCE
. .12 分

1 1 2 a2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ? ?DE ?S ?BCE ? ? 2a ? a? 3 3 2 3

21. 【解析】 (1)由 P (1, 3), A( ?2, 0) ,∴直线 AP 的方程为 y ?

3 3 ( x ? 2), E (1, ) , 3 2

令 x ? 2 ,得 F (2,

4 3 3 3 ) ,由 E (1, ) , A(?2, 0) ,则直线 AE 的方程为 y ? ( x ? 2) , 3 2 6 2 3 ) ,∴ C 为线段 FB 的中点,以 FB 为直径的圆恰以 C 为圆心,半径 3

令 x ? 2 ,得 C (2,

等于

2 3 , 3

所以,所求圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 上,

2 3 2 4 ) ? ,且 P 在圆 3 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

(其他解法同样给分) (2)设 P ( x0 , y0 ) ,则 E ( x0 ,

y0 y0 ) ,直线 AE 的方程为 y ? ( x ? 2) , 2 2( x0 ? 2)

在此方程中令 x ? 2 ,得 C (2,

2 y0 ), x0 ? 2

直线 PC 的斜率 k PC

2 y0 ? y0 2 ? x0 x y x y x ? ? ? 0 02 ? ? 0 2 0 ? ? 0 , 2 ? x0 4 ? x0 y0 y0

若 x0 ? 0 ,则此时 PC 与 y 轴垂直,即 PC ? OP ,若 x0 ? 0 ,则此时直线 OP 的斜率为

kCP ?

y0 x0 x0 y0 ? ? 1 ,即 PC ? OP ,则直线 PC 与圆 O 相 y0 x0

∴ k PC ?kOP ?

切, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 22.解: (1)在函数 f ( x) ? log a ( x ? 4) ? 1 ( a ? 0, a ? 1) 中,当 x ? 5 时, y ? ?1 ,所以其

7

经过的定点为点 (5, ?1) ,即

m ? 5, n ? ?1 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分

由于直线 AP 被圆 C 所截得的弦长为 73 ,圆 C 半径为 r ,设圆心到直线 AP 的距离为 d , 由于圆心 (5, ?1) 到直线 3 x ? y ? 1 ? 2 3 ? 0 的距离为

d?

5 3 ?1 ?1 ? 2 3 3 ?1

?

3 3 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 2

那么 d 2 ? (

73 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 ) ? r 2 ,解之有 r ? 5 , 2

(2)假设在直线 y ? ?1 上存在一点 B (异于点 P ) ,使得对于圆 C 上任意一点 T 到 P , B

两点的距离之比

TB TP

.圆与直线 y ? ?1 的交点为 S (0, ?1), Q(10, ?1) ,设 ? k ( k 为常数)

B(m, ?1) (m ? 2) ,而若点 T 在 S 和 Q 时,则有:

SB SP

?

QB QP



即:

m m ? 10 ,解得 ? 2 8
10 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 3

m??

下面证明:设 T ( x, y ) 为圆上任意一点,则:

TB ? ( x ?
.10 分,

10 2 ) ? ( y ? 1) 2 , TP ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

TB TP

(x ? ?

10 2 ) ? ( y ? 1) 2 3 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2

x 2 ? ( y ? 1) 2 ?

20 100 x? 3 9 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 x ? ( y ? 1) ? 4 x ? 4

.12 分

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? ?

20 100 20 100 x? 10 x ? x? 3 9 ? 3 9 ? 5, 2 2 3 6x ? 4 x +(y+1) ? 4 x ? 4

8

所以在直线 y ? ?1 上存在一点 B (? 距离之比

10 , ?1) ,使得对于圆 C 上任意一点 T 到 P , B 两点的 3

TB

5 ? , TP 3
.14 分

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9


相关文章:
广东省仲元中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试...
广东省仲元中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。广东仲元中学 2015 学年上学期期终考试高一数学试题 第Ⅰ...
2015-2016学年广东省仲元中学高一上学期期末考试数学试...
2015-2016学年广东省仲元中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年广东省仲元中学高一上学期期末考试 数学试题一...
广东省仲元中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题
广东省仲元中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题_数学_高中教育_教育专区。广东仲元中学 2015 学年第一学期期中考试高一年级数学学科必修一 模块试卷第 I 卷 (...
广东仲元中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试卷
广东仲元中学2015-2016学年高一学期期中考试数学试卷_数学_高中教育_教育专区。期中考试试题 广东仲元中学 2015-2016 学年高一学期期中考试数学试卷 一、选择题:...
...2015-2016学年广东省仲元中学高一上期末数学试卷(带...
绝密★启用前 【百强校】 2015-2016 学年广东省仲元中学高一上期末数学试 卷(带解析) 试卷副标题 考试范围:xxx;考试时间:176 分钟;命题人:xxx 学校:___姓名:...
广东省仲元中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学试...
广东省仲元中学2015-2016学年高一学期期末考试数学试题Word版含答案.doc_数学_高中教育_教育专区。广东仲元中学 2015 学年第二学期期末考试高一 数学学科试卷第Ⅰ...
广东省仲元中学2015-2016学年高一上学期期中考试 数学...
广东省仲元中学2015-2016学年高一上学期期中考试 数学试题(word)版 广东仲元中学 2015 学年第一学期期中考试高一年级数学学科必修一模块试卷 第 I 卷 (本卷共计...
广东省仲元中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试...
广东省仲元中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案_高三数学...广东仲元中学 2015 学年第一学期期中考试高一年级数 学学科必修一模块试卷 第 ...
广东省仲元中学2015-2016学年高一上学期期末考试化学试卷
广东省仲元中学2015-2016学年高一上学期期末考试化学试卷_高中教育_教育专区。说明:1、考试时间:100 分钟; 本卷满分: 1 0 0 分 2、请将答案填写在答案卷上,...
2015-2016学年广东省仲元中学高一上学期期中考试数学试题
2015-2016学年广东省仲元中学高一上学期期中考试数学试题_高中教育_教育专区。广东仲元中学 2015 学年第一学期期中考试高一年级 数学学科必修一模块试卷第 I 卷 (...
更多相关标签: