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成都市15届高三文科数学三诊考试试题答案


成都市 2 0 1 5 届高中毕业班第三次诊断性检测 数学 ( 文史类 ) 参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷  ( 选择题   共 5 0 分)
( 一、 选择题 : 每小题 5 分 , 共5 0 分) 1 .A;  2 . B;  3 .A;  4 . D;  5 . B;  6 . D;  7 . C;  8 . C;  9 . B;  1 0 . D .

第 Ⅱ 卷  ( 非选择题   共 1 0 0 分)
( 二、 填空题 : 每小题 5 分 , 共2 5 分) 1 1 . 1 1;  1 2 . 4 8 0;  1 3 . [ -3, 0] ;  1 4 . 7;  1 5 .①③ . ( 三、 解答题 : 共7 5 分)

2 ( 由 f( 1 6 . 解: Ⅰ) x) =2 3 s i n x c o s x+2 c o s x+1= 3 s i n 2 x+ ( 1+ c o s 2 x) +1

由2 x+

π éπ 2 π πù é πù é1 ù ( ( , . 则s , Ⅱ) ∵x∈ 0, , ∴2 x+ ∈ i n 2 x+ ) ∈ 1. 6 ?6 3 ? 6 ? 4? ?2 ? ∴3≤f( x) ≤4 . , 此时 2 ∴f( x) x+ m a x=4 π π π 即 x= . = , 6 2 6

π π π k π ( ) , ) 得函数f( 的图象的对称轴方程是x= + ( = + k π k∈Z x) k∈Z . 6 2 6 2 ……6 分 ……1 0分

( =3 s i n 2 x+c o s 2 x+2=2 s i n 2 x+

π ) +2 . 6

……4 分

( 连接 C 连接 ME 1 7 . 解: Ⅰ) F 交B D 于点 M , . 易知 △BMF ∽△DMC .

的最大值为 4, 此时自变量 x 的集合为 ∴ 函数 f( x)

π {6 }.

……1 2分

MF B F 1 ∵F 是 A B 的中点 , ∴ = = . MC D C 2 E C1 1 ∵C E =2 E C1 ,  ∴ = . E C 2
∴EM ∥C1F .

C1 MF E 于是在 △C 有 F C1 中 , = . MC E C
又 EM ? 平面 B D E, C1F ? 平面 B D E, ∴C1F ∥ 平面 B D E .
数 学 “三 诊 ”考 试 题 (文 )答 案 第 1 页 (共 4 页 )

……6 分

9 ……1 ∴ 三棱锥 D -B E B1 的体积为 . 2分 2 ( “ 设“ 天府卡 ” 为 A, 熊猫卡 ” 为 C, 1 8 . 解: Ⅰ) B, D . ( , ( , ( , ( , ( , 不放回 抽 取 所 包 括 的 基 本 事 件 为 : A, B) A, C) A, D) B, C) B, D) ( 共 6 种. C, D) , 记“ 该参与者不放回抽 取 获 奖 ” 为 事 件 A1 , 则 事 件 A1 包 括 的 基 本 事 件 有 ( A, C)

1 1 1 9 ( Ⅱ) VD -BEB1 = S△BEB1 . D C = × ×3×3×3= . 3 3 2 2

( , ( , ( , ( 共 5 种. A, D) B, C) B, D) C, D)

5 ……6 分 ∴P ( A1) = . 6 ( ( , ( , ( , ( , ( , 有放回抽取所包括的基 本 事 件 为 : Ⅱ) A, A) B, B) C, C) D, D) A, B) ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , A, C) A, D) B, A) B, C) B, D) C, A) C, B) C, D) D, A) ( , ( 共1 D, B) D, C) 6 种. 记“ 该参与者有放回抽取获奖 ” 为事件 B1 , 则 B1 的对立事件 B1 包括的基本事件有 4 3 ∴P ( B1) =1-P ( B1) =1- = . 1 6 4 ……1 2分

