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概率与统计


2012 高三数学模拟试题分类解析汇编:统计与概率
【2012 三明市普通高中高三上学期联考文】 在样本的频率分布直方图中, 共有 11 个小长方形,

1 若中间一个小长方形的面积等于其它 10 个小长方形的面积和的 4 ,且样本容量为 160,则中
间一组的频数为 A.32 B.0.2 C.40 D.0.25 【答案】A 【解析】本题主

要考查样本的频率分布直方图、频数概念、频数与频率的区别 . 属于基础知 识、基本运算的考查.

1 频率等于长方形的面积,所有长方形的面积等于 1,中间长方形的面积等于 S ,则 S = 4

1 x 1 ? (1-S),S= 5 ,设中间一组的频数为 x ,则 160 5 ,得 x ? 32
【2012 金华十校高三上学期期末联考文】分别写有数字 1,2,3,4 的 4 张卡片,从这 4 张卡 片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是( )

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

【答案】 D 【解析】本题主要考查基本事件的概念、古典概型的 计算公式. 属于基础知识、基本运算的 考查. 从写有数字 1,2,3,4 的 4 张卡片,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,有 12, 13,14,23, 24,34 共 6 种,取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的取法有 12,14,23,34 共 4 种,取出

4 2 ? 的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是 6 3
【2012 武昌区高三年级元月调研文】通过随机询问 110 名性别不同的行人,对过马路是愿意 走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查,得到如下的列联表:

K2 ?
由 附表:

n(ad ? bc) 2 110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 K2 ? ?~ 7.8. (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) ,算得 60 ? 50 ? 60 ? 50

参照附表,得到的正确结论是( ) A.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别无关” 【答案】A 【解析】本题主要考查列联表以及独立性检验的简单方法. 属于基础知识、基本方法的考查.

110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 K ? ?~ 7.8. 60 ? 50 ? 60 ? 50
2

P( K 2 ? 6.635) ? 0.01 ? 1 ? 99%

∴有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关” 【2012 年西安市高三年级第一次质检文】某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4, 5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次数如下表:

则以上两组数据的方差中较小的一个为 A. B. C. D.2

,则 =

【答案】A 【解析】本题主要样本的数字特征. 属于基础知识、基本运算的考查.

1 2 x甲=7,S2甲= [(6 ? 7)2 ? (7 ? 7)2 ? (7 ? 7)2 ? (8 ? 7)2 ? (7 ? 7)2 ] ? 5 5 1 6 x乙=7,S2甲= [(6 ? 7)2 ? (7 ? 7)2 ? (6 ? 7)2 ? (7 ? 7)2 ? (9 ? 7)2 ] ? 5 5
两组数据的方差中较小的一个为 【 2012

2 , =5
{x ( y , 已 知 ? ? )x ? | y? 6 x? , y 0? , , 0 }

粤 西 北 九 校 联 考 理 】

A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} ,若向区域 ? 上随机投一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率为
(
1 A. 3

)
2 B. 3 1 C. 9 2 9 D.

【答案】D 【解析】属于几何概型, ? ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0} 的面积为 18,

A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} 的面积为 4,

P?

4 2 ? 18 9

【2012 韶关第一次调研理】某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒

之间,将测试结果分成五组:每一组

?13,14) ;第二组 ?14,15) ,?,第五组 ?17,18? .右图是

按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,则该 班在这次百米测试中成绩良好的人数是__________. 【答案】 27 , 【解析】成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒的频率为 0.54,所以良好人数=0.54 ? 50=27 【2012 深圳中学期末理】袋中装有 m 个红球和 n 个白球, m ? n ? 4 ,现从中任取两球,若取出 的两球是同色的概率等于取出的两球是异色的概率,则满足关系 m ? n ? 40 的数组 ?m, n ? 的 个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】记“取出两个红球”为事件 A, “取出两个白球”为事件 B, “取出一红、一白两球” 为
2 2 2 2 1 1 2 事 件 C , 则 P? A? ? C m / C m? n , P?B ? ? C n / C m? n , P?C ? ? C m C n / C m? n 。 依 题 意 得 :
2 2 2 1 1 ? Cn ? Cm ? Cn P? A? ? P?B? ? P?C ? ,得 C m 。所以 m ? n ? ?m ? n? ,由 m ? n ? 4, m ? n ? 40 ,得

