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高数一A卷及答案


常州大学考试命题用纸
线 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 姓名 。"}

考试科目

高等数学(一)

学时

考试用时

2 小时

(闭卷√ 开卷)

/>成绩

A卷



3 页,第
] .

1



。{tc "班级

《高等数学一》试卷
本试卷适用班级:
题 号 一 二 三 四 五 总分

3.微分方程 y ?? ? 2 y ? ? e 2 x 的一个特解应具有的形式(其中 a , b 为常数)是 [ A. axe
2x

B. (ax ? b)e
2x

2x

C. x(ax ? b)e

D. x2 (ax ? b)e2 x





? 4.设 lim u n ? ?? ,则级数 ? ( 1 ? 1 ) n?? u n?1 n ?1 u n

[
u1

]

A.收敛于 0 C.发散

B.收敛于 1 D.敛散性不确定

评 阅 人 (签 名)

姓名

得 分

一、填空题题(本大题共 4

小题,每小题 4 分,共 16

分)

得 分

三、解答题(本大题共 6 小题,每小题 8

分,共 48

分)

? ? 1 ? ? ? ? 1. 已知 a, b 均为单位向量,且 a ? b ? 则以向量 a, b 为邻边的平行四边形面积等于 _____ . 2
2.曲面 z ? 2 x 2 ? 3 y 2 在点 ?1,0,2? 处的切平面方程为 __________ __________ ___ . {tc "………………"} 3.交换积分次序得:

1.设 z ? f (2 x ? 3 y, xy) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求全微分 dz 及

?2z . ?x?y

?

1 0

dy? y f ( x, y)dx ? __________ __________ ______ .
e

e

4.设 L : x 2 ? y 2 ? 4 ,则

? (x
L

2

? y 2 )ds ? __________ ___ .

………………………………………………………………………………………………………………………

学号





得 分

二、选择题(本大题共 4

小题,每小题 4 分,共 16

分)

1.设 ? ( x ? az, y ? bz) ? 0 确定了隐函数 z ? z ( x, y ) , ? (u, v) 可微,则 a A. a C. ? 1 2. 设 D:x ? y ? 1,
2 2

?z ?z ?b ? [ ?x ?y

]

2.计算二重积分

??
D

x 2 ? y 2 dxdy ,其中 D 是由曲线 x 2 ? y 2 ? 4 及 x 2 ? y 2 ? 2x 围成.

学号

B. b D. 1

f 是区域 D 上的连续函数,则 ?? f ( x 2 ? y 2 )dxdy ? [
D

]

A. 2? C. 2?

? ?

1 0 1 0

? f ( ? )d ?
f ( ? 2 )d ?

B. 4?

?

1 0

? f ( ? )d ?

班级

D. 4?

?

?
0

? f ( ? )d ?

学院

教研室

拟题人

校外

审核:教研室负责人

学院负责人

2014



6



22 日

常州大学考试命题用纸
3.设空间立体 ? 由曲面 z ?
2 2 2

考试科目

高等数学(一)

学时

考试用时

2 小时

(闭卷√ 开卷)

成绩

A卷



3 页,第

2



x ? y 与 z ? 2 ? x ? y 所围成,试求其体积.
2

5.求幂级数

? nx
n ?1

?

n

的收敛区间及和函数.

4. 设 f ( x, y ) 在区域 D :

x2 ? y 2 ? 1 上具有二阶连续偏导数,L 为取顺时针方向的椭圆周 4

6.将 f ( x) ?

1 展开成 x 的幂级数,指出展开式成立的区间, 3? x

x2 ? y 2 ? 1 ,计算曲线积分 ? L 4

?f ? ?f ? ? ? 3 y ? ?dx ? dy . ?x ? ?y ?

并由此计算级数

?6
n ?0

?

1
n

的和.

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22 日

常州大学考试命题用纸

考试科目

高等数学(一)

学时

考试用时

2 小时

(闭卷√ 开卷)

成绩

A卷



3 页,第

3



得 分

四、解答题(本大题共 1 小题,每小题 10 分,共 10

分)

得 分

五、解答题(本大题共 1 小题,每小题 10 分,共 10 分)

设函数 f ( x) 具有连续导数,且 f (1) ? 0 ,试求函数 f ( x), 求函数 z ? x 2 ? y 2 ? 12x ? 16y 在区域 x 2 ? y 2 ? 25 上的 最大值和最小值. 使得曲线积分

? ?ln x ? f ( x)? x dx ? f ( x)dy 在右半平面内与路径无关.
L

y

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常州大学考试命题用纸
高等数学(一)A 卷参考答案 一.填空题 ? 4? ? 4 ? 16??

考试科目

高等数学(一)

学时

考试用时
体积 V ? =

2 小时

(闭卷√ 开卷)

成绩

A卷



3 页,第

4



??? dv ? ?? ?
? D

2 ? x 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 dxdy
2

?

