当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第五篇 第3讲 平面向量的数量积


第 3 讲 平面向量的数量积

A级

基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a· b=0,则实数 m 的值为 3 A.-2 3 B.2 C.2 D.6 ( ).

解析 由 a· b=3×2+m×(-

1)=0,解得 m=6. 答案 D 2.(2013· 东北三校联考)已知|a|=6,|b|=3,a· b=-12,则向量 a 在向量 b 方向 上的投影是 A.-4 B.4 C.-2 D.2 ( ).

解析 设 a 与 b 的夹角为 θ,∵a· 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的 b a· b 2 投影的乘积,而 cos θ=|a||b|=-3, ? 2? ∴|a|cos θ=6×?-3?=-4. ? ? 答案 A 3.(2011· 广东)若向量 a,b,c 满足 a∥b,且 a⊥c,则 c· (a+2b)= A.4 B.3 C.2 D.0 ( ).

解析 由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c,则 c· (a+2b)=c· a+2c· b=0. 答案 D → → AQ 4. (2012· 天津)已知△ABC 为等边三角形, AB=2.设点 P, 满足AP=λAB,→ = Q 3 → → CP → (1-λ)AC,λ∈R.若BQ· =-2,则 λ 等于 1 A.2 1± 10 C. 2 1± 2 B. 2 D. -3± 2 2 2 ( ).

解析 以点 A 为坐标原点, 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系, B(2,0), AB 则 → → → → C(1, 3),由AP=λAB,得 P(2λ,0),由AQ=(1-λ)AC,得 Q(1-λ, 3(1- → CP → λ)),所以BQ· =(-λ-1, 3(1-λ))· (2λ-1,- 3)=-(λ+1)(2λ-1)- 3 3 1 × 3(1-λ)=-2,解得 λ=2.] 答案 A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) → CB → 5.(2012· 北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE· → DC → 的值为________;DE· 的最大值为________. 解析 → → → → → → → → 以AB,AD为基向量,设AE=λAB(0≤λ≤1),则DE=AE-AD=λAB-

→ → → → CB → → → (-AD → AD → → AD,CB=-AD,所以DE· =(λAB-AD)· → )=-λAB· +AD2=-λ×0 → → → DC → → → AB → → → AB → +1=1.又DC=AB,所以DE· =(λAB-AD)· =λAB2-AD· =λ×1-0= → DC → λ≤1,即DE· 的最大值为 1. 答案 1 1

6.(2012· 江苏)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 → → E 为 BC 的中点, F 在边 CD 上, → · = 2, → · 点 若AB AF 则AE BF 的值是________. 解析 以 A 点为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线 → → 为 y 轴建立直角坐标系 xOy,则AB=( 2,0),AE=( 2, 1), → 设 F(t,2),则AF=(t,2). → AF → ∵AB· = 2t= 2,∴t=1, → BF → 所以AE· =( 2,1)· (1- 2,2)= 2. 答案 2

三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)设向量 a,b 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|= 7. (1)求 a,b 夹角的大小;

(2)求|3a+b|的值. 解 (1)设 a 与 b 夹角为 θ,(3a-2b)2=7,即 9|a|2+4|b|2-12a· b=7,而|a|=|b| =1, 1 1 1 ∴a· 2,∴|a||b|cos θ=2,即 cos θ=2, b= π 又 θ∈[0,π],∴a,b 的夹角为3. (2)(3a+b)2=9|a|2+6a· b+|b|2=9+3+1=13, ∴|3a+b|= 13. 8.(13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → OC → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)· =0,求 t 的值. → → 解 (1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则 → → → → AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4). → → → → 所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. → → → (2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t). → → OC → 由(AB-tOC)· =0, 得(3+2t,5+t)· (-2,-1)=0, 11 从而 5t=-11,所以 t=- 5 .

B级

能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) → 1.(2013· 鄂州模拟)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量OA=(2,2), → → OB=(4,1), x 轴上取一点 P, → · 有最小值, P 点的坐标是 在 使AP BP 则 A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) ( ).

解析 设 P 点坐标为(x,0), → → 则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1).

→ → AP· =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1) BP =x2-6x+10=(x-3)2+1. → BP → 当 x=3 时,AP· 有最小值 1. ∴此时点 P 坐标为(3,0),故选 C. 答案 C α· β 2.(2012· 广东)对任意两个非零的平面向量 α 和 β,定义 α β=β·.若平面向量 a, β
?n ? π? ? b 满足|a|≥|b|>0, 与 b 的夹角 θ∈?0,4?, a b 和 b a 都在集合?2|n∈Z ?中, a 且 ? ? ? ?

则 a b= 1 A.2 B.1 3 C.2 5 D.2

(

).

α· β a· |a|· b |b|cos θ |b|cos θ 解析 由定义 α β= β2 可得 b a= a2 = |a|2 = |a| ,由|a|≥|b|>0,及 θ π? |b|cos θ |b|cos θ 1 a· |a|· b |b|cos θ ? ∈?0,4?得 0< |a| <1, 从而 |a| =2, 即|a|=2|b|cos θ.a b= b2 = |b|2 ? ? = π? |a|cos θ 2 1 ? =2cos2θ,因为 θ∈?0,4?,所以 2 <cos θ<1,所以2<cos2θ<1,所以 |b| ? ?