9 ? m ? n ? 40 。解得 ?m, n? ? ?6,3?, ?10,6?, ?15,10?, ?21,15? ,故符合题意的数组 ?m , n ? 有 3 个。
2 【2012 深圳中学期末理】如果随机变量ξ ~N ( ? 1, ? ),且 P( ?3 ? ? ? ?1 )=0.4,则 P( ? ? 1 )

= . 【答案】0.1

2 【解析】解析:如果随机变量ξ ~N ( ? 1, ? ),且 P( ?3 ? ? ? ?1 )=0.4,

?

?( P( ?3 ? ? ? ?1 )= 2 ?( ) ? 0.9

?1 ? (?1)

?

) ? ?(

?3 ? (?1)

?

2 2 ) ? 0.5 ? ?(? ) ? ?( ) ? 0.5

?

?



1 ? (?1) 2 1 ? ?( ) ? 1 ? ?( ) ? 0.1 ? ? 1 ? ? ∴ ? , ∴P( )= 。 【2012 浙江宁波市期末文】200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,

则时速超过 60km/h 的汽车数量为(



(A)65 辆 (B)76 辆(C)88 辆 (D)辆 95 【答案】B 【解析】由频率分布直方图可知时速超过 60km/h 的概率为 0.28+0.10=0.38,故估计汽车数量 为 200 ? 0.38=76 ,选 B。 【2012 浙江宁波市期末文】连掷骰子两次 (骰子六个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6 )得到的 点 数 分 别 记 为 a 和 b , 则 使 直 线 3 x ? 4 y ? 0 与 圆 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? 4 相 切 的 概 率
2 2



.

1 【答案】 18
【 解 析 】 连 掷 骰 子 两 次 总 的 试 验 结 果 有 36 种 , 要 使 直 线 3 x ? 4 y ? 0 与 圆

| 3a ? 4b | ?2 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? 4 相切,则 5 ,即满足 | 3a ? 4b |? 10 ,符合题意的 (a, b) 由
2 2

(6, 2), (2, 4) 2 个,由古典概型概率计算公式可得所求概率为

P?

1 18 。

【2012 安徽省合肥市质检文】在正四面体的 6 条棱中随机抽取 2 条,则其 2 条棱互相垂直的 概率为 ( )

3 A. 4

2 B. 3

1 C. 5

1 D. 3

【答案】C 【解析】总的取法有 15 种,由正四面体的性质可知,对棱垂直,故互相垂直的有 3 种,所求

1 概率为 5 ,选 C。

【2012 吉林市期末质检文】某地区教育主管部门为了对该地区模拟考 试成绩进行分析,抽取了总成绩介于 350 频率/组距 分到 650 分之间的 10000 名学生成绩,并 a 0.004 根据这 10000 名学生的总成绩画了样本的 0.003 频率分布直方图(如右图) ,则总成绩在 0.002 0.001 [400,500)内共有 A. 5000 人 B. 4500 人 C. 3250 人 350 400 450 500 【答案】B

总成绩 (分)
550 600 650

D. 2500 人

【解析】由频率分布直方图可求得 a?0.005 , 故 [ 400 , 500 ) 对 应 的 频 率 为

(0.005 ? 0.004) ? 50 ? 0.45 ,相应的人数为 4500 人。
【 2012 江西南昌市调研文】一个容量为 20 的样本数据,分组情况及各组的频数如下: (10,20],2 ; (20,30],3 ; (30,40],4; (40,50],5 ; (50,60],4; (60,70],2 .则样本数据在 (-∞,30)上的频率为 ( )

【答案】D

5 1 ? 【解析】由题可知数据在(-∞,30)上的有 5 个,故所求频率为 20 4 ,选 D.
【2012 广东佛山市质检文】某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出 100 名司机,已知抽到的司机年龄都在 ?
20, 45 ?

