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2016届山东省山东师范大学附属中学高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题


山师附中 2013 级高三第一次模拟考试试题



学(理工农医类)
2015.9

本试卷共 5 页,分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分共 150 分。考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题

5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的. 1. 设 全 集 U ? ??1 , ? 2, ? 3, ? 4, 0? , 集 合 A ? ??1 , ? 2, 0?,B ? ?? ? 3, ? 4, 0? , 则

?CU A ??
A.

B ?
B.

?0?
2

??3, ?4?

C.

??1, ?2?

D. ?

2.已知 f ? x ? ? x , i 是虚数单位,则在复平面中复数 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

f ?1 ? i ? 对应的点在 3?i
D. 第四象限

3.设随机变量 ? 服从正态分布 N ? 0,1? ,若 P ?? ? 1? ? p ,则 P ? ?1 ? ? ? 0? ? A.

1 ?p 2

B. 1 ? p

C. 1 ? 2 p
2

D.

4.设 0 ? x ?

?
2

1 ?p 2

,则“ x sin x ? 1 ”是“ x sin x ? 1 ”的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 5. 设
?
0

k ? ? ? sin x ? cos x ? dx , 若

?1 ? kx ?

8

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ??? ? a8 x 8 , 则

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a8 ? ?
A. ?1 B.0 C.1

?
D.256

6.要得到函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?? ? ? 的图象,只需将函数 g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 的图象 3? 3? ?

? 个单位长度 2 ? C. 向左平移 个单位长度 4
A. 向左平移 7. 设函数 f ? x ? ? ?

? 个单位长度 2 ? D. 向右平移 个单位长度 4
B. 向右平移 若 f ? ?4? ? f ? 0? , f ? ?2? ? ?2 , 则关于 x 的 方程

? x 2 ? bx? c , x? 0, ?2, x ? 0.

第 1 页 共 11 页

f ? x ? ? x 的解的个数为
A.4 B.3 C.2 D.1 8.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人参加. 当甲乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻.那么不同的发言顺序的和数为 A.360 B.520 C.600 D.720 9.定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: f ? x ? ? f ? ? x ? ? 1, f ? 0? ? 4 ,则不等式 ex f ? x ? ? ex ? 3 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为 A. C.

? 0, ??? ? ??,0? ? ? 0, ???
uur uuu r

B. D.

? ??,0? ? ?3, ??? ?3, ???
uur uu u r uu u r uur uuu r uu u r uuu r

10. 已知向量 OA OA ? 2, OB ? 1, OP ? tOAOQ , ? ?1 ? t ? OB, PQ 在 t 0 与OB 的夹角为 ?, 时取得最小值.当 0 ? t0 ? A. ? 0,

1 时,夹角 ? 的取值范围是 5
C. ?

? ?

??
? 3?

B. ?

?? ? ? , ? ?3 2?

? ? 2? ? , ? ?2 3 ?

D. ? 0,

? ?

2? ? ? 3 ?

第 2 页 共 11 页

第 II 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已 知 数 列 ?an ? 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , a1 ? 2 , 且

a2 , a 4, a 8成等比数列.则数列 ?an ? 的通项公式为___________;
12.如图给出的是计算

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的程序框图, 2 4 6 2014

其中判断框内应填入的是_______.

? y ? 1, ? 13.已知实数 x , y 满足 ? y ? 2 x ? 1 , 如果目标函数 z ? x ? y 的最 ? x ? y ? m. ?
小值为 ?1, 则实数 m 等于_________. 14.已知 x ? 0, y ? 0 ,若 的取值范围是_______. 15. 已 知 函 数 f ? x ? ? 2 , g ? x ? ? x ? ax ( 其 中 a ? R ) 。对 于 不 相 等 的 实 数 x1 , x2 , 设
x 2

2 y 8x ? ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m x y

m?

f ? x1 ? ? f ? x g? x ? x 2? 1? ? g 2? ,现有如下命题: ,n ? x1 ? x 2 x 1? x 2

(1)对于任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 m ? ? ; (2)对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 n ? 0 ; (3)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? n ; (4)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? ?n 。 其中的真命题有_________(写出所有真命题的序号) 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知 m ? ? 2cos ? x ?

u r

? ?

? ?

??

r ? ? ?? ? ,cos x , n ? ? cos x, 2sin ? x ? ? ? ,且 ? ? 2? 2 ?? ? ?

