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江苏省2012届高考数学二轮复习教学案:第4讲 函数的实际应用


第4讲 函数的实际应用

1. 零点问题,在掌握二分法的解题步骤基础上,学会分析转化,能够把与之有关的问 题化归为方程零点问题. 2. 函数模型的实际应用问题,主要抓住常见函数模型的训练,如幂指对模型,二次函 数模型,数列模型,分段函数模型等,解答的重点是在信息整理和建模上. 3. 掌握解函数应用题的方法与步骤: (1) 正确地将实际问题转化为函数模型(建模)

; (2) 用相关的函数知识进行合理的设计,确定最佳的解题方案,进行计算与推理(解模);(3) 把 计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题,即对实际问题进行总结作答(检 验、作答).

1. 函数 f(x)=ex+x-2 的零点为 x0,则不小于 x0 的最小整数为________.

3?x 3a+2 2.关于 x 的方程? ?4? = 5-a 有负实根,则实数 a 的取值范围是________.

3.某工厂的产值月平均增长率为 p,则年平均增长率为________.

4.某人在 2009 年初贷款 m 万元,年利率为 x,从次年初开始偿还,每年偿还的金额都 是 n 万元,到 2012 年初恰好还清,则 n 的值是________.

? ?2-? ?2? ,x≤0, 【例 1】 已知直线 y=mx(m∈R)与函数 f(x)=? 1 ?2x +1,x>0
x 2

1

的图象恰有 3 个不

同的公共点,求实数 m 的取值范围.

【例 2】 某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、 右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地.当矩形温室的边 长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?

【例 3】 2014 年青奥会水上运动项目将在 J 地举行.截至 2010 年底,投资集团 B 在 J 地共投资 100 百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发.经调研,从 2011 年初到

2014 年底的四年间,B 集团预期可从三个方面获得利润:一是房地产项目,四年获得的利 润的值为该项目投资额(单位:百万元)的 20%;二是水上运动项目,四年获得的利润的值为 该项目投资额(单位:百万元)的算术平方根;三是旅游业,四年可获得利润 10 百万元. (1) B 集团的投资应如何分配,才能使这四年总的预期利润最大? (2) 假设从 2012 年起,J 地政府每年都要向 B 集团征收资源占用费,2012 年征收 2 百 万元, 以后每年征收的金额比上一年增加 10%.若 B 集团投资成功的标准是: 从 2011 年初到 2014 年底, 这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的 18%,问 B 集团投资是否成功?

【例 4】 已知函数 f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m. (1) 求 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值 h(t); (2) 是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

1 1. (2010· 浙江)已知 x0 是函数 f(x)=2x+ 的一个零点.若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+ 1-x ∞),则 f(x1)f(x2)________0.(填“>”或“<”). 2.(2011· 北京)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f(x)=

? x,x<A, ?c ? A,x≥A,

c

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品

时用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是________.

3.(2010· 浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元, 预测六月份销售额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售 总额与七、八月份销售总额相等,若一月至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小 值为________.

4.(2011· 重庆)设 m,k 为整数,方程 mx2-kx+2=0 在区间(0,1)内有两个不同的实根, 则 m+k 的最小值为________.

5.(2011· 山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中

间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80π 立方米,且 l≥2r.假设 3

该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形 部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (1) 写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2) 求该容器的建造费用最小时的 r.

6.(2011· 福建)某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量 y(单位: 千克)与销 售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= a +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数,已知销售 x-3

价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1) 求 a 的值; (2) 若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所 获得的利润最大.

(2011· 湖南)(本小题满分 12 分)如图,长方形物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向 作匀速移动,速度为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R).E 移动时单位时间内 的淋雨量包括两部分:(1) P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 1 1 成正比,比例系数为 ;(2) 其他面的淋雨量之和,其值为 ,记 y 为 E 移动过程中的总淋 10 2 3 雨量,当移动距离 d=100,面积 S= 时. 2 (1) 写出 y 的表达式; (2) 设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最少. 3 1 解析:(1) 由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为 |v-c|+ ,(2 分) 20 2 故 y= 1 5 100? 3 |v-c|+ ?= (3|v-c|+10). 2? v v ?20 (6 分)

5?3c+10? 5 (2) 由(1)知,当 0<v≤c 时,y= (3c-3v+10)= -15 v v 5?10-3c? 5 当 c<v≤10 时,y= (3v-3c+10)= +15. v v

10? -15,0<v≤c, ?5?3c+ v 故 y=? 5?10-3c? ? v +15,c<v≤10.