岁之间,根据调查结果得出司机的年龄情况残

缺的频率分布直方图如图所示,利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的

中位数大约是( A. 31.6 岁 B. 32.6 岁 C. 33.6 岁 D. 36.6 岁 【答案】C



【解析】由频率分布图可知 [25,30) 的频率应为 0.2,又 [20, 25) 的频率为 0.05, [30,35) 的 频率为 0.35,由中位数的计算可得 x ? 33.57 ,故选 C。 【2012 广东佛山市质检文】某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团) 合唱社 高一 高二 45 15 粤曲社 30 10 书法社

a
20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人,结果合唱社被抽出 12 人,则这三个社团人数共有_______________. 【答案】 150

12 30 ? x ,解得 x ? 150 。 【解析】由分层抽样的比例可知 60
【2012 北京海淀区期末文】甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位: °C )用茎叶 图记录如下,根据茎叶图可知,两城市中平均温度较高的城市是_____________,气温波动较 大的城市是____________.

【答案】乙,乙

【解析】由茎叶图的数据可得

x甲 ?

9 ? 18 ? 17 ? 17 ? 13 ? 22 ? 16 6 ,

x乙 ?

12 ? 14 ? 17 ? 20 ? 24 ? 27 ? 19 6 ;
(9 ? 16)2 ? (18 ? 16) 2 ? (17 ? 16) 2 ? (17 ? 16) 2 ? (13 ? 16) 2 ? (22 ? 16) 2 100 ? 6 6 (?7) 2 ? (?5) 2 ? (?2) 2 ? 12 ? 52 ? 82 168 ? 2 2 6 6 ,显然有 x甲 ? x乙 , s 甲 ? s 乙 ,填乙,乙。
2012 广 东 韶 关 市 调 研 文 】 已 知

s 2甲 ? s 2乙 ?


? ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0}, A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} ,若向区域 ? 上
随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为( )

1 A. 9
【答案】B

2 B. 9

1 C. 3

4 D. 9

1 1 S? ? ? 6 ? 6 ? 18 S A ? ? 4 ? 2 ? 4 2 2 【解析】分别画出两个集合表示的区域可知 , ,由几何概
P?
型概率计算可得

SA 4 2 ? ? S? 18 9 ,选 B。

【2012 广东韶关市调研文】某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之 间,将测试结果分成五组:每一组

?13,14) ;第二组 ?14,15) ,?,第五组 ?17,18? .右图是按

上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,则该班

频率 组距 0.38 0.32

0.16

0.08 0.06 O

在这次百米测试中成绩良好的人数等于_______ 【答案】 27 ,

13

14

15

16

17

18



___人.

19 题 图

【 解 析】 由频 率分 布直方 图 可知 成绩 大于 或等于 14 秒 且小于 16 秒所 对 应的 频率 为

0.16 ? 0.38 ? 0.54 ,故对应的人数有 50 ? 0.54 ? 27 人。
【2012 金华十校高三上学期期末联考文】某个容量为 N 的样本频率分布直方图如右图所示, 已知在区间

? 4, 5 ? 上频数为 60,则 N=



【答案】 200 【解析】本题主要考查频率分布直方图及频数的概念. 属于基 础知识、基本运算的考查. 组距为 1,在区间

? 4, 5 ? 上频率为 ? 4, 5 ? 上频数为 60

1-0.4-0.15-0.10-0.05=0.3, 在区间

【2012 唐山市高三上学期期末统一考试文】 考古学家通过始祖鸟化石标本发现, 其股骨长度 x

60 ? 0.3 ? N ? 200 N

? (cm)与肱骨长度 y(cm)线性回归方程为 y ? 1.197 x ? 3.660 ,由此估计,当肌骨长度为 50cm
时,肱骨长度的估计值为 cm. 【答案】 56.19 【解析】本题主要考查线性回归方程的概念和运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