函数 f ? x ? ? m ? n ? 1 (1)设方程 f ? x ? ?1 ? 0在? 0, ? ? 内有两个零点 x1 , x2 ,求 x1 ? x2 的值; (2)若把函数 y ? f ? x ? 的图像向左平移

u r r

? 个单位,再向下平移 2 个单位,得函数 g ? x ? 图 6

第 3 页 共 11 页

像,求函数 g ? x ? 在 ? ?

? ? ?? 上的单调增区间. , ? 2 2? ?

17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 是 a, b, c , 且

1 ac . 2 2 A?C ? cos 2 B 的值; (I)求 sin 2 (II)若 b=2,求 ?ABC 面积的最大值. a 2 ? c2 ? b2 ?
18. (本小题满分 12 分)在每场比赛之前,世界杯组委会都会指派裁判员进行执法.在某场 比赛前,有 10 名裁判可供选择,其中欧洲裁判 3 人,亚洲裁判 4 人,美洲裁判 3 人.若组委 会要从这 10 名裁判中任选 3 人执法本次比赛。求: (1)选出的欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数的概率; (2)选出的 3 人中,欧洲裁判人数 x 的分布列和数学期望。 19. (本小题满分 12 分)某高校自主招生选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确 回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰,已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题 的概率分别为

4 3 2 , , ,且各轮问题能否正确回答互不影响. 5 5 5

(I)求该同学被淘汰的概率; (II)该同学在选拔中回答问题的个数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望.

20. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数 f ? x ? ?

a x? b 在 点 ? ?1, f ? ? 1 ?? 的 切 线 方 程 为 x2 ? 1

x ? y ? 3 ? 0.
(I)求函数 f ? x ? 的解析式; (II)设 g ? x ? ? ln x,当x ??1, ??? 时,求证: g ? x ? ? f ? x ? ; (III)已知 0 ? a ? b ,求证:

ln b ? ln a 2a ? 2 . b?a a ? b2 a , g ? x ? ? 2 ln ? x ? m ? . x

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ?

(I)已知 m ? 0 ,若存在 x0 ? ? , e ? ,使 x0 f ? x0 ? ? g ? x0 ? ,求 a 的取值范围; e (II)已知 a ? m ? 1 , (1)求最大正整数 n,使得对任意 n ? 1 个实数 xi ?i ? 1,2, ???, n ?1?,当xi ??e ?1,2? 时,
第 4 页 共 11 页

?1 ?

? ?

都有

? f ? x ? ? 2014 g ? x ? 恒成立;
i ?1 i n ?1

n

( 2 ) 设 H? x ??

x ? f ? ?x

g x ? ? ? ?,在

的 图 H x象 上 是 否 存 在 不 同 的 两 点

?x ?x ? A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?? x1 ? x2 ? ?1? ,使得 H ? x1 ? ? H ? x2 ? ? H ? 1 2 ? ? x1 ? x2 ? . ? 2 ?

第 5 页 共 11 页

2013 级高三一模数学(理)参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、B 2、A 3、D 4、B 5、B 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、 an ? 2n 12、 i ? 2014 13、5 6、C 7、B 8、C 9、A 10、C

14、 ?4 ? m ? 2

15、 ①④

三、解答题:本大题共六小题,共 75 分。 16.解: (1)由题设知 f ( x) ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ?

2 cos( 2 x ?

?
4

) ? 2 ,???2 分

? f ( x) ? 1 ? 0,? 2 cos( 2 x ? ? 2x ?

?
4

) ? 2 ? 1 ,? cos(2 x ?

?
4

)??

2 ,???????3 分 2

?
4

? 2k? ?

得 x ? k? ?

?
4

3? ? 5? 或 2 x ? ? 2k? ? ,k ? Z 4 4 4

或 x ? k? ?

?

? x ? (0, ? ),? x1 ?

?
4

2

,????????????????????????5 分

2 ? (2) y ? f ( x) 图像向左平移 个单位,得 6 y? 2 cos[x 2? (

, x2 ?

?

,? x1 ? x 2 ?

3? .????????????????6 分 4

?

6

?) 4

?

? ] ?2

) ?????????8 分 12 ? ? 3 5 17 ? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? ? k? ? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z ?????9 分 2 12 2 24 24 19 7? 5 17 ? ? x ? ? ;当 k ? 0 时, ? ? x ? ? ??????????10 分 当 k ? ?1 时 ? 24 24 24 24 ? x ? [?

