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福建省莆田一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


福建省莆田一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 p:x>4,q:x>5,则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. (5 分)中心在原点、焦点在

x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则 此椭圆的方程是() A. + =1 B. + =1

C.

+

=1

D.

+

=1

3. (5 分)200 辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布图如图所示,则时速在[50,60)分汽 车大约有多少辆?()

A.30

B.40

C.50

D.60

4. (5 分)命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是() A.对任意实数 x,都有 x>1 B. 不存在实数 x,使 x≤1 C. 对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1 5. (5 分)一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有 1,2,3,4 这四个数字.若连 续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是() A. B. C. D.

6. (5 分)下列说法错误的是() A.如果命题“¬p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题 B. 命题“若 a=0,则 ab=0”的逆否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0” 2 2 C. 命题 p:存在 x∈R,使 x ﹣2x+4<0,则¬p:对任意的 x∈R,x ﹣2x+4≥0

D.命题“存在 x∈R,使﹣2x +x﹣4=0”是真命题

2

7. (5 分)双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角为

30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)命题“ A.﹣ <x<3

<0”的一个必要不充分条件是() B.﹣ <x<4 C.﹣3<x< D.﹣1<x<2

9. (5 分)曲线 A.焦距相等

与曲线 B.长、短轴相等

(k<9)的() C.离心率相等 D.准线相同

10. (5 分)在△ ABC 中,“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.非充分非必要条件

11. (5 分)双曲线

的离心率为 2,则

的最小值为()

A.

B.

C. 2

D.1

12. (5 分)在 5 件产品中,有 3 件一等品和 2 件二等品,从中任取 2 件,那么以 事件是() A.都不是一等品 C. 至少有一件一等品

为概率的

B. 恰有一件一等品 D.至多一件一等品

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

13. (4 分)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则事件“3a﹣1>0”发生的概率为. 14. (4 分)已知矩形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的双曲线的 渐近线夹角为. 15. (4 分)椭圆 x +4y =36 的弦被(4,2)平分,则此弦所在直线方程为. 16. (4 分)给出下列命题: ①非零 , 满足| |=| |=| ② |,则 与 + 的夹角为 30°;
2 2

>0,是 , 的夹角为锐角的充要条件;
2 2 2 2

③命题“若 m +n =0,则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m +n ≠0 则 m≠0 或 n≠0”; ④若( + )?( )=0,则△ ABC 为等腰三角形;

以上命题正确的是(注:把你认为正确的命题的序号都填上)

三、解答题:本大题共 6 大题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知命题 p: <0,命题 q: (x﹣m) (x﹣m+3)<0(m∈R) ,若 p 是 q 的充

分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 18. (12 分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关的数据如表所示: 文艺节目 新闻节目 总计 20 岁至 40 岁 40 18 58 大于 40 岁 15 27 42 总计 55 45 100 (Ⅰ)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众应该抽取几 名? (Ⅱ)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.

19. (12 分)已知 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)为椭圆 C 的左、右焦点,且点 P(1, 圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=x+1 与椭圆 C 交于 A、B 两点,求弦长|AB|. 20. (12 分)已知直线 y=kx+1 和双曲线 3x ﹣y =1 相交于两点 A,B; (1)求 k 的取值范围; (2)若以 AB 为直径的圆恰好过原点,求 k 的值. 21. (12 分)设 x∈(0,4) ,y∈(0,4) .
2 2

)在椭

(1)若 x∈N+,y∈N+以 x,y 作为矩形的边长,记矩形的面积为 S,求 S<4 的概率; (2)若 x∈R,y∈R,求这两数之差不大于 2 的概率.

22. (14 分)直线 l:y=k(x﹣1)过已知椭圆

经过点(0,

) ,离心率为 ,

经过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 x=4 上的射影依次 为点 D、K、E. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 l 交 y 轴于点 M, 且 , 当直线 l 的倾斜角变化时, 探求 λ+μ

的值是否为定值?若是,求出 λ+μ 的值,否则,说明理由; (Ⅲ)连接 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若 是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.

福建省莆田一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 p:x>4,q:x>5,则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: q?p,反之不成立,即可判断出. 解答: 解:∵q?p,反之不成立, ∴p 是 q 的必要不充分条件, 故选:B. 点评: 本题考查了充要条件的判定,属于基础题.

2. (5 分)中心在原点、焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则 此椭圆的方程是() A. + =1 B. + =1

C.

+

=1

D.

+

=1

考点: 椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 先根据长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,即可确定椭圆的几何量,从而 可求椭圆的方程. 解答: 解:∵长轴长为 18 ∴2a=18,∴a=9, 由题意,两个焦点恰好将长轴三等分 ∴2c= ×2a= ×18=6, ∴c=3, 2 ∴a =81, 2 2 2 ∴b =a ﹣c =81﹣9=72, 故椭圆方程为 故选 A. 点评: 本题重点考查椭圆的标准方程,解题的关键是利用条件,确定椭圆的几何量,属于 基础题. 3. (5 分)200 辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布图如图所示,则时速在[50,60)分汽 车大约有多少辆?()

A.30 考点: 专题: 分析: 解答:

B.40

C.50

D.60

频率分布直方图. 概率与统计. 根据频率分布直方图,结论频率、频数与样本容量的关系,即可得出正确的答案. 解:根据频率分布直方图,得;

时速在[50,60)每分的汽车的频率是 0.3, 对应的汽车大约是 200×0.3=60. 故选:D. 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题时应根据频率= 是基础题. 4. (5 分)命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是() A.对任意实数 x,都有 x>1 B. 不存在实数 x,使 x≤1 C. 对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1 考点: 命题的否定. 专题: 计算题. 分析: 根据存在命题(特称命题)否定的方法,可得结果是一个全称命题,结合已知易得 答案. 解答: 解:∵命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是 “对任意实数 x,都有 x≤1” 故选 C 点评: 本题以否定命题为载体考查了特称命题的否定,熟练掌握全(特)称命题的否定命 题的格式和方法是解答的关键. 5. (5 分)一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有 1,2,3,4 这四个数字.若连 续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是() A. B. C. D. 进行解答,

考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 分析: 由题意知,本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数可以利用分步计数原理得 到,满足条件的事件是色子着地的一面上的数字之积大于 6,可以借助与数对,列举出所有结 果,根据古典概型概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知,本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件数 4×4=16, 满足条件的事件是连续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数, 可以列举出事件(1,2) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,2) , (3,4) , (4, 1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)共有 12 种结果, 根据古典概型的概率公式得到概率是 ,

故选 B. 点评: 本题考查古典概型的概率问题,是一个基础题,题目的所有事件和满足条件的事件 都比较容易做出,这种题目出现时不能丢分. 6. (5 分)下列说法错误的是() A.如果命题“¬p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题 B. 命题“若 a=0,则 ab=0”的逆否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0”

C. 命题 p:存在 x∈R,使 x ﹣2x+4<0,则¬p:对任意的 x∈R,x ﹣2x+4≥0 2 D.命题“存在 x∈R,使﹣2x +x﹣4=0”是真命题 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 分别对 A,B,C,D 进行判断,从而得到结论. 解答: 解:对于 A,¬P 是真命题,则 P 是假命题,故 q 是真命题,故 A 正确, 对于 B,逆否命题应是:若 ab≠0,则 a≠0,故 B 错误, 对于 C,正确, 对于 D,△ =1+32>0,方程有解,故 D 正确, 故选:B. 点评: 本题考查了复合命题的判断,考查了四种命题之间的关系,是一道基础题.

2

2

7. (5 分)双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角为

30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先在 Rt△ MF1F2 中,利用∠MF1F2 和 F1F2 求得 MF1 和 MF2,进而根据双曲线的定义 求得 a,最后根据 a 和 c 求得离心率. 解答: 解:如图在 Rt△ MF1F2 中,∠MF1F2=30°,F1F2=2c ∴ ∴ ∴ , ,

故选 B. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质,属基础题. 8. (5 分)命题“ A.﹣ <x<3 <0”的一个必要不充分条件是() B.﹣ <x<4 C.﹣3<x< D.﹣1<x<2