1<2cos2θ<2.结合选项知答案为 C. 答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.已知向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2 +|c|2 的值是________. 解析 由已知 a· c-b· c=0,a· b=0,|a|=1, 又 a+b+c=0,∴a· (a+b+c)=0,即 a2+a· c=0, 则 a· c=b· c=-1, 由 a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0, 即 a2+b2+c2+2a· b+2b· c+2c· a=0, ∴a2+b2+c2=-4c· a=4, 即|a|2+|b|2+|c|2=4. 答案 4 4.(2012· 安徽)若平面向量 a,b 满足|2a-b|≤3,则 a· 的最小值是________. b

解析 由|2a-b|≤3 可知,4a2+b2-4a· b≤9,所以 4a2+b2≤9+4a· b,而 4a2 9 +b2=|2a|2+|b|2≥2|2a|· |b|≥-4a· b,所以 a· b≥-8,当且仅当 2a=-b 时取等 号. 9 答案 -8 三、解答题(共 25 分) 5.(12 分)设两向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60° ,若向量 2te1 +7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.
2 解 由已知得 e2=4,e2=1,e1·2=2×1×cos 60° e =1. 1

∴(2te1+7e2)· 1+te2)=2te2+(2t2+7)e1·2+7te2=2t2+15t+7. (e e 1 2 1 欲使夹角为钝角,需 2t2+15t+7<0,得-7<t<-2. 设 2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0), ?2t=λ, 14 ∴? ∴2t2=7.∴t=- 2 ,此时 λ=- 14. ?7=tλ, 14 即 t=- 2 时,向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为 π. ∴当两向量夹角为钝角时,t 的取值范围是 ? 14? ? 14 1? ?-7,- ?∪? ?. 2 ? ?- 2 ,-2? ? 6.(13 分)(2012· 东营模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 3A 3A? A A? ? ? 已知 m=?cos 2 ,sin 2 ?,n=?cos 2 ,sin 2 ?,且满足|m+n|= 3. ? ? ? ? (1)求角 A 的大小; → → → (2)若|AC|+|AB|= 3|BC|,试判断△ABC 的形状. 解 (1)由|m+n|= 3,得 m2+n2+2m· n=3, 3A A 3A A? ? 即 1+1+2?cos 2 cos 2 +sin 2 sin 2 ?=3, ? ? 1 π ∴cos A=2.∵0<A<π,∴A=3. → → → (2)∵|AC|+|AB|= 3|BC|,∴sin B+sin C= 3sin A,

3 ?2π ? ∴sin B+sin? 3 -B?= 3× 2 , ? ? π? 3 1 3 3 ? 即 2 sin B+2cos B= 2 ,∴sin?B+6?= 2 . ? ? 2π π π 5π ∵0<B< 3 ,∴6<B+6< 6 , π π 2π π π ∴B+6=3或 3 ,故 B=6或2. π π π π 当 B=6时,C=2;当 B=2时,C=6. 故△ABC 是直角三角形. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见 《创新设计· 高考总复习》光盘中内容.


相关文章:
《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第五篇 第3讲 平面向量的数量积
2014年高考理科数学北京...1/2 相关文档推荐 [创新设计]2014届高考数... 暂无...文​档​】​:​第​五​篇​ ​第​3​讲​ ​平​...
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]:第五篇 第4讲 平面向量应用举例
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]:第五篇 第4讲 平面向量应用举例_高考_高中教育_教育专区。第 4 讲 平面向量应用举例 A级 基础...
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]:第十二篇 第3讲 数学归纳法
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]:第十二篇 第3讲 数学归纳法_高考_高中教育_教育专区。第3讲 数学归纳法 A级 基础演练(时间:...
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]:第四篇 第3讲 三角函数的图象与性质
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]:第四篇 第3讲 三角函数的图象与性质_高考_高中教育_教育专区。第 3 讲 三角函数的图象与性质...
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]:第十一篇 第3讲 随机事件的概率
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]:第十一篇 第3讲 随机事件的概率_高考_高中教育_教育专区。第3讲 随机事件的概率 A级 基础演练...
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]:第六篇 第5讲 数列的综合应用
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]:第六篇 第5讲 数列的综合应用_高考_高中教育_教育专区。第5讲 数列的综合应用 A级 基础演练(...
《创新设计·高考总复习》2014届高考数学浙江专版(理)一轮复习【配套word版文档】:第13篇 第3讲
(​理​)​一​轮​复​习​【​配​套​w​o​r​d​版​文​档​】​:​第​1​3​篇​ ​第​3​讲...
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]:第七篇 第4讲 基本不等式
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]:第七篇 第4讲 基本不等式_高考_高中教育_教育专区。第4讲 基本不等式 A级 基础演练(时间:30...
《创新设计·高考总复习》2014届高考数学浙江专版(理)一轮复习【配套word版文档】:第13篇 第4讲
《创新设计·高考总复习》2014届高考数学浙江专版(理)一轮复习【配套word版文档】:第13篇 第4讲_高考_高中教育_教育专区。第 4 讲 数学归纳法分层 A 级 基础...
更多相关标签: