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立体几何平行垂直的证明


平行、垂直的证法方法归纳总结
一、平行问题的证明方法 平行问题证明的基本思路:平面平行 ? 线面平行 ? 线线平行. 1.线线平行的证明方法: ①利用平面几何中的定理:三角形(或梯形)的中位线与底边平行; 平行四边形的对边平行; 利用比例、……; ②三线平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行; ③线面平行的性质定理:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面和

这个平面相交,则这条直线和 交线平行; ④面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行; ⑤线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2.线面平行的证明方法: ①线面平行的定义:直线与平面没有公共点; ②线面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行; ③面面平行的性质定理:两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。 3.面面平行的证明方法: ①面面平行的定义:两平面没有公共点; ②面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 ③平行于同一平面的两个平面平行 ④垂直于同一直线的两个平面平行 二、垂直问题的证明方法 垂直问题证明的基本思路:面面垂直 ? 线面垂直 ? 线线垂直. 1.线线垂直的证明方法: ①利用平面几何中的定理:勾股定理、等腰三角形,三线合一、菱形对角线、直径所对的圆周角是直角、点在 线上的射影。 ②线面垂直的定义:如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直; ③三垂线定理或三垂线逆定理:如果平面内的一条直线和斜线的射影垂直,则它和斜线垂直;反之亦成立。 ④如果两条平行线中的一条垂直于一条直线,则另一条也 垂直于这条直线。 2.线面垂直的证明方法: ①线面垂直的定义:直线与平面内任意直线都垂直; ②线面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③线面垂直的性质定理:两条平行直线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面; ④面面平行的性质定理:一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则必垂直于另一个平面; ⑤面面垂直的性质定理: 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3.面面垂直的证明方法: ①面面垂直的定义:两个平面的二面角是直二面角; ②面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个 平面互相垂直;
1

1.如图,四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形, ?PAD 为等腰三角形, ?APD ? 90 ,平面 PAD ? 平 面 ABCD ,且 AB ? 1, AD ? 2, E . F 分别为 PC 和 BD 的中点. (1)证明: EF / / 平面 PAD ; (2)证明:平面 PDC ? 平面 PAD ; (3)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.
A D F B P E C

2.已知某几何体的直观图与它的三视图,其中俯视图为正三角形,其它两个视图是矩形.已知 D 是这个几何体的 棱 A1C1 上的中点。 (1)求出该几何体的体积; (2)求证:直线 BC1 / /平面AB1D ; (3)求证:平面 AB1 D ? 平面AA 1D .
3 _
A B D C1

3 _

A1

B1

C

2

3.右图为一简单几何体,其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且 PD ? AD ? 2 EC =2 . (1)画出该几何体的三视图; (2)求四棱锥 B-CEPD 的体积; (3)求证: BE // 平面 PDA .
D C P

E

A

B

4.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD 垂直于底面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, DC / / AB, ?BAD ? 90? , 且 AB ? 2 AD ? 2 DC ? 2 PD ? 4 (单位: cm ), E 为 PA 的中点。 (1)如图,若正视方向与 AD 平行,请在下面(答题区)方框内作出该几何体的正视图并求出正视图面积; (2)证明: DE / / 平面 PBC ; (3)证明: DE ? 平面 PAB ;
E D A C B P

正视图

3

5.如图(1)是一个水平放置的正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , D 是棱 BC 的中点.正三棱柱的正(主)视图如图(2) ⑴求正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积; ⑵证明: A1 B // 平面ADC1 ; ⑶图 (1) 中垂直于平面 BCC1 B1 的平面有哪几个? (直 接写出符合要求的平面即可,不必说明或证明)
B1
图(1)

A1

A

A1

A

C1

C

3
B 1 (C 1 )

D B

3
图(2)

B (C )

6.一个三棱柱 ABC ? A1 B1C1 直观图和三视图如图所示(主视图、俯视图都是矩形,左视图是直角三角形) ,设 E 、 F 分别为 AA1 和 B1C1 的中点. C C1 (Ⅰ)求几何体 E ? B1C1CB 的体积; F (Ⅱ)证明: A1 F // 平面 EBC1 ; B B
1

(Ⅲ)证明:平面 EBC ? 平面 EB1C1 .

A

E

A1

3
主视图

1
左视图

俯视图 视图

2

4

7. 一个几何体的三视图如图 3 所示,其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形,俯视图为一 个矩形与它的一条对角线. (1)以 D 为空间直角坐标系的原点,点 C 在 x 轴的正半轴上,用斜二测画法画出这个几何体的直观图; (2)求该几何体的表面积; (3)在几何体直观图中,问在线段 PB 上是否存在点 M ,使得 PB ? 平面 MAC ?若存在,求线段 PM 的长,若 不存在,请说明理由.

8. 如图,已知 ?ABC 内接于圆 O , AB 是圆 O 的直径,四边形 DBCE 为平行四边形, EC ? 平面 ABC ,

AB ? 2 AC ? 2 , tan?DAB ?

3 . 2

E D
C

⑴设 F 是 CD 的中点,证明: OF // 平面 ADE ; ⑵求点 B 到平面 ADE 的距离; ⑶画出四棱锥 A ? BCED 的正视图(圆 O 在水平面, ABD 在正面,要求标明垂 直关系与至少一边的长) .
A

O

B

5

9.正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD , AE ? 平面 CDE ,且 AE ? 3 , AB ? 6 . (1)求证: AB ? 平面 ADE ; (2)求凸多面体 ABCDE 的体积. B A

C D

E

10. 如图 1,在直角梯形 ABCD 中 , ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 4, AD ? CD ? 2 . 将 ?ADE 沿 AC 折起 , 使平 面 ADE ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图2所示. (Ⅰ) 求证: BC ? 平面 ACD ; D (Ⅱ) 求几何体 D ? ABC 的体积. D C C

A 图1

B

A 图2

B

11.已知等腰三角形 PDCB 中(如图 1) ,PB=3,DC=1,PB=BC= 2 ,A 为 PB 边上一点,且 PA=1,将△PAD 沿 AD 折 起,使面 PAD⊥面 ABCD(如图 2). (Ⅰ)证明:平面 PAD⊥PCD; (Ⅱ)试在棱 PB 上确定一点 M,使截面 AMC 把几何体分成的两部分
VPDCMA :VMACB ? 2:1;

(Ⅲ)在 M 满足(Ⅱ)的情况下,判断直线 PD 是否平行面 AMC.

6


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