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;其他不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 解出“ 行一一判断; 解答: 解:∵命题“ ∴﹣ <x<3, A、﹣ <x<3,A 是充要条件,故 A 错误; B、∵﹣ <x<3?﹣ <x<4,∴故 B 正确; C、∵﹣ <x<3 推不出 <x< ,故 C 错误; D、 、∵﹣ <x<3 推不出﹣1<x<2,故 D 错误; 故选 B. 点评: 此题主要考查不等式的求解问题,还考查了必要条件和充分条件的定义及其判断, 是一道基础题. <0”, <0 的解,再根据必要条件和充分条件的定义对 A、B、C、D 四个选项进

9. (5 分)曲线 A.焦距相等

与曲线 B.长、短轴相等

(k<9)的() C.离心率相等 D.准线相同

考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 先利用椭圆的性质可分别求得两个曲线的长,短轴的长、焦距、离心率和准线方程, 进而比较可推断出答案. 解答: 解:对于曲线 ,a=5.b=3,c= =4,离心率 e= ,准线方程为 x= ,

曲线

,c=

=4,a=

,b=

,e=

,准线方

程为 x= ∴当 k≠0 时,两个曲线的焦距相等.长、短轴、离心率和准线方程均不相同, 当 k=0 时两个曲线的方程相同,则焦距、长、短轴、离心率和准线方程均相同, ∴综合可知,两个曲线的焦距一定相等 故选 A

点评: 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征,椭圆的简单性质.考查了学生对椭圆基础知 识的掌握. 10. (5 分)在△ ABC 中,“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.非充分非必要条件 考点: 充要条件. 专题: 证明题. 分析: 对两个条件,“cosA+sinA=cosB+sinB”与“C=90°”的关系,结合三角函数的定义,对选 项进行判断 解答: 解:“C=90°”成立时,有 A+B=90°,故一定有“cosA+sinA=cosB+sinB”成立 又当 A=B 时 cosA+sinA=cosB+sinB”成立,即“cosA+sinA=cosB+sinB”得不出“C=90°”成立 所以“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要非充分条件 故选 B. 点评: 本题考查充要条件,解答本题要熟练理解掌握三角函数的定义,充分条件,必要条 件的定义, 且能灵活运用列举法的技巧对两个命题的关系进行验证, 本题考查了推理论证的能 力,解题时灵活选择证明问题的方法是解题成功的保证.

11. (5 分)双曲线

的离心率为 2,则

的最小值为()

A.

B.

C. 2

D.1

考点: 双曲线的简单性质;基本不等式. 分析: 根据基本不等式 ,只要根据双曲线的离心率是 2,求出 的值即可. ,

解答: 解:由于已知双曲线的离心率是 2,故

解得 故选 A.

,所以

的最小值是



点评: 本题考查双曲线的性质及其方程.双曲线

的离心率 e

和渐近线的斜率

之间有关系

,从这个关系可以得出双曲线的离心率越

大,双曲线的开口越大.

12. (5 分)在 5 件产品中,有 3 件一等品和 2 件二等品,从中任取 2 件,那么以 事件是()

为概率的

A.都不是一等品 C. 至少有一件一等品

B. 恰有一件一等品 D.至多一件一等品

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题. 2 分析: 从 5 件产品中任取 2 件,有 C5 种结果,通过所给的条件可以做出都不是一等品有 1 1 1 1 1 2 种结果,恰有一件一等品有 C3 C2 种结果,至少有一件一等品有 C3 C2 +C3 种结果,至多有 1 1 一件一等品有 C3 C2 +1 种结果,做比值得到概率. 解答: 解:5 件产品中,有 3 件一等品和 2 件二等品,从中任取 2 件, 2 从 5 件产品中任取 2 件,有 C5 =10 种结果, ∵都不是一等品有 1 种结果,概率是
1 1

, , , ,

恰有一件一等品有 C3 C2 种结果,概率是
1 1 2

至少有一件一等品有 C3 C2 +C3 种结果,概率是 至多有一件一等品有 C3 C2 +1 种结果,概率是 ∴ 是至多有一件一等品的概率,
1 1

故选 D. 点评: 本题考查古典概型,是一个由概率来对应事件的问题,需要把选项中的所有事件都 作出概率,解题过程比较麻烦. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 13. (4 分)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则事件“3a﹣1>0”发生的概率为 .