? ? 将 y ? 50 代入 y ? 1.197 x ? 3.660 ,得 x ? 56.19
【2012 年西安市高三年级第一次质检文】甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要 再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得 冠军的概率为_______

3 【答案】 4
【解析】本题随机事件的概率和概率的乘法公式 . 属于基础知识、基本运算的考查. 因为符合条件的有“甲第一局就赢”和“乙赢一局后甲再赢一局”由于两队获胜概率相同,

1 1 1 1 1 3 即为 2 ,则第一种的概率为 2 ,第二种情况的概率为 2 × 2 = 4 ,由加法原理得结果为 4 。
【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】 经调查某地若干户家庭的年收入 x (万元)和年 饮食支出 y (万元)具有线性相关关系,并得到 y 关于 x 的线性回归直线方程:

? =0.245 x +0.321,由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 l 万元,年饮食支出平均增 y
加 万元. 【答案】 0.245 【解析】本题主要考查回归直线的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

? =0.245( x +1)+0.321=0.245 x +0.321+0.245 x 变为 x +1, y
因此家庭年收入每增加 l 万元,年饮食支出平均增加 0.245 万元. 【2012 武昌区高三年级元月调研文】有一根长为 1 米的细绳子,随机从中问将细绳剪断,则

1 使两截的长度都大于 8 米的概率为
3 【答案】 4



【解析】本题主要考查几何概型的计算. 属于基础知识、 基本运算的考查. 如图, 将细绳八等份, C,D 分别是第一个和最后一个等份 点,则在线段 CD 的任意位置剪断得到的两截细绳长度都

6 1 1 3 P? 8 ? 1 4 大于 8 米。由几何概型的计算公式,两截的长度都大于 8 米的概率为
【2012 唐山市高三上学期期末统一考试文】为了检测某批棉花的质量,质检人员随机抽取 6 根,其平均纤维长度为 25mm。用 棉花的纤维长度如下表:

X n (n ? 1,2,3,4,5,6)

表示第 n 根棉花的纤维长度,且前 5 根

(1)求 X6 及这 6 根棉花的标准差 s; (2)从这 6 根棉花中,随机选取 2 根,求至少有 1 根的长度在区间(20,25)内的概率。 【解析】本题主要考查随机抽样、样本数据的数字特征及古典概型计算公式. 属于基础知识、 基本运算的考查. 解: (Ⅰ)由题意, 20+26+22+20+22+X6 =25,X6=40. 6 ?2 分

(20-25)2+(26-25)2+(22-25)2+(20-25)2+(22-25)2+(40-25)2 s2= =49, 6 s=7. ?5 分 (Ⅱ)从这 6 根棉花中,随机选取 2 根用无序数组(Xi,Xj)(i,j=1,2,3,4,5,6,i≠ j)表示,可能出现的结果为 (X1,X2),(X1,X3),(X1,X4),(X1,X5),(X1,X6), (X2,X3),(X2,X4),(X2,X5),(X2,X6), (X3,X4),(X3,X5),(X3,X6), (X4,X5),(X4,X6), (X5,X6); 2 根的长度都不在区间(20,25)内的结果为 (X1,X2),(X1,X4),(X1,X6), (X2,X4),(X2,X6), (X4,X6). ?9 分 6 2 2 根的长度都不在区间(20,25)内概率 P= = , 15 5 至少有 1 根的长度在区间(20,25)内的概率为 1-P= 3 . ?12 分 5

【2012 年西安市高三年级第一次质检文】某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口 是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯 的概率都是 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. (I )求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (II)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 2min 的概率. 【解析】

【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】某工科院校对 A,B 两个专业的男女生人数进行 调查,得到如下的列联表:

(I) 从 B 专业的女生中随机抽取 2 名女生参加某项活动,其中女生甲被选到的概率是多少? (II)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为工科院校中“性别”与“专业”有关

系呢?