( , ( , ( , ( 共 4 种. A, A) B, B) A, B) B, A) ( 由 Sn = 1 9 . 解: Ⅰ) n2 a .      …… ① n
2 ) 当 n≥2 时 , Sn-1 = ( n-1 a . …… ② n-1

2 ) 得a ①-② , n2 a n-1 a n≥2, n∈N? ) . n= n -( n-1 (

a n-1 n ) ) ( ) 即 ∴( n+1 a n-1 a = n≥2 . n =( n-1 , a n+1 n-1
1 ? , ∴ a n= ( )n∈N . n n+1

a a a a 1 1 2 3 n1 1 1 2 3 4 n · · ·…· , , 又a ∵ a = · · · ·…· = ( 1· 1= ) a a a a 2 3 4 5 n + 1 n n + 1 2 1 2 3 n-1
1 n ( , , 由( 知 Sn = Ⅱ) Ⅰ) n2 a n2 ( = n∈N?. n= ) n n+1 n+1 ……6 分

……4 分

1 n-6 n 据题意 , 不等式 2 即k≥ n 对任意的n∈N? 恒成立. k+7≥ 1-Sn 2

n-6 令b 对数列 { b n= n} , n . 2

……7 分

n-6 n-7 8n ( , ∵ b b n≥2, n∈N? ) nn-1 = n - n-1 = n 2 2 2
∴ b b b b b b b . 1< 2< 3… < 7= 8> 9> 1 0… 1 1 , 又b b ∴ k≥ . 7= 8= 1 2 8 1 2 8 故所求k 的取值范围为 é1 ? , +∞ . ?1 ? 2 8

……8 分

数 学 “三 诊 ”考 试 题 (文 )答 案 第 2 页 (共 4 页 )

……1 2分

2 2 ( 双曲线 2 2 0 . 解: Ⅰ) y -x =1 的渐近线方程为 y=± 2 b 2 由题设 , 可知 = . a 2 2 由椭圆 C1 的半焦距c=1, 有 a2 b =1 .

2 x . 2 ……3 分

x2 2 ∴ 椭圆 C1 的标准方程为 + . y =1 2 ( 由 C1 的长轴与 C2 的短轴等长 , 知 n2 =2 Ⅱ) . x2 y2 ∴ 椭圆 C2 的标准方程为 + =1 . 3 2 ( 当直线 O 且k≠0 时 , ⅰ) A 的斜率k 存在 , x2 ì 2 + y =1 , 联立 í 2 消去 y, 得 x2 =
? k x y= 1 + k2 2 1 .则 O A
2

解得 a= 2, b=1 .

……4 分

又 C1 与 C2 共焦点 , 可知 m2 = n2 +1=3 .

……5 分 1+ k2 1 =1+ . 1 1+2 k2 2 + k 2

=

x2 y2 ì + =1 3 2 1 , , 联立 í 消去 y, 得 x2 = 则 O B 1 1 1 + 2 y=- x 3 2 k k ?
→ → 由O 知 A A ·O B =0, B ∴ A B
2 2

1 1+ 2 k 3 2 = =3. 1 1 3+2 k2 + 2 3 2 k

1 3 4 k2 4 =4+ =4<4 . 22 =42 ( ( 3 1+2 k 3+2 k 1+2 k) 3+2 k2) 8+ 2 +4 k2 k

= O A

2

+ O B 2 .

……8 分

3 3 3 又 2 +4 当且仅当k2 = 时 , 取等号. k2 ≥2 2 . 4 k2 =4 3, 2 k k ∴ A B
2

∴2+ 3≤ A B 2 <4 . ( 当直线 O 有 A ⅱ) A 的斜率k 不存在或k=0 时 , B 综上 ,A B
2

4 ≥4=2+ 3 . 8+4 3

2

x x e 1 e ( 当 a=1 时 , 2 1 . 解: Ⅰ) x) = I n x+ -x+1, ′( x) = + -1 . f( f e x e ) ) ∵f ′( 1 =1, 1 =1, f(

的取值范围是 [2+ 3, 4].

