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2015年全国高中数学联赛甘肃预赛试题


中等数学

2015年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛
中图分类号:G424.79 文献标识码:A 文章缩号:1005—6416(2016)06-0036一06

一、填空题(每小题7分,共70分)

1.已知△ABC的外接圆半径为R,且
2R(sin2A—sin2C)=(√2口一6)sin



7.已知口、易为两个互相垂直的单位向

量,且c?a=c?b=1.则对任意的正实数t,

其中,口、6分别为么A、么曰的对边.则么C

的大小为——.
2.设集合A={z 12a+1≤菇≤3口+5}, B={戈13≤戈≤33},A∈A n曰.

1c+ta+÷易I的最小值为——.




8.若关于菇的方程兰七=h2有四个不
菇+/4

则a的取值范围是——-.
除所得的余数为——.
3.6“+c:】610+c;】69+…+c】10】6—1被8
4.在数列{口。}中,口。=2,口:=10,对所有
的正整数n均有口。+2=a。+1一口。.则口2015= 5.如图1, 在底面为直角 梯形的四棱锥 P—ABCD中,AD

同的实数解,则k的取值范围是——』
9.设戈、Y为正实数,且戈+Y=1.则

南+南的最小值为——
10.设f(石)为定义在整数集上的函数, 满足条件

(1坎1)=1,火2)=0;


(2)对任意的菇、),均有

火石+y)=火菇)以1-y)+以1一菇).厂(y).
则火2
B 图I C

二、解答题(共80分)

}}BC.[媪C= 900,以上平面

015)=一

11.(14分)已知函数

ABCD,PA=3,AD=2,AB=2√3,BC--.6.则二

八菇)=2sin2(手一茹卜万cos
区间;

2茹.

面角P—BD—A的大小为——.
..2 ..2

(1)求f(戈)的最小正周期和单调递减

6.设双曲线%一毛=1(口>0,b>0)的
口 D

左、右焦点分别为F卜兄,A为双曲线渐近线
上的一点,A如上日R,原点0到直线AF。

(2)若火石)<m+2在石∈【o,詈】上恒成
立,求实数m的取值范围. 12.(14分)某花店每天以每枝5元的价 格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10 去12、30、4、22,图4(乙)中删去11、29、3、 21,图4(丙)中删去23、5,图4(丁)中删去 24、6,图4(戊)中删去13、14、15、31、32.此 时,图中所有的线段均已被断开. (陶平生提供)

的距离为÷I卯,1.则双曲线的离心率为
去四个数,图4(丙)、(丁)中各至少要删去 两个数,图4(戊)中至少要删去五个数,总共 至少要删去17个数. 另一方面,删去适当的17个数,可以使

得余下的数满足条件例如,在图4(甲)中删
万方数据

2016年第6期

37

元的价格出售.若当天卖不完,剩下的玫瑰花

(1)求椭圆C的标准方程; (2)过椭圆C上任意一点P作椭圆c的 切线与直线E尸的垂线R肘交于点膨,求点 M的轨迹方程; (3)若切线MP与直线菇=一2交于点

作垃圾处理
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当
天的利润Y(单位:元)关于当天需求量n(单 位:枝,忍∈N)的函数解析式.

(2)花店记录了100天玫瑰花的Et需求
量(单位:枝),整理得表1.
表1

Ⅳ,证明:器为定值
参考答案
一、1.450.

日需求量弗 频数

14 10

15 20

16 16

17 16

18 15

19 13

20 10

以100天记录的各需求量的频率作为各

题设等式结合正弦定理得

需求量发生的概率
(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表 示当天的利润(单位:元),求石的分布列、数 学期望及方差.

a2一c2=(在8一b)b j a2+62一c2=厄ab

~s

C=等=譬
j口<一4.

(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝
玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请 说明理由.

等么C=450.

2.(-∞,一4)U[1,爵
由A∈An曰,知A∈且 当A=囝时,
2口+1>3a+5

13.(16分)数列{a。}满足
,,“+1.

laZ∈(~生÷_=+。,22z,。+2■——了■——~L
a 1





+). +,?

I n+寺l口。+2“

1n

厶,

当A≠囝时,口≥一4.

(i)设b。=生,求数列{6。}的通项公式;

(2)设cn=可靠,数列{c。}的前
n项和为S。,求S。.

故黜嚣j 1一弩.、
综上,。∈(一∞,一4)0
3.5.

1 1,孚].

州=In x一竺等.
(1)若函数以菇)在区间(0,+∞)上为单 调增函数,求口的取值范围; (2)设m>n>0,证明:
ln m—In m十乃

14.(18分)已知函数

注意到,

6ll+c:1610+cil69+…+cllOl6—1 =c:1611+c:16lo+…+cll016+C.n.60一2
=(6+1)11—2=711—2

n>丛型.

三(一1)11—2--5(mod 8). 故所求结果为5. ①
4.一10.