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出(0,1)上产生随机数 a 所对应 图形的长度, 及事件“3a﹣1>0”对应的图形的长度, 并将其代入几何概型计算公式, 进行求解. 解答: 解:3a﹣1>0 即 a> ,

则事件“3a﹣1>0”发生的概率为 P= 故答案为: .

= .

点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这 个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.

14. (4 分)已知矩形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的双曲线的 渐近线夹角为 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意可得点 A,B,C 的坐标,设出双曲线的标准方程,根据题意知 2a=AC﹣BC, 求得 a,进而根据 b,a 和 c 的关系求得 b,则双曲线的方程可得. 解答: 解:由题意可得点 OA=OB=2,AC=5 设双曲线的标准方程是 则 2a=AC﹣BC=5﹣3=2, 所以 a=1. 2 2 2 所以 b =c ﹣a =4﹣1=3. 所以双曲线的标准方程: 故双曲线的渐近线的方程为:y= ∴双曲线的渐近线夹角为 故答案为: 点评: 本题主要考查了双曲线的标准方程,两直线的夹角,解答的关键是合理利用双曲线 的定义解题. 15. (4 分)椭圆 x +4y =36 的弦被(4,2)平分,则此弦所在直线方程为 x+2y﹣8=0. 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设弦的端点坐标为(x1,y1) , (x2,y2) ,则 x1+x2=8,y1+y2=4,代入椭圆方程可得, 2 2 2 2 x1 +4y1 =36,x2 +4y2 =36,两个方程作差可求得直线斜率,利用点斜式可得直线方程,注意 检验. 解答: 解:设弦的端点坐标为(x1,y1) , (x2,y2) ,则 x1+x2=8,y1+y2=4, 2 2 代入椭圆方程可得,x1 +4y1 =36,①, 2 2 x2 +4y2 =36② ①﹣②得, (x1+x2) (x1﹣x1)+4(y1+y2) (y1﹣y2)=0 ∴ =﹣ =﹣ ,
2 2



, x,



由点斜式方程可得直线方程为:y﹣2= (x﹣4) ,即 x+2y﹣8=0, 经检验符合题意, 故答案为:x+2y﹣8=0.

点评: 本题考查直线与椭圆的位置关系, 属中档题, 涉及弦中点问题常采取“平方差法”解决. 16. (4 分)给出下列命题: ①非零 , 满足| |=| |=| ② |,则 与 + 的夹角为 30°;

>0,是 , 的夹角为锐角的充要条件;
2 2 2 2

③命题“若 m +n =0,则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m +n ≠0 则 m≠0 或 n≠0”; ④若( + )?( )=0,则△ ABC 为等腰三角形;

以上命题正确的是①③④(注:把你认为正确的命题的序号都填上) 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质可判断①, 根据向量数量积的定义, 及充要条件的定义,可判断②;根据否命题的定义,可判断③;根据向量数量积运算法则及 向量模的定义,可判断④. 解答: 解:①非零向量 , 满足| |=| |=| |,则以 , 为邻边的平行四边形为菱形,

且 , 的夹角为 60°,根据菱形的对角线平分对角,可得 与 + 的夹角为 30°,故①正确; ② >0, 、 的夹角为锐角或 0,故
2 2

>0,是 、 的夹角为锐角的必要不充分条件,
2 2

故②错误; ③命题“若 m +n =0,则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m +n ≠0,则 m≠0 或 n≠0”,故③正确; ④若( + )?( )=0,即 =0,∴ ,即 AB=AC,则△ ABC

为等腰三角形,故④正确. 故答案为:①③④. 点评: 本题以命题的真假判断为载体考查了向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质, 向量数量积的定义,充要条件的定义,否命题的定义,向量数量积运算法则及向量模的定义, 是向量与逻辑的综合应用,难度中档. 三、解答题:本大题共 6 大题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知命题 p: <0,命题 q: (x﹣m) (x﹣m+3)<0(m∈R) ,若 p 是 q 的充