再向下平移 2 个单位得 g ( x) ? ? 2 sin( 2 x ?

?

2 c xo s ?( 2 ? 3 4

?

?

?

) ? ?2

x 2 s? i n ( 2? 12

?

)

2

? ?

? f ( x) 在 [ ?

? 7? 5 ? , ] 的增区间为 [? ,? ] , [ ? , ] .????????????12 分 2 2 2 24 24 2 2 2 2 17(Ⅰ)在△ABC 中,由余弦定理可知, a ? c ? b ? 2ac cos B ,由题意知
? ?
a2 ? c2 ? b2 ?

, ] 2 2

1 1 ac ,∴ cos B ? ;??????2 分 4 2

又在△ABC 中 A ? B ? C ? ? ,∴

sin 2

A?C ? ?B B 1 ? cos B ? cos 2 B ? sin 2 ? cos 2 B ? cos 2 ? cos 2 B ? ? 2 cos 2 B ? 1 2 2 2 2
cos B 1 1 A?C 1 ? ,又 cos B ? ,∴ sin 2 ? cos 2 B ? ? .??????6 分 4 2 2 2 4
1 1 ac 可知, a 2 ? c 2 ? 4 ? ac , 2 2
第 6 页 共 11 页

? 2 cos 2 B ?

2 2 2 (Ⅱ)∵b=2 ,∴由 a ? c ? b ?



1 8 ac ? 2ac ? 4 ,∴ ac ? ,????????8 分 2 3

∵ cos B ? ∴ S ?ABC ?

1 15 ,∴ sin B ? ??????10 分 4 4

1 1 8 15 15 . ac ? sin B ? ? ? ? 2 2 3 4 3
15 .??????????12 分 3

∴△ ABC 面积的最大值为

18.(Ⅰ)解:设“选出的 3 名裁判中欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数”为事件 A, “恰好选 出 1 名欧洲裁判和 2 名美洲裁判”为事件 A1“恰好选出 2 名欧洲裁判“为事件 A2, ” 恰好取出 3 名欧洲裁判”为事件 A3 由于事件 A1,A2,A3 彼此互斥,且 A=A1∪A2∪A3 而
P ( A1 )
2 7 3 C1 1 3 C3 ? , P(A2)=P(X=2)= 40 ,P(A3)=P(X=3)= , 3 40 120 C10

所以选出的 3 名裁判中欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
3 7 1 31 + + = 40 40 120 120

3 (Ⅱ)解:由于从 10 名裁判中任选 3 人的结果为 C10 ,从 10 名裁判中任取 3 人,其中 k 3? k 恰有 k 名欧洲裁判的结果数为 C3 C7 ,那么从 10 人任选 3 人,其中恰有 k 名欧洲裁判的概
7 率为 P(X=k)= C3 C ,k=0,1,2,3. 3 C10 k 3?k

所以随机变量 X 的分布列是 X P 0 1 2 3

7 24

21 40

7 40

3 120

X 的数学期望 EX= 0 ?

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? 24 40 40 120 10

19、解: (Ⅰ)记“该同学能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1, 2, 3) , 则 P( A1 ) ? 4 , P( A2 ) ? 3 , P( A3 ) ? 2 ,??????3 分 5 5 5 ∴该同学被淘汰的概率 P ? P( A1 ? A1 A2 ? A2 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 )P( A2 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )
? 1 4 2 4 3 3 101 .????????6分 ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 125

(Ⅱ)? 的可能值为 1,2,3,P(? ? 1) ? P( A1 ) ? 1 ,P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? 4 ? 2 ? 8 , 5 5 25 5
4 3 12 .??????8 分 P(? ? 3) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? 5 5 25
第 7 页 共 11 页

∴ ? 的分布列为

?
P

1

2

3

1 5
1 5

8 25

12 25
????????10分

∴ E? ? 1? ? 2 ?

