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基于Matlab和GM(1,1)模型的Weibull分布参数估计


第2 8卷  第 3期  2l 0 0年 6月  

江 

西  

科 

学 

Vo . 8 1 2  No 3 . 

LAN j I GXi S   NC     C E

J n. (l   u 2 )O

文 章 编 号 :O 1 3 7 ( 0 0) 3— 2 l 0   I0 — 6 9 2 1 0 0 9 一 4

基 于 Ma a t b和 G 1 1 模 型 的  l M( , ) We u1 布 参 数 估 计  i l分 b
史景 钊 , 陈新 昌 , 张  峰 
( 南 农 业 大 学 f 电工 程 学 院 , 南 河 』 【 河 郑 州 400 ) 5 0 2 

摘要 : 绍 了随机截尾情 况下计算样 蕾失效概 率的 Jh sn算法和 G 1 1 模 型估计三参 数 Webl 分布参  介 ono M( , ) i 1 u 数 的方 法; 出了结合 Jll i搏法币 C 1 1 模 型估计随机 栽 黾情 况下 We u 分布参数的方法 , 写 了相  提 ol O r ' Sl , M, , 、 il b1 编
应 的 Ma a t b函数 , l 实例 计 算 表 明 这 种 方 法的 计 算精 度 可满 足 工程 需要 。   关 键 词 : 靠 性 ; iu 分 布 ; 数 估 什 : M( ,) 型 ; t b 可 We ] b1 参 G 11 模 Mal   a 中 图 分 类 号 :B 1.  T 14 3 文 献标 识 码 : A 

3 Pa a t r W eb l Dit i u in P r m ee   t a in . r me e   i u l srb to   a a tr Esi to     m

B sdo   t ba dG ( ,)Mo e ae nMal  n   M 1 I a dl  
S   igz a , HE   n c a g Z HI n —h o C N Xi—h n , HANG F n   J  eg
( e a  gi l r   nv r t , e a   h n z o   5 0 2 P C   H n nA r ut a U ies y H n n Z e g h u4 0 0   R ) c  J u i

Ab ta t I t d c d arn o smpe o e s rd c s s te fi r  rb bl yc lu ain o o n  sr c :nr u e   a d m a l  fc n oe  a e ,h  al e po a it  ac lt   f h — o u i o J

sna oi m a dteueo  M( , )mo e, iulds iui   aa ee  s m t n ter , o l rh   n h  s fG 1 1 g t d l We l i r t n p rm t set ai  hoy  b   tb o r i o

pooe o bn t no  h sna oi m a dG 1 1 o e t et a   iul ir ui  a rp sdcm ia o f o no  l rh  n   M( , )m d lo s m t Web lds i t np — i J g t    i e   tb o  
r mee so  h   t o p e a ai n o   ta  u c in, n i sa e o   si t d r s lss o t a h   a tr  ft e meh d, r p r t   fMa lb f n t o o a  n tnc   fe t mae   e u t  h w h tt e meh d i e ibl   t o  S r la e.

Ke  o d : e a it。 iul iI ui , aa t  s m t n G 1 )moe, t b y w r s R l bly Web l ds i t n P rme ret ai , M( ,1 i i   tb o e i o d lMa a   l



O 前 言   
在 产 品的寿命 试验 中有完 全 寿 命试验 和截 尾  寿命 试验 2种类 型 。其 中截尾 寿命 试验 又分 为定 
时截 尾 、 数 截尾 和 随饥 截尾 等  。参 加 试 验 的  定

般 的情 况 , 他 寿 命试 验 都 可看 作 它 的一 个 特  其 Webl分 布模 型 能 够 根 据 形 状 参 数 的 变 化  iu1

例。  

表现为各种不 同的形状 , 较好地适用 于各类寿命  试验 , 因而 在 可 靠性 分 析 中应 用 十 分 广 泛 。对 于  服从 We u 分布的随机截尾寿命数据 的参数估  il b1 计, 国内外 学者 进行 了大 量 的研究 , 出 了一些 参  提

部分 产 品 由于某 种原 因 ( 如人 为 因素 造 成产 品损  坏 、 计 数 据 丢失 、 验 设备 失 效 、 据 试 验 计 划  统 试 根 有意撤 出 等 ) 没 有 失 效 就 巾途 退 出 试验 , 样  还 这
得到 的数据 即为 随机 戳 尾数 据 ( 称 为右 删 失 数  也