分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 求解命题得出集合:p:{x|﹣1<x<1},q:{x|m﹣3<x<m},根据 p 是 q 的充分不 必要条件,得出 m﹣3≤﹣1 且 m≥1,求解即可. 解答: 解:∵p: <0,即 p:{x|﹣1<x<1}

q: (x﹣m) (x﹣m+3)<0(m∈R) , 即 q:{x|m﹣3<x<m} ∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴集合 p,q 有 p?q ∴m﹣3≤﹣1 且 m≥1 ∴1≤m≤2 故实数 m 的取值范围:[1,2] 点评: 本题考察了充分必要条件的定义,不等式的求解,命题和集合的关系,属于容易题. 18. (12 分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关的数据如表所示: 文艺节目 新闻节目 总计 20 岁至 40 岁 40 18 58 大于 40 岁 15 27 42 总计 55 45 100 (Ⅰ)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众应该抽取几 名? (Ⅱ)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率. 考点: 分层抽样方法;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (I)在 100 名电视观众中,收看新闻的观众共有 45 人,从中随机抽取 5 名,抽样比 为 ,进而由大于 40 岁的观众为 27 人,得到大于 40 岁的观众应该抽取人数.

(II)抽取的 5 人中,年龄大于 40 岁的有 3 人,列举出所有基本事件的个数,及满足恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的基本事件个数,代入古典概型概率公式,可得答案. 解答: 解: (I)在 100 名电视观众中,收看新闻的观众共有 45 人,其中 20 至 40 岁的观众 有 18 人,大于 40 岁的观众共有 27 人. 故按分层抽样方法,在应在大于 40 岁的观众中中抽取 人.…(4 分)

(II)抽取的 5 人中,年龄大于 40 岁的有 3 人,分别记作 1,2,3;20 岁至 40 岁的观众有 2 人,分别高为 a,b,若从 5 人中任取 2 名观众记作(x,y) ,…(6 分) 则包含的总的基本事件有: (1,2) , (1,3) , (1,a) , (1,b) , (2,3) , (2,a) , (2,b) , (3, a) , (3,b) , (a,b)共 10 个.…(8 分) 其中恰有 1 名观众的年龄为 20 岁至 40 岁包含的基本事件有: (1,a) , (1,b) , (2,a) , (2, b) , (3,a) , (3,b)共 6 个.…(10 分) 故 P(“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)= ; …(12 分)

点评: 本题考查的知识点是分层抽样,古典概型概率公式, (I)的关键计算抽样比, (II) 的关键是计算所有基本事件个数及满足条件的基本事件个数.

19. (12 分)已知 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)为椭圆 C 的左、右焦点,且点 P(1, 圆 C 上.

)在椭

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=x+1 与椭圆 C 交于 A、B 两点,求弦长|AB|. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)先设出椭圆的方程,代入求出 a,b 的值即可; (2)联立方程组解出 A,B 的坐 标,从而求出|AB|的长. 解答: 解: (1)设椭圆的方程是: =1,

由 a ﹣b =1,

2

2

+

=1,解得:a =3,b =2,

2

2

∴椭圆 C 的方程是:

+

=1;

(2)由



解得:





∴|AB|=

=



点评: 本题考查了求椭圆的方程问题,考查了椭圆的性质,是一道中档题. 20. (12 分)已知直线 y=kx+1 和双曲线 3x ﹣y =1 相交于两点 A,B; (1)求 k 的取值范围; (2)若以 AB 为直径的圆恰好过原点,求 k 的值. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 直线与圆. 分析: (1)把直线方程与双曲线的方程联立可得△ >0,解出即可. (2)利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出. 解答: 解:设交点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 消去 y,得(3﹣a )x ﹣2ax﹣2=0,
2 2 2 2