8 12 57 ????????12分 ? 3? ? 25 25 25

20 解: (Ⅰ)将 x ? ?1 代入切线方程得 y ? ?2 , ∴ f (?1) ? 化简得 b ? a ? ?4 . f ?( x) ?

b?a ? ?2 ,????1 分 1?1

a( x 2 ? 1) ? (ax ? b) ? 2 x ,?????2 分 (1 ? x 2 ) 2

2a ? 2(b ? a) 2b b ? ? ? ?1 , 4 4 2 2x ? 2 解得: a ? 2, b ? ?2 .∴ f ( x) ? 2 . ????4 分 x ?1 2x ? 2 (Ⅱ)由已知得 ln x ? 2 在 [1,??) 上恒成立, x ?1 f ?(?1) ?
2 化简 ( x ? 1) ln x ? 2 x ? 2 ,即 x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1,??) 上恒成立.????5 分
2

设 h( x) ? x 2 ln x ? ln x ? 2 x ? 2 , h ?( x) ? 2 x ln x ? x ? ∵ x ?1 ∴ 2 x ln x ? 0,

1 ? 2 , ????7 分 x

x?

1 ? 2 ,即 h?( x) ? 0 , x

∴ h( x) 在 [1,??) 上 单 调 递 增 , h( x) ? h(1) ? 0 , ∴ g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上 恒 成 立 .????10分

b 2 ?2 b b (Ⅲ)∵ 0 ? a ? b , ∴ ? 1 ,由(Ⅱ)知有 ln ? a , ??12 分 a ( b )2 ? 1 a a ln b ? ln a 2a ln b ? ln a 2a 整理得 ,∴当 0 ? a ? b 时, . ????13 分 ? 2 ? 2 2 b?a b?a a ?b a ? b2
2 21:(I) xf ? x ? ? g ? x ? ? x ? a ? 2ln x ? a ? x ? 2ln x
2

令 h ? x ? ? x ? 2ln x
2

则 h ? x ? ? 2x ?
'

2 2 ? x ? 1?? x ? 1? ? ? x ? 0 ? ----------------------2 分 x x

第 8 页 共 11 页

?1 ? ? 当 x ? ? ,1? 时, h' ? x ? ? 0 ,当 x ? ?1, e ? 时, h' ? x ? ? 0 ------------------3 分 ?e ? ?1? 1 ?1? ? h ? ? ? 2 ? 2, h ? e ? ? e2 ? 2 ? h ? e ? ? h ? ? ?e? e ?e?

hmax ? x ? ? e2 ? 2,?a ? e2 ? 2 ----------------------------------------5 分
(II) (1)

? f ? x ? ? 2014 g ? x ?
i ?1 i n ?1

n

? n ? ? ? ? f ? xi ? ? ? ? 2014 g ? xn?1 ? ?min -------------------------6 分 ? i ?1 ?max

? f ? x ? , g ? x ? 均为增函数
1? 3 ? n ? ? ? ? ? f ? xi ? ? ? n ? 2 ? ? ? n ---------------------------7 分 2? 2 ? ? i ?1 ?max
? ? 2014 g ? xn ?1 ? ? ? min ? 2014 ? 2 ? 4028 ---------------------------------8 分

3 1 ? n ? 4028,? n ? 2685 ? 2 3 ? n 的最大值为 2685.-------------------------------------------------9 分
(2) H ? x ? ? 2ln ? x ?1? ? x ? a
2

H ' ? x? ?

2 ? 2x x ?1

ln ? x1 ? 1? ? ln ? x2 ? 1? ? H ? x1 ? ? H ? x2 ? 2 ? ? ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 x1 ? x2

?

x ?1 2 ln 1 ? ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 x2 ? 1

4 ?x ?x ? H' ? 1 2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? 1
原式 ?

x ?1 ? x ? 1? ? ? x2 ? 1? 1 2 x ?1 ln 1 ? ? ln 1 ?2 1 x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? x2 ? 1 x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? 1? ? ? x2 ? 1?



-------------------------------------------------------------------------12 分

第 9 页 共 11 页



x1 ? 1 ? t ? t ? ?1, ?? ? ? x2 ? 1 t ?1 2 ? ? ? 2 ?1 ? ? t ?1 ? t ?1 ?
2

①式 ln t ? 2 ?

令 u ? t ? ? ln t ?

4 ?2 t ?1

? t ? 1? ? 0 1 4 u ?t ? ? ? ? ?u ? t ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数 2 2 t ? t ? 1? t ? t ? 1?
'

?u ?t ? ? u ?1? ? 0 ?u ? t ? 无零点,故 A、B 两点不存在-------------------------------------14 分

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