15?(18分)已知椭圆c:≥+寺=1(口>
6>0)的左、右焦点为F卜R,设点F小疋与 椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三 角形.
万方数据

经检验,数列{a。}以6为周期.从而,
a2015 2a335 x6+5 2a5

2—10.

5.600.

过点A作AF上BD于点F

由PA上平面ABCD,知即上BD.

38

中等数学

于是,么PFA为二回角P—BD—A Efg大小.

因为么ABC=90。,仰//BC,所以,在 Rt△旭D中,由AB=2万,AD=2,知
BD=4,AF=万.

从而,I

c+ta+1t



I≥2厄,当t=1时,以上

各式等号成立.

因此,所求最小值为2厄.

故taIl么删=面PA=万3=万
j么PFA=600.

8.尼∈(丢,+∞).
显然,石=O为已知方程的解. 当x#O时,已知方程变为

6.粤.

由点D到直线峨的距离为丢I眠I,知
sin

AFl疋=百I.

南=№I. 所求即为Ij=.|}I菇I有三个不同的非零
实数解,Iil]y=ili与y=庇I菇l的图像有三个
交点. (1)k>0. 当菇>0时,y=庀l菇I与y=x-l+4;1旨--+ 交点;

胁蚀。R=器=历1.①
-设.F1F2=2c,渐近线方程为y=7b.

于是,A(c,等).
由式①得
bc

当茹<一4时,y=庇l菇I与y=Ii没有
交点; 当一4<菇<0时,Y=k I菇I=一k与Y= 46
。。2‘

—a2c=去j告=鱼2 2厄。口
j e=旦=


√a/-王_口+:b2.=√1+∽ 一√一\口J
√口2

7.2√2.

设c=A口+/1 b.则
c?a=AI口l 2+/z a?b=A=1,

c?b=叉口?b+/Ylb I 2=/1=1.

于是,c=a+b. 故c2=(口+易)2=口2+易2+2口?b=2.

37-c+纽+}|2=(2 c+纽+})2
:矿+掰+岛2+2tc.口+乞?b+加?与 =2+t2+{+2t+三
t。

1 ,’ 1

三j有两个交点; 当y=一kx-与y=Ij相切时,即 一k=Ij j k2+4h+1=o 号△=(4I|I)2—4庇=o j庇=丢. 故庇>}时,满足条件
(2)k=O.

方程等=k2只有一个实数解,不符合
题惹
(3)k<0.

=(t+÷+1)2—1
万方数据

y=庇l引与y=ili的图像只有一个交

2016年第6期

39

点,不符合题意.

r0,

茹为偶数; 茄三1(mod 4);

综上,J}∈({,+∞).

以菇)={1,

【一1,戈三一1(mod 4).

9.÷.

经检验,厂满足条件.故八2 015)=一1.
综上,以2 015)=±1. 二、11.(1)注意到,

南+南≥揣=石.
由柯西不等式得
菇2

’,2



(菇+’,)2



当且仅当等={}甘菇=2y,
即y=},菇=詈时,等号成立.
10.±1.





火菇)=1一c。s(詈一氖)一万c。s
=一(sin 2x+万eO¥2x)+1

2菇

=一2sin(2戈+手)+1.
于是,火菇)的最小正周期r:孥:兀.

在条件(2)中令菇=O,则

以),)=八0)以1一y)+火1)以y).
由以1)=1,知

由2h一詈≤2戈+詈≤2h+詈(||}∈z)

号栅一老≤菇≤h+乏(五∈z).
故以菇)的单调递减区间为

f(O)以1一Y)=o.
在上式中令y=O,则

八O)八1)=0 j火0)=O.
在条件(2)分别令菇=1,一1,2得

[h一卺,h+主】(尼E z).
(2)由菇∈【o,詈],知

八Y+1)=尺1)八1-y)+火0)以y)
=火1-y),

火y一1)=火一1状1-y)+火2状Y)
=火一1).厂(1一Y)=以一1).厂(y+1), 八Y+2)=八2)以1-y)+以一1)以Y)
=火一1)以y). 由八y一1)=八一1)八y+1)

詈Q+詈≤莩

j譬≤sin(2菇+詈)≤1. 于是,当sin(2菇+詈)=譬时,八菇)取得
最大值1一万,即 火龙)。。=1一,/X. 要使以戈)<m+2恒成立,只需
八戈)。。<m+2, 即1一,/g<m+2.

j火y)=以一1)八Y+2)

j八y)=厂2(一1状y)
j苁一1)=±1. 若八一1)=1,则以y+2)=火y). 由条件(1)知

以石,={三:二舅翥萋.;
经检验,,满足条件.故以2 015)=1.

解得m>一1一万.
故m的取值范围是(一1一,/X,+∞). 12.(1)当日需求量n,>16时,利润y=舳.
当日需求量乃<16时,利润y=10n一80.

若以一1)=一1,则八y+2)=-f(y).
由条件(1)知
万方数据

中等数学

f10n一80,n<16;


由方法1,知E(X)<E(y),即购进17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝的平 均利润. 故花店一天应购进17枝玫瑰花. 13.(1)由已知得
an+1 an

180,

n≥16.