(1)由于直线与双曲线相交,∴ ∴a <6 且 a ≠3.
2 2

∴a 的取值范围为 (2)由韦达定理,得 x1+x2=

,且 ,①

. ,②

∵以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点, ∴ ∴ , =x1x2+y1y2=0,
2

即 x1x2+(ax1+1) (ax2+1)=0,整理得(a +1)x1x2+a(x1+x2)+1=0③ 将①②代入③,并化简得 =0,∴a=±1,

经检验,a=±1 满足题目条件, 故存在实数 a 满足题目条件. 点评: 本题考查了直线与双曲线相交转化为方程联立可得△ >0 及根与系数的关系、 圆的性 质、向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 21. (12 分)设 x∈(0,4) ,y∈(0,4) . (1)若 x∈N+,y∈N+以 x,y 作为矩形的边长,记矩形的面积为 S,求 S<4 的概率; (2)若 x∈R,y∈R,求这两数之差不大于 2 的概率. 考点: 几何概型;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)求出 x∈N+,y∈N+时(x,y)所有的结果以及满足矩形的面积 S<4 的(x,y) 所有结果,利用古典概型求出对应的概率; (2)求出 x∈R,y∈R 时所有的结果组成区域 Ω 与两个数之差不大于 2 的所有结果组成区域 H 的面积,利用几何概型求出对应的概率. 解答: 解: (1)∵x∈N+,y∈N+, ∴(x,y)所有的结果为(1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) , (3,3)共 9 个, 满足矩形的面积 S<4 的(x,y)所有的结果为 (1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (3,1)共 5 个, ∴S<4 的概率为 P= ; (2)x∈R,y∈R 时所有的结果组成区域为 Ω={(x,y)|0<x<4,0<y<4}, 两个之差不大于 2 的所有结果组成区域为 H={(x,y)|0<x<4,0<y<4,|x﹣y|≤2} ∴概率 P(H)= = .

点评: 本题考查了古典概型与几何概型的应用问题,解题时应根据题意,准确判断是哪种 概率类型,从而进行解答问题,是基础题.

22. (14 分)直线 l:y=k(x﹣1)过已知椭圆

经过点(0,

) ,离心率为 ,

经过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 x=4 上的射影依次 为点 D、K、E. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 l 交 y 轴于点 M, 且 , 当直线 l 的倾斜角变化时, 探求 λ+μ

的值是否为定值?若是,求出 λ+μ 的值,否则,说明理由; (Ⅲ)连接 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若 是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)由题设知 ,因为 a =b +c a =4,c =1,由此能求出椭圆 C 的
2 2 2 2 2

方程. (Ⅱ)设直线 l 方程 y=k(x﹣1) ,且 l 与 y 轴交于 M(0,﹣1) ,设直线 l 交椭圆于 A(x1, y1) ,B(x2,y2) ,由 得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0,再由韦达定理结合题
2 2 2 2

设条件能够推导出当直线 l 的倾斜角变化时,λ+μ 的值为定值



(Ⅲ)当直线 l 斜率不存在时,直线 l⊥X 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相交 FK 的中点 猜想, 当直线 l 的倾斜角变化时, AE 与 BD 相交于定点 .

证明:由 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,知 D(4,y1) ,E(4,y2) .当直线 l 的倾斜角变化时, 首先证直线 AE 过定点 AE 与 BD 相交于定点 . 再证点 也在直线 lBD 上;所以当 m 变化时,

解答: 解: (Ⅰ)由题设知

,因为 a =b +c a =4,c =1,∴椭圆 C 的方程

2

2

2 2

2

(3 分) (Ⅱ)易知直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程 y=k(x﹣1) ,且 l 与 y 轴交于 M(0,﹣k) ,设 直线 l 交椭圆于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由 得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0,
2 2 2 2



(6 分)

又由



∴(x1,y1)=λ(1﹣x1,﹣y1) , ∴ ,同理∴ (8 分)



所以当直线 l 的倾斜角变化时,λ+μ 的值为定值

; (10 分)

(Ⅲ)当直线 l 斜率不存在时,直线 l⊥X 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相交 FK 的中点 猜想,当直线 l 的倾斜角变化时,AE 与 BD 相交于定点 (11 分)

证明:由(Ⅱ)知 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,∴D(4,y1) ,E(4,y2) 当直线 l 的倾斜角变化时,首先证直线 AE 过定点 ∵



时,

=

=

∴点

在直线 lAE 上,同理可证,点

也在直线 lBD 上;∴当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线 与椭圆的相关知识,解题时要灵活运用圆锥曲线性质,注意合理地进行等价转化.


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