K2 ?
注:

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

【解析】本题主要考查集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. (Ⅰ)设 B 专业的 4 名女生为甲、乙、丙、丁,随机选取两个共有(甲,乙) , (甲,丙) , (甲, 丁) , (乙,丙) , (乙,丁) , (丙,丁)6 种可能,?????2 分 其中选到甲的共有 3 种可能,?????4 分

P?
则女生甲被选到的概率是

3 1 ? 6 2 .?????6 分
100 ? (12 ? 46 ? 4 ? 38) 2 ? 4.762 16 ? 84 ? 50 ? 50 ,???9 分

K2 ?
(Ⅱ)根据列联表中的数据

由于 4.762 ? 3.841,因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为工科院校中“性别”与 “专业”有关系.????12 分 【2012 江西师大附中高三下学期开学考卷文】为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况, 拟采用分层抽样的方法从 A、B、C 三个区中抽取 6 个工厂进行调查.已知 A、B、C 区中分别有 18,27,9 个工厂. (1)求从 A、B、C 区中应分别抽取的工厂个数; (2)若从抽得的 6 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比,求这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。 【解析】本题主要考查分层抽样、古典概型的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

6 1 解:(1)工厂总数为 18+27+9=54,样本容量与总体中的个体数的比为 54 = ,所以从 A,B,
9 C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,1. (2)设 A1,A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂,B1,B2,B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂,C1 为在 C 区中抽得的 1 个工厂. 在这 7 个工厂中随机地抽取 2 个, 全部可能的结果有: (A1, A2), (A1, B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1), (B1, B2),(B1,B3),(B1,C1), ,(B2,B3),(B2,C1), ,(B3,C1)共 15 种. 随机地抽取的 2 个工厂至少有 1 个来自 A 区(记为事件 X)的结果有: (A1, A2), (A1, B1), (A1, B2),(A1,B3),(A1,C1), ,(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1)共 9 种.所以这 2

9 3 ? 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率为 P(X)= 15 5 .
答: (1)从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,1. (2)这 2 个工厂中至少有 1

3 个来自 A 区的概率为 5 .
【2012 三明市普通高中高三上学期联考文】已知集合 A ? ?? 2,0,2? , B ? ?? 1,1? . (Ⅰ)若

M ? ?( x, y ) x ? A, y ? B?

,用列举法表示集合 M ;

(Ⅱ)在(Ⅰ)中的集合 M 内,随机取出一个元素 ( x, y ) ,求以 ( x, y ) 为坐标的点位于区域

D:

?x ? y ? 2 ≥ 0 ? ?x ? y ? 2 ≤ 0 ? y ≥ ?1 ?

内的概率.

P( A) ??
【解析】 本题主要考查的; 二元一次不等式 (组) 与平面区域、 古典概率的计算公式

m n

的简单运用,属于基础试题.解题的关键是要准确、全面的找出公式中的 m,n 的值,古典概 型及其概率计算公式. 解: (Ⅰ)M={(-2,-1) , (-2,1) , (0,-1) , (0,1) , (2,-1) , (2,1)}. (Ⅱ)记“以(x,y)为坐标的点位于区域 D 内”为事件 A. 集合 M 中共有 6 个元素,即基本事件总数为 6,区域 D 含有集合 M 中的元素 4 个,

P( A) ??
所以

2 4 2 ? 6 3 .故以 ( x, y ) 为坐标的点位于区域 D 内的概率为 3 .

【2012 武昌区高三年级元月调研文】2011 年武汉电视台问政直播节日首场内容是“让交 通更顺畅” .A、B、C、D 四个管理部门的负责人接受问政,分别负责问政 A、B、C、D 四个管 理部门的现场市民代表(每一名代表只参加一个部门的问政)人数的条形图如下.为了了解 市民对武汉市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价,对每位现场市民都进行了问卷调查, 然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取 20 份进行统计,统计结果如下面表格所示:

(I)若市民甲选择的是 A 部门,求甲的调查问卷被选中的概率; (11)若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出 2 人进行电视访谈,求这两人中 至少有一人选择的是 D 部门的概率. 【解析】本题主要考查了条形图、概率的基本事件、古典的概念以及计算在实际问题中的应 用. 属于中等题。考查了识图能力基础知识、基本运算、转换能力.