数估计方法 , 主要有极大似然估计法¨ J贝叶斯  “、
估计法  ]最 小二乘 法 j 图估计 法u 、 、 叫等 。本 
文根 据文 献 [ ] 绍 的方 法计 算 样 本 失 效 概率 , 1 介 1  

据) 。随机 截尾 寿命 试 验 是 可靠 性 寿命 试 验 中最 
收 稿 日期 :00— 3— 3 修 订 日期 :0 0—0 21 0 2; 21 4一】  4

作者简介 : 史景钊 (9 3一) 男 , 16 , 河南柘 城人 , 教授 , 副 主要从事农业 装备可靠性方 面的研究工作 。  
基 金 项 目 : 南 农 业大 学 博 士 基 金 项 目( 0 00 2 。 河 35 0 2 ) 

?

2 2? 9  

2l 0 0年第 2 8卷 
i( t r=


结合 文献 [ 2 介  的 c J J 十  逊  啦 饥截  1] M( , )I !
尾 条 件 下 的 三 参数 web l分 m参 数 估 计 , iu1 并征  M t b中实 现 了这 一算 法 。 al a  

= 1)  

/r ( )=( n+I / t+ ) (l 2一i ;   )%

t r 为甲 均 次序 数  , ) (
es   le

l 样本 失效 概 率 的计 算   
假 设投 入 寿 命 试 验 的 产 品 数 量 ( 即样 本 容  量) n 产 品 的 寿命 为 随 机 变 量 7 其 分 布 函数  为 , 1 ,
为 F t, () 相应 的样 本 失效概 率 为 F () 在试验 结   t ,


. r , r )+( +l一 r , )=_ —1 ( (    ( 
1 ) ( 2一i ; ) / n+ ) 
e d n 

( )= ()  r £i;

束 时其 中有 r 产 品 发 生 了 失效 , 失效 时 间 为  个 其
1    …  ,有  =几一r   2 s , 个产 品 由于各种 原 因 

() J r 0 3 / 1+ . )  r =( ()- . ) ( 04 ; 7 ,

%此 处也 可使用平 均 秩算 法  ( )=J r /  十 r ()(  
1; ) 
e   nd

中途 撤 出 了试 验 , 撤 出 时 间分别 为 Y 其   到大排 序后 可表示 为 :  

s… 

Y , 观察 到 的随 机 截 尾 寿命 数 据 其 时 间 按从 小   则
ed n 

f, 产 品失效 时 , , , ,    :l2 … r . ,      

在 上述 函数 中 , 为 寿命 试 验 数 据 向量 , t 包括  失 效 数 据及 中 途撤 出数 据 ;tt 状 态 向量 , s e为 a 失 

t 【  产品撤出时, 12   Y m= ,


= {  

= 1.  
’  




,  

,  

2。 。   … n

效 时 s t()=1撤 出时 s t()= ; 出参 数为  te i a , te i 0 输 a
失 效数据 向量  及 其 中位秩 向量  。  

显然这类数据不能按照完全样本数据的处理  方 法计算样 本失 效 概 率 , 须 寻找 其 他合 适 的方  必 法 。常用 的方 法 有平 均 次序 号 法 口 ¨和 残存 比率 
法, 以下介 绍平均 次序 号法 。   Jh sn认 为 中途 撤 出试 验 的产 品 会造 成 失  o no

2 利 用 G 11 模 型估 计 We u1   M( ,) il b   分布参数 
2 1 We u1 布参 数与 G 1 1 模型 的关 系  .  i l分 b M( , ) Web l分布 的寿命 分 布 函数 由下 式给 出  iu 1

效产 品的时 问次 序发 生变 化 , 该计 算 失效 产 品  应
的平均 次序号 , r 失效产 品 的平 均次序 号 为 : 第 个   J=   +,  J ,  
‘       ,: +   i     2
一  

(  )=1 x [一( 一ep  
,  

)    ]

() 5 

() 1 
() 2
\一 /  

式中, m称 为形 状参 数 , m>0 7称 为 尺度 参数 ,  ; 7 叼 > ; 为位 置参数 , 于产 品 寿命 有  0 y称 对
间,   。  

O  = ,  

式 中, 为产 品 的失效 序 号 ;, r J 为第 r 个失 效 数 据 
的平 均次序 号 , 假 定 J 0;, 第 r 失 效数  并 o= , 为 个

0时 即是二参 数 We u1 布 ; 产 品 的工 作 时  i l 分  是 b
式() 5 经过变形 处理 也可表 示 为 :  