( 8 分)

10 3c ① 当 0<c≤ 时,y 是关于 v 的减函数.故当 v=10 时,ymin=20- . (10 分) 3 2 10 ② 当 <c≤5 时,在(0,c]上,y 是关于 v 的减函数;在(c,10]上,y 是关于 v 的增函数; 3 故当 v=c 时,ymin= 50 . (12 分) c 第 4 讲 函数的实际应用

1. 下列命题正确的是________(填所有正确命题的序号). ① 若 f(-x)=-f(2+x),则 f(x)的图象关于点(1,0)对称; ② 若 f(-x)=f(2+x),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③ 若 y=f(x+1)是奇函数,则 y=f(x)关于点(1,0)对称; ④ 若 y=f(x+1)是偶函数,则 y=f(x)关于直线 x=1 对称. 【答案】 ①②③④ 2. 已知二次函数 y=g(x)的导函数的图象与直线 y=2x 平行,且 y=g(x)在 x=-1 处取 g?x? 得最小值 m-1(m≠0).设函数 f(x)= . x (1) 若曲线 y=f(x)上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2,求 m 的值; (2) k(k∈R)取何值时,函数 y=f(x)-kx 存在零点,并求出零点. 解: (1) 设 g(x)=ax2+bx+c,a≠0 则 g′(x)=2ax+b; 又 g′(x)的图象与直线 y=2x 平行,∴ 2a=2,∴ a=1. b 又 g(x)在 x=-1 时取最小值,∴ - =-1,∴ b=2. 2 ∴ g(-1)=a-b+c=1-2+c=m-1,∴ c=m. g?x? m ∴ f(x)= =x+ +2.设 P(x0,y0), x x m ?2 m2 2 2 2 2 ? 则|PQ|2=x2 = 2x 0+(y0-2) =x0+ x0+x 0+ 2 +2m≥2 2m +2m. ? x0 0? ∴ 2 2m2+2m=2,∴ m= 2-1 或 m=- 2-1. m (2) 由 y=f(x)-kx=(1-k)x+ +2=0, x 得(1-k)x2+2x+m=0. (*) m m 当 k=1 时,方程(*)有一解 x=- ,函数 y=f(x)-kx 有一零点 x=- ; 2 2 当 k≠1 时,方程(*)有两解 =4-4m(1-k)>0.

若 m>0,k>1-

-2± 4-4m?1-k? 1 , 函 数 y = f(x) - kx 有 两 个 零 点 x = = m 2?1-k?

1± 1-m?1-k? -2± 4-4m?1-k? 1 ;若 m<0,k<1- ,函数 y=f(x)-kx 有两个零点 x= m k-1 2?1-k? 1± 1-m?1-k? = ; k-1 当 k≠1 时,方程(*)有一解 点 x= 1 . k-1 1 =4-4m(1-k)=0,k=1- , 函数 y=f(x)-kx 有一零 m

基础训练 1. 1 解析:f(0)<0,f(1)>0,x0∈(0,1). 3 ? 2. ? ?4,5? 3a+2 3 解析:由 >1,得 <a<5. 4 5-a

3. (1+p)12-1 4. m?1+x?3 m?1+x?3 解析:m(1+x)3=n(1+x)2+n(1+x)+n.n= 2 . 2 x +3x+3 x +3x+3

例题选讲 例 1 解:作出函数 f(x)的图象,可见要使直线 y=mx(m∈R)与函数 f(x)的图象恰有三 1 1 个不同的公共点,只要 y= x2+1(x>0)与直线 y=mx(m∈R)有两个交点,即 x2+1=mx 有 2 2 两个不等的正根,x2-2mx+2=0 有两个不等的正根,∴ 得 m> 2. 变式训练
?

{Δ=4m2-8>0,

>0, 解

?2 3 (2011· 北京)已知函数 f(x)=?x,x≥2, ?x-1? ,x<2, 若关于 x 的方程

f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________. 2 【答案】 (0,1) 解析:f(x)= (x≥2)单调递减且值域为(0,1],f(x)=(x-1)3(x<2)单调 x 递增且值域为(-∞,1),f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是(0,1). 800 例 2 解:设温室的长为 x m,则宽为 m.由已知得蔬菜的种植面积为 S m2: x 800 ? 1 600 S=(x-2)? ? x -4?=800-4x- x +8 400 400 x+ ?≤648(当且仅当 x= 即 x=20 时,取“=”). =808-4? x ? ? x 答:当矩形温室的边长分别为 20 m,40 m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是 648 m2. 变式训练 某学校拟建一块周长为 400 m 的操场如图所示, 操场的两头是半圆形, 中间 区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,试问如何 设计矩形的长和宽?

解:设中间区域矩形的长、宽分别为 x m、y m,中间的矩形区域面积为 S m2. πy πy 则半圆的周长为 m, 因为操场周长为 400 m, 所以 2x+2× =400, 即 2x+πy=400. 2 2 ∴ S=xy= 1 1 ?2x+πy?2 20 000 ·(2x)·(πy)≤ · = , 2π 2π ? 2 ? π +πy=400, 解得 ?x=100,
? ?

由 {2x=πy, 成立.



200 ? ?x=100, . π 当?