解:(Ⅰ)由条形图可得,分别负责问政 A, B, C, D 四个管理部门的现场市民代表共有 200 人, 其中负责问政 A 部门的市民为 40 人.

20 ?
由分层抽样可得从 A 部门问卷中抽取了

40 ?4 200 份.

设事件 M =“市民甲被选中进行问卷调查”,

P( M ) ?
所以

4 ? 0.1 40 .
?????????(6

答:若甲选择的是 A 部门,甲被选中问卷调查的概率是 0.1 .

分) (Ⅱ)由图表可知,分别负责问政 A,B,C,D 四部门的市民分别接受调查的人数为 4,5,6, 5. 其中不满意的人数分别为 1,1,0,2 个 . 记对 A 部门不满意的市民是 a ;对 B 部门不满意的市民是 b ;对 D 部门不满意的市民是 c, d . 设事件 N=“从填写不满意的市民中选出 2 人,至少有一人选择的是 D”. 从填写不满意的市民中选出 2 人,共有(a,b) , (a,c) , (a,d) , (b,c) , (b,d) , (c,d) 共 6 个基本事件; 而事件 N 有(a,c) , (a,d) , (b,c) , (b,d) , (c,d)共 5 个基本事件,

P( N ) ?
所以

5 6.

5 答:这两人中至少有一人选择的是 D 的概率是 6 .
【2012 山东青岛市期末文】已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1.
2

(Ⅰ)设集合

P ? ?1, 2,3?



Q ? ??1,1, 2,3, 4?

,分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和

b ,求函数 y ? f ( x) 在区间[ 1,??) 上是增函数的概率;
?x ? y ? 8 ? 0 ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

(Ⅱ)设点 (a, b) 是区域

内的随机点,

记 A ? { y ? f ( x) 有两个零点,其中一个大于 1 ,另一个小于 1 } ,求事件 A 发生的概率.

【解析】 (Ⅰ)∵函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为
2

x?

2b , a

要使 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 在区间 [1,??) 上为增函数,
2

2b ? 1,即2b ? a 当且仅当 a ? 0 且 a

????????????2 分 ????????4 分

若 a ? 1 则 b ? ?1 ,若 a ? 2 则 b ? ?1,1 若 a ? 3 则 b ? ?1,1 记 B ? { 函数

y ? f ? x?

在区间

?1, ?? ? 上是增函数 }
P ? B? ? 5 1 ? 15 3 ??6 分

则事件 B 包含基本事件的个数是 1+2+2=5,∴

(Ⅱ)依条件可知试验的全部结果所构成的区域为

? ?a ? b ? 8 ? 0 ? ? ? ? ? ? ?( a , b ) | ? a ? 0 ? ? ?b ? 0 ? ? ? ?



1 S? ? ? 8 ? 8 ? 32 2 其面积

??????????????8 分

? ?a ? b ? 8 ? 0 ? ? ? a ?b ?8 ? 0 ? ? ? ? a?0 ? ? ? a?0 ? ? ? ? ? ? A ? ?? a, b ? ? ? ? ?? a, b ? ? ? b?0 ? ? b?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? 4b ? 1 ? 0? ? f ?1? ? 0 ? ? ? ? 事件 A 构成的区域:
?a ? b ? 8 ? 0 31 9 ? ( , ), a ? 4b ? 1 ? 0 由? ,得交点坐标为 5 5 ????????????10 分

S 961 1 1 31 961 P( A) ? A ? ? S A ? ? (8 ? ) ? ? S? 1280 ??12 分 2 4 5 40 ,∴事件 A 发生的概率为
?x ? 1 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? y ? 1 ? 0 【2012 吉林市期末质检文】 记不等式组 ? 表
的平面区域为 M. (Ⅰ)画出平面区域 M,并求平面区域 M 的面积; y

1 ·

示 1 x



(a,b) (Ⅱ)若点 为平面区域 M 中任意一点,
求直线 y ? ax ? b 的图象经过一、二、四象限的概率.