(4 分) (6 分) (8 分)

?

2? 0

d? ?

1 0

? 2??
?

? ? ?d?

?

3 1. 2
2. 3. 4.

= ?

4 3

?

2 ?1

4x ? z ? 2 ? 0

?

e 1

dx?

ln x 0

f ( x, y)dy

4.

16?

?

L

? ?2 f ?f ? ?f ?2 f ? ? ? ? = ? 3 y ? dx ? dy ? ? 3 ? ? ? ?? ? ?y?x ?dxdy ?x ? ?y ? x ? y ? ? D ?

(5 分)

二.单选题 ? 4? ? 4 ? 16?? 1. 2. 3. 4. D, A, A, B

=?3

?? dxdy
D

(6 分)

? ?6?

(8 分)

三.解答题 ?8? ? 6 ? 48?? ?z 1. = 2 f1? ? yf 2? , ?z =3 f1?? xf 2? ?x ?y

(4 分) (5 分) (8 分)

dz ? (2 f1? ? yf 2?)dx ? (3 f1? ? xf 2?)dy

n ?1 ?1 n ( - 1, 1) 收敛半径 R ? 1 ,收敛区间为
5. ? ? lim
x ??

(1 分) (3 分)

? 2 z = 2(3 f ?? ? xf ?? ) ? f ? ? y(3 f ?? ? xf ?? ) = f ? ? 6 f ?? ? (2 x ? 3 y) f ?? ? xyf ?? 11 12 2 21 22 2 11 12 22 ?x?y
?
2 ?

? nxn = x
n ?1 ?

?

? nx
n ?1

?

n ?1

(4 分)

2.

??
D

x ? y dxdy = ?
2 2

2? 0

d? ? ? d? ? ?
2 0

2

?
2

d? ?

2 cos? 0

? d?
2

(4 分) (6 分) (8 分)

=x(

? x n )?
n ?1

= x?

? x ? ? ?1? x ?

?
(6 分)

2? 3 2 16 2 ? 0 ? ? cos3 ?d? = 3 3 0 16? 32 ? = 3 9

?

=

x (1 ? x) 2

x ? (?1,1)

(8 分)

3. D : x ? y ? 1
2 2

(2 分)

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常州大学考试命题用纸
1 1 1 ? 6. f ( x ) ? x 3? x 3 1? 3
(2 分)

考试科目

高等数学(一)

学时

考试用时

2 小时

(闭卷√ 开卷)
y

成绩

A卷



3 页,第

5



因为曲线积分

? ?ln x ? f ( x)? x dx ? f ( x)dy 在右半平面内与路径无关,
L

所以, ? ln x ? f ( x ) ?

1 1 ln x ? f ?( x) ,即 f ?( x) ? f ( x) ? …….(4 分) x x x
?

1 ? ? x? = ?? ? 3 n ?0 ? 3 ?


n

(4 分)

1 1 dx ? ln x ? dx ? ? x 这是一阶线性方程,于是 f ( x) ? e e x dx ? C ? …….(6 分) ?? ? x ?

?3
n ?0

?

1
n ?1

xn

(5 分)

?

1 x

? ? ln xdx ? C ? …….(7 分)
C ,…….(8 分) x

= ln x ? 1 ? (6 分)
? n

x ? (?3,3)

因为 f (1) ? 0 ,所以 C ? 1 …….(9 分)

?6
n ?0

?

1
n

? 3?

1 ?1? ?1? 6 ? 3f ? ? ? n ?1 ? ? ? 2? ? 2? 5 n ?0 3

(8 分)

故 f ( x) ? ln x ? 1 ?

1 …….(10 分) x

? ?z ? 2 x ? 12 ? 0 ? ?x ? 6 ? ?x 四、 (10 分)令 ? 得? , .........(1分) ..........(3分) ? z y ? ? 8 ? ? ? 2 y ? 16 ? 0 ? ?y ?
因为 (6,?8) 不在圆内,所以,最大值及最小值在 x ? y ? 25 上取得。
2 2

作拉格朗日函数: L ? x ? y ?12x ? 16 y ? ? ( x ? y ? 25)........(5分)
2 2 2 2

? Lx ? 2 x ? 12 ? 2? x ? 0 ? 令 ? Ly ? 2 y ? 16 ? 2?t ? 0 .........(7分) 得: ? 2 2 ? L? ? x ? y ? 25 ? 0

?x ? 3 ? x ? ?3 ,? ..........(9分) ,因为 z?3,?4? ? ?75, z(?3,4) ? 125,所以最大值为 125,最小 ? ? y ? ?4 ? y ? 4
值为 ? 75 …………(10 分)

五、 (10 分)

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22 日


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