=4 .

……1 1分 ……1 2分 ……1 3分 ……1 分 ……2 分

x x e 1 e ( ) , 由 f( 得f Ⅱ) x) = l n x+ a( x-1 ′( x) = + a . e x e

) , 在 x=1 处的切线方程为 y-1=1·( 即 x∴ 曲线 y=f( x) x-1 . y=0 ……3 分
数 学 “三 诊 ”考 试 题 (文 )答 案 第 3 页 (共 4 页 )

1 e 1 x-1 均是 ( 内的增函数 , ′( x) =- 2 + . 而 y=- 2 和 y=e 0, +∞ ) g e x x ) 也是 ( 内的增函数. 当 x>1 时 , 则g ∴g ′( x) 0, +∞ ) ′( x) >g ′( 1 =0 .
x

) 令 g( x) =f ′( x) . 当 a≤2 时 , 1 =2a≥0 . g(

……4 分 ……6 分 ……8 分

可知 g( 是( 内的增函数. x) =f ′( x) 1, +∞ ) ) 有 g( 即f ∴ 当 x>1 时 , x) >g( 1 ≥0, ′( x) >0 .

x e ( ( ) 当 a=3 时 , Ⅲ) F( x) =f( x) -1= l n x+ -3 x+2 x>0 . e x 1 e 则F ′( x) = + -3 . x e

故当 a≤2 时 , 函数 f( 是( 内的增函数. x) 1, +∞ )

x 1 e , 令 h( 则h x) =F ′( x) ′( x) =- 2 + . e x

, 由( 有h Ⅱ) ′( x) =g ′( x) .

) 于是可知 h 也是 ( 内的增函数 , 且有 h ′( x) 0, +∞ ) ′( 1 =0 . 当 0<x<1 时 , 当 x>1 时 , h ′( x) <0; h ′( x) >0 . ) 在( 内单调递减 ; 在( 内单调递增. ∴ h( x) 0, 1 h( x) 1, +∞ )
1 3

2 1 e -3 ) ) 由 h( 在( 内单调递减 , x) 0, 1 h( 1 =-1<0 且 h( ) = =e >0 . 3 e

……9 分

1 ) , 存在唯一t 使得 h( ∴ 根据零点存在定理 , 1 t =0 . 1∈ ( , 1) 3

) ) , 又 h( 同理 , 存在唯一t 使得 h( 2 =e -2 . 5>0, 1, 2 t =0 . 2∈ ( 2) 当 0<x< 当t t t h( x) >0; x< t h( x) <0 . 1 或 x> 2 时, 1< 2 时, , ( 在( 内单调递增 , 在( 内单调递减. ∴F ( x) 0, t t +∞ ) t t 1) 2, 1, 2) ) 则 F( t >F ( 1 =0>F ( t . 1) 2) 故 x=1 是 F ( 在( 内的唯一零点. x) t t 1, 2)

……1 1分

1 1 3 3 由 F( 在( 内单调递增 , x) 0, t F (3 ) <-1+ - 3 <- 3 <0 且 F ( t >0, 1) 1) e e e e 1 , 存在唯一 x1 ∈ (3 , 使得 F ( ∴ 根据零点存在定理 , t x1) =0 . 1) e 故 x=x1 是 F ( 在( 内的唯一零点. x) 0, t 1) ) , 存在唯一 x2 ∈ ( 使得 F ( ∴ 根据零点存在定理 , t 3 x2) =0 . 2, 故 x=x2 是 F ( 在( 内的唯一零点. x) t +∞ ) 2, 综上 , 在( 内共有三个零点 , 分别为 x1 , F( x) 0, +∞ ) 1, x2 .

2 2 ) 由 F( 在( 内单调递增 , x) t +∞ ) F( 3 = l n 3+e -7>e -6>0 且 F ( t <0, 2, 1)

……1 4分

数 学 “三 诊 ”考 试 题 (文 )答 案 第 4 页 (共 4 页 )


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