3 1 A( ? , ) 2 2 、B(1,3) 【解析】 (Ⅰ) 如图, △ABC 的内部及其各条边就表示平面区域M, 其中 、

C( 1, ? 2) ,

(3 分)

1 5 25 ? ?5? 4 ∴平面区域 M 的面积为 2 2

(5 分)

(Ⅱ)要使直线 y ? ax ? b 的图象经过一、二、四象限,则

a ? 0,b ? 0 ,

(6 分) A

(b) y B 1 ·

(a,b) 又点 的区域为 M,故使直线 y ? ax ? b 的图象经过一、 (a,b)的 区 域 为 第 二 象 限 的 阴 影 部 分 二、四象限的点
(8 分)

1 O· C

x(a)

P?
故 所 求 的 概 率 为

2?

1 1 ? ?1 7 2 2 ? 25 25 4

(10 分) 【2012 江西南昌市调研文】某工厂师徒二人各加工相同型号的零件,是否加工出精品均互不 影响。已知师傅加工一个零件是精品的概率为 ,师徒二人各加工 2 个零件都是精品的概率 为 . (1)求徒弟加工 2 个零件都是精品的概率; (2)若师徒二人各加工这种型号的零件 2 个,求徒弟加工该零件的精品数多于师傅的概率 【解析】 (1)设徒弟加工 1 个零件是精品的概率为 p1,

2 2 2 1 1 ? p1 ? 得p12 ? , 9 4 则3 3 1 所以徒弟加工 2 个零件都是精品的概率是 4 ??????????????6 分
(2)设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为

p2



由(1)知,

p1 ?

1 2

1 4 师父加工两个零件中,精品个数为 0 个,1 个的概率分别为 9 , 9 :

2 1 徒弟加工两个零件中,精品个数为 1 个,2 个的概率分别为 4 , 4 : 1 2 4 1 1 1 7 p2 ? ? ? ? ? ? ? 9 4 9 4 9 4 36 ?????????12 分 所以
【2012 广东佛山市质检文】文科班某同学参加广东省学业水平测试,物理、化学、生物获得 等级 A 和获得等级不是 A 的机会相等, 物理、 化学、 生物获得等级 A 的事件分别记为

W1 W2




W3

,物理、化学、生物获得等级不是 A 的事件分别记为

W1



W2



W3

.

(1)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的所有可能结果(如三科 成绩均为 A 记为

?W1 ,W2 ,W3 ? ) ;

(2)求该同学参加这次水平测试获得两个 A 的概率; (3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件,使该事件 的概率大于 85% ,并说明理由. 【解析】 (1)该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的可能结果有 8 种, 分别为

(W1 , W2 , W3) (W1 , W2 , W3)(W1 , W2 , W3) (W1 , W2 , W3) (W1 , W2 , W3)(W1 , W2 , W3)
、 、 、 、 、 、 ; ???????4 分



(W1 , W2 , W3) (W1 , W2 , W3)

(2)由(1)可知,有两个 A 的情况为

(W1 , W2 , W3) (W1 , W2 , W3) (W1 , W2 , W3)
、 、

三个,

P?
从而其概率为

3 8

???????8 分

(3)方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件概率大于

85% ,

???????10 分

理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件有如下七种情 况:

(W1 , W2 , W3)(W1 , W2 , W3)(W1 , W2 , W3)(W1 , W2 , W3)(W1 , W2 , W3)(W1 , W2 , W3)
、 、 、 、 、



(W1 , W2 , W3)

P?

,概率是

7 ? 0.875 ? 85% 8 .

???????12 分

方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个 A 的事件概率大于

85% ,

???????10 分

理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件有如下七种情 况:

(W1 , W2 , W3)(W1 , W2 , W3)(W1 , W2 , W3)(W1 , W2 , W3)(W1 , W2 , W3)(W1 , W2 , W3)
、 、 、 、 、



(W1 , W2 , W3)

P?