(2)(i)X可能的取值为60、70、80,且
P(X=60)=O.1,P(X=70)=O.2, P(X=80)=0.7. 于是,石的分布列如表2.
表2
X P 60 0.1 70 0.2 80 O.7

24+1一(n+丢)口。+24
号——一一=忍+i Z
an+1 an

2“”

2”



X的数学期望为 E(X)=60
x0.1+70 x0.2+80 x0.7=76;

丑的方差为 D(X)=(60—76)2 x0.1+(70—76)2 (80—76)2
=44. x0.7 xtl2+

h。一6。二n+丢. 而6:一6。=1+丢,6,一6:=2+丢,……

big


6¨=(rg-1)+虿1.

(ii)方法1花店碱购进16枝珑魄花
若花店一天购进17枝玫瑰花,y表示当
天的利润(单位:元),则y的分布列如表3.
表3
1, P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

累加得
big

61=1+2+…+(n一1)+Tn-1=Tn2_1.
,'

因为6?=丢=1,所以,

小丁n2-1+1-学.

l,的数学期望为 E(1,)=55
x0.1+65×0.2+


%=百=而一州=石而’
2“+1 2“+1 2“+2

(2)由(1)知

75 X0.16+85 =76.4;

0.54

]列Cig
】r

o器=丢?器
n2+n

rt+2

l,的方差为 D(Y)=(55—76.4)2×0.1+ (65—76.4)2


2言【丽i砸鬲+丽i币可J
0.2+



=丢【专+去一百杀】
号.s。=丢伊歹1”.+击)+ 州南一南)+(去一南)+..?
+【一一石石面鬲¨ +【上n,2Ig一万杀】)
1 2

(75—76.4)2×O.16+ (85—76.4)2×O.54
=112.04.

于是,D(X)<D(Y),即购进16枝玫瑰 花时利润波动相对较小. 另外,虽然E(X)<E(功,但是两者相差 不大. 故花店一天应购进16枝玫瑰花. 方法2花店一天应购进17枝玫瑰花.
万方数据

刍(卜1z) +i【虿一石矽j +艟一高谤】 1一丢

2016年第6期

41

州=÷一亟舻
14.(1)由已知得 一x(x+1)2一x(s+1)2 成立,即在区间(0,+∞)上恒有 S2+(2—2a)x+1≥O.

=丢[1-(扩1等】.

15.(1)依题意知

2c--a=4考c=2,b=2万.

于是,椭圆c的标准方程为彘+矗=1.
(2)设P(xo,Yo),由(1)知F。(-2,0).


一(兰±!)!二兰竺一苎:±(兰二兰鱼!苎±!

设M(s,y).则椭圆C上过点P的切线 方程为

因为以菇)在区间(0,+∞)上为单调增
函数,所以,厂’(戈)≥0在区间(0,+∞)上恒

S丽OS+等乩



蜗1P.鑫,知kHF,一等.
于是,直线MFm的方程为

当茹∈(0,+∞)时,由
矿+(2—2口)戈+1≥O j 2a一2≤石+土. S g(s)=菇+÷(菇∈(o,+∞)).则

y=一型(菇+2)
二y0

号YYo=一(戈o+2)(菇+2).(参 式①、②联立解得髫=一8.

g(s旧+导≥2≯÷=2.
当且仅当戈=i1,即菇=1时,g(菇)有最 小值2. 于是,2口一2≤2 j口≤2. 故a的取值范围是--∞,2]. (2)要证式①成立,只要证

因此,点M的轨迹方程为菇=一8.
(3)依题意及(2),知 M(一8,‰),N(-2,YN). 因为点Ⅳ在切线MP上、点肘在直线

MF。上,所以,由式①、②分别得

yⅣ2—芝F’‰=—百一‘
洲…玎Il 则I胛1 2=靠=——暑!,
2 2

3(菇o+8)

6(so+2)

9(Xo+8)2
叶了0

In

2严m一11 2严一11 m>』U乍In—m一』_>O.


里+1 一+



m+1 +

IMFl



2=[(一2)一(一8)]2+五

设九(菇)=n戈一等?
;&I’,.^一

36[y02+(菇o+2)2]

I1一s(2,.



由(1)知^(舅)在区间(0,+∞)上为单 调增函数. 又里>1,于是,

双面开=—石r‘3—6[y02+(—xo+2)2
曲I幔12


9(S0+8)2

%2



(‰+8)2

2话‘鬲i了矛‘



^㈢>^(1)=0



注意到,点P在椭圆c上,即话So+砭yo=1.

In里一型虬
里一』旦—』>0.
m+1

于是,‰:4T8-x02,代入式③并整理得 郦INFl j器IMF I=土2(糊.



FMI122=土4




k此1咀,‘

l—

从而,式①成立.
万方数据

(傅龙骧提供)


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