据平 均次序号 的增 量 ;为第 r 失 效数据 的 自然  i 个
序号 ( 括 中途撤 出 的数 据 )  包 。 计算 出平 均次 序号 . 后 , 以 . 通过 中位秩  ,   再 , , 算 法或平 均 秩 算 法 计 算 失 效 数据 的样 本 失 效 概 
率。  

=  ̄x(   y+T p1 e 止

)  

() 6 

令  =I[一l( n n 1一F( ) ] i ,, ,,   ) , =12 … r  
并 记 7=cn: 一1 m, :6 则式 ( ) 转化为 : 7 , /   , 6可  
=  x (一。   cep t)+b r   () 7  灰色 系统 G 1 1 M( , )模 型的微 分方 程  为 :  

中位秩算 法 :  

() 3 

() f   平 均秩算 法 : ( )       () 4  实 现这 一 算 法 的 M tb函 数 (ono.1  al a Jhsn 1) 1
为:  

( R)  ∈  

() 8 

其 时 间响应模 型为 :  
():  x (一口)+   £ cep £  _ () 9 

fntn  F ]= ono(,te  u co [ n Jh sn ts t) i a =eg ()r 0  lnt t ;= ; h
fri=1:   o  n

显然 , 方程 ( ) 方程 ( ) 有 相 同 的形式 , 7和 9具   若 视 ( , 为一 时间序列 ,    ) 则可 用 G 1 1模 型  M( ,) 对 参数 a 、 行估 计 , 而得 到 m、 叩的估 计  、  进 进  

i s t( )==1  f tei (a )
r=r+ 1:  

值。C 11 模型各参数 的估计值 可用最小二  M( ,) 乘法得到 :    

式 

3i  n    c j 】
l   l 一  

景钏 等 :  
 
  一

M t b f GM( ,) al  1 a j   1 1 馍  的 We r 1 l l分币 参数  汁  t o
(0 1)
, =    

.9   2 3.

、  _ “  r●●●●l l J  

D=e p Ⅲ ( ) £ , 汁  D; x (一 z 1 . (    ) %  

。  :

一 

plf ( 】 , ) % 求 形 状 参数 千  o ] B,' 1 , yt I Z ¨

” ¨ ~ +     l   — 一  

位 嚣 参数初 值 ;  
b =plf ( X 1 , 优 化 位 黄 参 数 , c o i D, , ) % yt   求 尺 度参数 ;   P=[一1 a ( ) b ( ) b ( ) 。 / u 1 ,c 1 ,c 2 j 





  .





7— 1 -  

[   =(     D X bc D D)    

( ) 1  1

函数 的输入 为失 效 时问 向 量  _佯 本 失效 概  干 I J

式 ,[ : “,[  。 中 : 】 :  -  ,  。  : 】 = …] “    Y  
由式 ( 0 得 到 a和 u 由式 ( ) 到 c 比较  1) , 1 得 1 ,

率 向量 F , 出为威 布尔 分 布 参 数 向量 P 其 中 P  输 ,   (: 1 为形 状 参数 m, ( ) 1 P 2 为尺 度 参数 叼, ( ) P 3 为位  置 参数 y 。在 Ma a r b的命 令窗 口中输人 试验数 据  l
向量及 状态 向量 :  

式 ( )和 式 ( ) 知 We u1 布 参 数 与 n “ C 7 9 可 i l分 b 、 、  的关 系  ] 即 m = 一1 a y:b:u a ' =c 式  , /, / ,7 , ( ) 出 的 b 1 算 1 是  的进一 步 优化 值 。   2 2 参 数估 计  .

t 5 4 6 3 7 2,2 ,0 , 1 ,3 10 4  =[ 4 ,6 ,0 7 7 8 7 9 4 9 9, 8 ,   119, 2 5 ;   9 l 6 ]    s t =[ , , 0 1 10, , , ]  t e 1 10, , , , 1 1 0 ; a

以下 以具 体 实 例说 明参 数 估计 的过程 。  
考察 某机 械 零件 的可 靠性 , 人 1 投 0件产 品进  行寿 命 试验 , 验 过 程 中 6件 发生 了失 效 , 试 中途 有 
4件撤 出试 验 , 效 时 问及 撤 出时 问按 先 后 顺 序  失 排列 如表 1 示 。 所   表 1 某机械 零 件寿 命试 验表   

用 [ F ]= ono (,te 的形 式调用样   ,   Jhsn ts t) a
本 失 效 概 率 的计 算 函数 , 算 结 果 如 表 1所 示 。 计  
然后 用 P:G a ( F ) ry ,   的形 式 调 用 G a ry函数 即  可 得到估 计 结果 。   上例若用 Jh sn中位秩法计算样本失效概率 , ono  

