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对一道向量问题的探究


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数学通讯 一

2 0 1 3年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

? 课 外 园地 一  

对一 道 向量 问题 的 探 究 
沈   阳   指导 教师   张忠旺  
( A z 海 市松 江二 中高 二 ( 9 )班 , 2 0 1 6 0 0 )  

在平 面 向量 的学 习 中, 我 遇 到 了这 样 一 个 问  题: 是否存 在 4 个平 面 向量 , 两两 不共线 , 其 中任何  两个 向量 之和 与其余 两个 向量 之 和垂直 ?  

由此 可知点 D 为 △A BC 的垂 心 , 如图 2 .   下面 确定 点 P的位置 .   设线 段 A B、 B C、 C A、 A D、 B D、 C D 的 中点分别  为 E、 F、 G、 H、 I 、 J . 易证 四边 形  - , G 为矩形 , 所  以  、 E  相 等且互 相平分 , 设  与 E J交 于 点 0,   同样 F H、 E J相 等且被 。互 相平分 . 所 以 E、 F、 G、   H、 J 、 J在 以 0 为 圆心 , O E 为半径 的 圆上 .  

自己一 时 找 不 到 解决 问题 的头 绪 , 就 查 了 资 
料得到 如下构 造性解 答.  
如 图1 所示 , 在 正 △A BC  

中, 0为 其 内心 , P 为 圆 周 上 


点, 满足雨 、 商 、   、 葡  ( - P X+商 ) . ( - P d - +P - d)  


两两 不共线 , 则有 

由( - N X+商 ) . ( - P - d +P  ̄ ) 一0 知雎 I   ;   由( - N Z ; +P - d ) . ( 商 +p - g) 一0 知P G     I P I ;   由( 雨 +  
I   PF .  

).( 商 十   )一 0知 P H 

( 葡 +  
( 2   ( 2   +  一 

+  
+ 

+   图1  
+  )   )   +  ).( 2  

) . ( 葡 +   +   )  


所以, 点 P在 圆 0 上.  

圆 0过 三 角形 三边 的 中  点, 三 条高 的垂 足 , 垂 心 与各  顶 点连 线 的 中点 ( 欧拉 点 ) 共 



).( 2  



4 葡   一  

一0 .  

所以向量赢 +- p g与砣 +P - 6垂直.   同理 可 证 其 他 情 况 , 从 而 向 量  、 - p g、   、  
P   满 足题 意 , 故存 在这样 的 4 个 平面 向量.  
上 述 解 答 引 起 了 我 的 思  考: 满 足 题 设 的 图 形 是 否 只 

九 点. 它 竟 然 是 著 名 的 九 
点 圆.  

当 △A BC为等 边三 角形 
时, D 为 △A BC 的 内 心 , P 为 

B 

F  

图 3  

其 内切 圆上 的一 点 , 如图 3 .   由此 得到 了一个结论 :  
九点圆 上一 点 为 起 点 到 三 角形 的 三 个 顶 点 、  

有上述 正三角 形 的情况 呢?  
如果 不 是 , 满 足 题 设 条 件 的 


般 构 图 是 怎 样 的 呢? 通 过 
图2  

垂 心所 构成 的向量满 足任 何两 个 向量之 和 与其 余 
两 个 向量之 和垂直 .  

探究 我 得 到 了 问 题 的 答 案 ,  
现介 绍如下 .  

真 是不 可 思 议 , 看 似 简 单 的 一道 数 学 题 中竟  然 蕴 含着九 点 圆, 我想: 只要 我 们在 平 时的 学 习 中  勤于 思考 , 勇于探究 , 就会 有更奇 妙的 发现.  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 2 —1 1 —2 4 )  

解  设 满足 条件 的四个 向量为  、 - p g、   、  
P  , 则 由题 意得 

(   +商 ) . (   +市 ) 一0 ,   (   +  ).( 商 +  )= = = 0 ,  
将 以J 二 三式 两 两 相 减 得  面 一0 .   .   一0 .  

( 雨 +茹 ) . ( 诱 +   )= = = 0 ,   . 面 一0 ,  

?  



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