200 = π 时等号

200 答:设计矩形的长为 100 m,宽约为 (≈63.7)m 时,面积最大. π 例 3 解:(1) 设 B 集团用于水上运动项目的投资为 x 百万元,四年的总利润为 y 百万 元,由题意,y=0.2(100-x)+ x+10=-0.2x+ x+30,x∈[0,100]. 即 y=-0.2( x-2.5)2+31.25, x∈[0,10]. 所以当 x=2.5,即 x=6.25 时,ymax=31.25. 答:B 集团在水上运动项目投资 6.25 百万元,所获得的利润最大,为 31.25 百万元. (2) 由(1)知,在上缴资源占用费前,ymax=31.25,ymin=20. 由题意,从 2012 年到 2014 年,B 集团需上缴 J 地政府资源占用费共为 2(1+1.11+1.12)=6.62 百万元. 31.25+20 所以 B 集团这四年的预期利润中值为 -6.62=19.005. 2 19.005 由于 =19.005%>18%,所以 B 集团投资能成功. 100 答:B 集团在 J 地投资能成功. 注:若水上运动项目的利润改为该项目投资额的算术平方根的 k(k>0)倍,如何讨论? 例 4 解:(1) f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16. 当 t+1<4,即 t<3 时,f(x)在[t,t+1]上单调递增. h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7; 当 t≤4≤t+1,即 3≤t≤4 时,h(t)=f(4)=16; 当 t>4 时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,h(t)=f(t)=-t2+8t. 2 ,3≤t≤4, -t2+8t, t>4. 综上,h(t)={-t +6t+7,t<3, (2) 函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数 φ(x)=g(x) -f(x)的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点. ∵ φ(x)=x2-8x+6lnx+m,
2 6 2x -8x+6 2?x-1??x-3? ∴ φ′(x)=2x-8+ = = (x>0), x x x

当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;当 x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数; 当 x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;当 x=1 或 x=3 时,φ′(x)=0. ∴ φ(x)极大值=φ(1)=m-7,φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln3-15. ∵ 当 x 充分接近 0 时,φ(x)<0,当 x 充分大时,φ(x)>0. ∴ 要使 φ(x)的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须 {φ?x?极大值=m-7>0, ?x?极小值=m+6ln3-15<0, 即 7<m<15-6ln3. 所以存在实数 m,使得函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m 的取 值范围为(7,15-6ln3). 高考回顾

1. < 解析:f(x)在(1,+∞)单调递增,f(x0)=0,f(x1)<0,f(x2)>0. 2. 60,16 解析:由条件可知,x≥A 时所用时间为常数,所以组装第 4 件产品用时必然 c 60 满足第一个分段函数,即 f(4)= = =60,f(A)= = =16. 4 A 3. 20 解析:3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000,x≥20. 4. 13 解析: 设 f(x)=mx2-kx+2,则方程 mx2-kx+2=0 在区间(0,1)内有两个不同 的根等价于?f?0?f?1?>0,
? ?

k < <1, 2m

2

-8m>0, 因为 f(0)=2,所以 f(1)=m-k+2>

0,故抛物线开口向上,于是 m>0,0<k<2m,令 m=1,则由 k2-8m>0,得 k≥3,则 m k 3 k 5 > ≥ ,所以 m 至少为 2,但 k2-8m>0,故 k 至少为 5,又 m> ≥ ,所以 m 至少为 3, 2 2 2 2 又由 m>k-2=5-2,所以 m 至少为 4,?,依次类推,发现当 m=6,k=7 时,m,k 首 次满足所有条件,故 m+k 的最小值为 13. 80 4 80 5. 解:(1) 因为容器的体积为 π 立方米,所以 πr3+πr2l= π, 3 3 3 解得 l= 80 4 4?20 ? - r= 2 -r?, 3r2 3 3? r

由于 l≥2r,因此 0<r≤2, 4 20 ? 2 2 -r ×3+4πr c, 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr2c=2πr× ? ? 3? r 因此 y= 160π -8r2+4πcr2,定义域为(0,2]. r

8π[?c-2?r3-20] 160π (2) y′=- 2 -16r+8πcr= , r r2 3 20 20 由于 c>3,所以 c-2>0,当 r3= 时 r= , c-2 c-2 3 20 =m,则 m>0, c-2 8π?c-2? (r-m)(r2+mr+m2). r2



所以 y′=

9 ①当 0<m<2 即 c> 时, 2 当 r=m 时,y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时,y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点, 9 ②当 m≥2,即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上,当 3<c≤ 时,建造范围最小时 r=2; 2

3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c-2 a 6. 解:(1) 因为 x=5 时 y=11,所以 +10= 2 (2) 由(1)知该商品每日的销售量为 y= 获得的利润: 2 2 f(x)=(x-3)?x-3+10?x-6? ?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6; =2.

2 +10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所 x-3

?

?

f′(x)=10[(x-6) +2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),令 f′(x)=0 得 x=4. 函数 f(x)在(3,4)上递增,在(4,6)上递减,所以当 x=4 时函数 f(x)取得最大值 f(4)=42. 答:当销售价格 x=4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为 42 元.

2


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