得到的估计 结果 为 P=[.8 , 06489.9 ]  306 1 2.0 ,269 ,  
即该 批零 件 服从形 状 参数 为 3 0 6 尺 度参 数为  .8 , 10 6 4 8 位 置 参 数 为 9 . 9  2 .0 , 2 6 9的 We u i l 布。 b 1分   各失 效数 据 减去位 置 参 数 后 在 We ul 率纸 上  i |概 b 描点( 1 , 图 ) 可看 到各 点基 本 在一 条直 线 上 , 明  说

试验 数据 确实 服从 三参 数威 布尔 分 布 , 算 结 果  计
是正 确 的。  

/   /  





/  

夕  /  


/ / 

r 

/  

根 据 式 ( 0) 式 ( 1 , 写 Mal 函 数  1 和 1) 编 tb a

( ry m) G a . 完成 参数 估计 。函数代 码 为 :  
fn t nP=G a ( F ) u ci   o ry , n 

图 1 用 Web l 概 率纸进 行 分布 检验    iul

r ln t( ; 为失 效 数 ; = e g  ) %r h  

3 结 语 与 讨 论   
有 中途 撤 出 的服从 We u1 布 的 随机 截 尾  i l分 b 数 据 的参 数估 计 是 比较 复 杂 的 , Mal 用 t b强 大 的  a 数 学运算 功 能仅 需 不 多 代 码 即可 完 成 , 大 减 轻  大 了编程 负担 , 高 了运算 效率 。 提  
实例 计算 表 明 , 合 Jh sn算 法 与 G 1  结 o no M( ,

tu:lg 1 ( . ( 一F ) ) %计算 , a o (o 1/ 1 n ) , g  
此处 用 tu表 示 ; a  

B=一 .. df )一 [ : 一1 ) % 05   i(  ( 1r ] ,  
计算 B;  

g n=d ( . d r tu , 汁算  ; i  ) /  ̄(a ) % f f  

?

2 4? 9  

2 l 年第 2 卷  0( ) } ;
[  J 6、  恍  , 汤  / , j 必鹤 R. ‘ 删失效f 戚 布尔 分币 参数  { I  
的 【叶 断挽 汁 分 忻 [ ] 上 海 帅 池 火 学学 报 ( j ! J. 自然 科 
学 舨 ) 2 0 ,7 1 :8— 4  ,0 8 3 ( ) 2 3 .

1 模 型 估l‘ ) } 三参 数 Wcl ¨的 参敦 址 f 的 , I i 川 ,   ¨  既可 州 于完 全样 本 . 吖川 J 饥样 小。 试验    : 随   数据 能 较 好 地 服 从 We u1 布 时 , 汁结  具  i l分 b 仙

有较 高 的精 度 , 全可 满 足 一 f 完 股  程需 要。     G 1 1 模 型一 次性 计算 出 3个 参 数 , 无  M( , ) 且 需迭代 计 算 , 捷 、 便 , 无 法 应 』 r 参 数  快 方 仉    
Web l分布 。 iu1  

[  关 7

云 , 乾 坤 . 参 数 WebI 布 下 随 机 敲 尾  术 一 iu1分

恒加寿命试验 的 Bys 汁分忻 [ ] 西南 民族学  ae 统 J.
院  ( 学报 自然 科学 版 ) 19 ,3 2 :4 ,9 72 ( ) l4—18 4.  

f ] AM l~Wai A A,Vnebtm A. p rx a       le 8 h     \i roo   A poi t d t t m e
Ba e i n e t t s o  he e b l eibii  f n to   y sa   si e fr t  W i u l la lt u ci n ma  r y

a d h zr a   o   e s r   a 『 ] J un l f t. n   a a r ef m c n o d d t J .o ra o  a d tr e a   S  

参 考 文献 :  
[ ] 李海波 , 1 张正 平 , 彦平 , 基于随机 战尾 数  下  胡 等.
Webl分 布 的 参 数极 大 似然 估 汁 与 应 片 [  强 度  iu1 】J 与 环 境 ,0 93 ( ) 6 6 . 20 ,6 4 : O一 4  

tsi a  a nig an   n e e e, 9 7 . 6:77 —2   itc lPln n   d I f rnc 1 8 1 2 83.