,概率是

7 ? 0.875 ? 85% 8 .

????????12 分

【2012 河南郑州市质检文】第 30 届夏季奥运会将于 2012 年 7 月 27 日在伦敦举行,当地某学 校招募了 8 名男志愿者和 12 名女志愿者。将这 20 名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位: cm) : 若身高在 180cm 以上 (包括 180cm) 定义为 “高个子” , 身高在 180cm 以下 (不包括 180cm) 定义为“非高个子”. (Ⅰ)求 8 名男志愿者的平均身高和 12 名女志愿者身高的中位数; (Ⅱ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?

【解析】 (Ⅰ)8 名男志愿者的平均身高为

168 ? 176 ? 177 ? 178 ? 183 ? 184 ? 187 ? 191 ? 180.5(cm) 8 ;?3 分
12 名女志愿者身高的中位数为 175. ????6 分 (Ⅱ)根据茎叶图,有“高个子”8 人, “非高个子”12 人,

5 1 ? 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 20 4 , 8?
所以选中的“高个子”有

1 ?2 4 人,设这两个人为 A,B;

1 12 ? ? 3 4 “ 非高个子”有 人, 设这三个人 C,D,E. ??8 分
从这五个人 A,B,C,D,E 中选出两个人共有: (A,B), (A,C) ,(A,D), (A,E),(B,C), (B,D), (B,E),(C,D),(C,E),(D,E)十种不同方法; ???? 10 分 其中至少有一人是“高个子”的选法有: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D), (B,E)七种.

7 因此,至少有一人是“高个子”的概率是 10 .????12 分
【2012 北京海淀区期末文】为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育 教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参 加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛. (Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; (Ⅱ)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率. 【解析】基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙, 丙乙甲”. ???????????????2 分 (Ⅰ)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 A ,事件 A 包含的基本事件 有“甲乙丙,乙甲丙” ,则 ????????????4 分

P ? A? ?

2 1 ? 6 3.

1 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为 3 .
???????????????7 分 (Ⅱ)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件 B ,事件 B 包含的基本事件 有“甲乙丙,乙甲丙,丙甲乙,丙乙甲” ,则???????????????10 分

P ? B? ?

4 2 ? 6 3.

2 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为 3 .
???????????????13 分 【2012 广东韶关市调研文】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了 问卷调查得到了如下的列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

(1)用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人,其中男生抽多少人? (2)在上述抽取的6人中选2人,求恰有一名女生的概率. (3)为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关,计算出 K ? 8.333 ,你有多大的把握认为是否
2

喜欢打蓝球与性别有关? 下面的临界值表供参考:

P( K ? k )

2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

6 1 ? 【解析】 (1)在喜欢打蓝球的学生中抽6人,则抽取比例为 30 5 1 20 ? ? 4 5 ∴男生应该抽取 人?????????????.4分
(2)在上述抽取的 6 名学生中, 女生的有 2 人,男生 4 人。女生 2 人记 A, B ;男生 4 人为

c, d , e, f , 则从 6 名学生任取 2 名的所有情况为: ( A, B) 、( A, c) 、( A, d ) 、( A, e) 、( A, f ) 、
( B, c) 、 ( B, d ) 、 ( B, e) 、 ( B, f ) 、 (c, d ) 、 (c, e) 、 (c, f ) 、 (d , e) 、 (d , f ) 、 (e, f ) 共 15
种情况,其中恰有 1 名女生情况有:

( A, c) 、 ( A, d ) 、 ( A, e) 、 ( A, f ) 、 ( B, c) 、 ( B, d ) 、 ( B, e) 、 ( B, f ) ,共 8 种情况,

P?
故上述抽取的6人中选2人,恰有一名女生的概率概率为
2 2 (3)∵ K ? 8.333 ,且 P(k ? 7.879) ? 0.005 ? 0.5% ,

8 15 . ???????.8分

那么,我们有 99.5% 的把握认为是否喜欢打蓝球是与性别有关系的???.12分


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