[ ] Z ag1 , i M, agL C Ba or t nf   e 9  hn   F Xe T n    . i cr ci   rt     s e o o h
]a t q ae   si tr f eb l s a ep rmee   i   e s s u r se t   ma o    i ul h p   a a trw t oW   h

cm l ead Lnoe  a [ ] R lblyE g er o pe  n 。 sr dt J . eait ni e- t e d a i i  n  
ig a   y tm  f t 2 6, n   nd S se Saey, 00 91: 3 —9 9. 90 3  

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2 26 —2   33.

[0 hn   , i M,agLC A s d fw  sm t n 1 ]Z agLF Xe Tn   .   uyo  oet ai     t t i o
a p o c e o   a a t r fWe b l dsr ui nb s d p r a h sf r rmee so   i u l it b t   a e   p   i o

[ ] 师义 民, 昭军. 3  杨 随机截尾寿命试 验三参 数 We u1 il b  
分布的统计分析 [ ] 西北大学学报 ( J. 自然科学版 )  ,
1 9 2 ( 2 5—2 8  9 6,6 4):8 8.

o  P J . e ait E g er gadSs m Sf- nWP [ ] R lbly ni e n n yt  a   i i  n i e e
t 2 0 9 36 —3   y, 0 7, 2: 0 68.

[ 1 ono    . hoya dT cn u  fV r beR . 1 ]Jh snL G T er n  ehi eo  a al e   q i    
sac M ] e Y r : Esv r P b sig C .  erh[ .N w ok l i   u lhn  o , ee i
l6   9 4.

[ ] B lk snn  K t i O   em x mm l e ho  4 aarh a a i N, a r M. nt   ai  kl od e  h n i i
e t t n o   a a tr  f Web l dsr u in b s d s mai   fp r me es o   i ul it b t   a e   i o   i o
on c mp ee n   e oe  d t Sttsis a d   o l t a d c ns rd aa. aitc   n  Pr a  ob ~

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学 出版 社 ,O 5 2o.  

blyL t r[ ]2 0 ,8 2 7 — 95 it ets J . 0 87 :9 1 2 7 . i  e   [] 林 5 静, 韩玉启 , 朱慧明. 一种 随机截尾恒加寿命试  验 的贝叶斯评估 [ ] 系统工 程与 电子技 术 ,0 7  J. 20 ,
2( 9 2):2 3 0—3 3  2.

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( 接第 24页 ) 上 8  
的爆破 [ ] 华东 交通大 学学报 ,09,6 2 : 1   J. 20 2 ( ) 11—
1 4. 1  

te ie t p c h   s nr i Eue   q ai n  w t d g n r t ie r o lr e u t s i o h e e e ae n a    l

dm ig J . h eeA nl o Ma e ac ,05,6   a pn [ ] C i s  n a  f t m ts20 2 B n s   h i
( ) 5 3— 9   4 :8 5 8

[ ]Z uX — eg WagG agca. h lbl xd ne 3 h  us n , n  u n ho T egoa E jee  h   :
o  h  e u a   out n   f te o r si l  ft e rg l rs l i s o  h  c mp e sbe Eulr e u — o e   q a 

[ ]Sr   , lw u  ol erhpro ceutn [ . 6 e eA Bo  pnni a yebl q ao s M] g n   i i  
Bo tn: i  u e  e s, 99   so Brk h s r Prs 1 5.

t n  i   eeea  ierdm ig[ ] Junlo  i swt dgnrt l a a pn J . ora f o h e n    
M t m t s20 ,9 4 :0 — 0 . ah a c,0 9 2 ( )4 1 4 8 e i  

[ ]WagWe—eY n o gT epiti  ama s f o 7 n  i , agTn . h o ws et t    - k n e i e os 
l t n  o   u e  q ain   i   mp n  n mu t,i n  ui sf rE l re u t s w t d ig i  l — me ? o o h id -

[ ]T o s .ie sF r a o f i ua t s ntr —i 4 hma C Sdr . om tno n lri     e d     i i sg iei he —
me s nlc m rsil f is J . o mu ia o s i n i a o pes e l d 『 ] C m n t n  n o   b  u c i  
M ahe aia  t m tc Phy is, 98 1   4 5 —48   l sc 1 5, 0l: 7 5.

s n [ ] Jun l fDfrni  q ao s20 13  i s J .o ra o  ie t lE u tn ,00,7 , o   e a i
4l —45   0 0.

[ ]Z uX — eg Wag We— . h eua slt n  f 5 h  us n , n  i e T e r lr ou oso h k g   i  


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