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三角函数全套教案(教师版)


第1讲
【2013 年高考会这样考】

任意角、弧度制及任意角的三角函数

1.考查三角函数的定义及应用. 2.考查三角函数值符号的确定. 【复习指导】 从近几年的高考试题看, 这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新, 因此学习 中要立足基础,抓好对部分概念的理解.

基础梳理 1.任意角 (1)角的

概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角 终边与角 α 相同的角可写成 α +k?360°(k∈Z). (3)弧度制 ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α |= ,l 是 以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制,比值 与所取的 r 的大小无关,仅与角的 大小有关. ④弧度与角度的换算:360°=2π 弧度;180°=π 弧度. ⑤弧长公式:l=|α |r, 1 1 2 扇形面积公式:S 扇形= lr= |α |r . 2 2 2.任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r(r>0),那么 角 α 的正弦、余弦、正切分别是:sin α = ,cos α = ,tan α = ,它们都是以角为自 变量,以比值为函数值的函数. 3.三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P,过 P 作

l r

l r

y r

x r

y x

PM 垂直于 x 轴于 M,则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影.由三角函数的定义知,点 P 的坐标为
(cos_α ,sin_α ),即 P(cos_α ,sin_α ),其中 cos α =OM,sin α =MP,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A 点的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T,则 tan α =AT.我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α 的余弦线、正弦线、正切线.

三 角 函 数 线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 AT 为正切线

有向线段 OM 为 余弦线

一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (2)终边落 在 x 轴 上的角的集合 {β |β = kπ , k ∈Z}; 终边落 在 y 轴上的角的集 合
? ?β ? ? ? ?β ? ?



? π = +kπ ,k∈Z? ; 终 边 落 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为 2 ? ? ? ?. ? ?

?β =kπ ,k∈Z ? 2 ?

两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点, |OP|=r 一定是正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角,第一类 是象限角,第二类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必 须一致,不可混用. (3)注意熟记 0°~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题. 双基自测 9π 1.(人教 A 版教材习题改编)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 4

( A.2kπ +45°(k∈Z) C.k?360°-315°(k∈Z) 9 B.k?360°+ π (k∈Z) 4 5π D.kπ + (k∈Z) 4

).

9π 9 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ + π (k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用, 4 4 所以只有答案 C 正确. 答案 C 2.若 α =k?180°+45°(k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限 C.第二或第四象限 ).

B.第一或第二象限 D.第三或第四象限

解析 当 k=2m+1(m∈Z)时,α =2m?180°+225°=m?360°+225°,故 α 为第三象 限角; 当 k=2m(m∈Z)时,α =m?360°+45°,故 α 为第一象限角. 答案 A

3.若 sin α <0 且 tan α >0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角

). B.第二象限角 D.第四象限角

解析 由 sin α <0 知 α 是第三、四象限或 y 轴非正半轴上的角,由 tan α >0 知 α 是第 一、三象限角.∴α 是第三象限角. 答案 C 4.已知角 α 的终边过点(-1,2),则 cos α 的值为( A.- 5 2 5 2 5 1 B. C.- D.- 5 5 5 2 ).

-1 5 解析 由三角函数的定义可知,r= 5,cos α = =- . 5 5 答案 A 5.(2011?江西)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ =- 2 5 ,则 y=________. 5

解析 根据正弦值为负数且不为-1,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该 角为第四象限角,∴y<0,sin θ = 2 5 =- ? y=-8. 5 16+y
2

y

答案 -8

考向一 角的集合表示及象限角的判定 【例 1】? (1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π )内终边与 角的终边相同的角; 7 3 α (3)已知角 α 是第二象限角,试确定 2α 、 所在的象限. 2 [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断. π 解 (1)在(0,π )内终边在直线 y= 3x 上的角是 , 3 ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为
? ? ?α ? ?

?α =π +kπ ,k∈Z ? 3 ?

? ? ?. ? ?

6π θ 2π 2kπ (2)∵θ = +2kπ (k∈Z),∴ = + (k∈Z). 7 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ + <2π ? - ≤k< ,k∈Z. 7 3 7 7 θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π )内终边与 相同的角为 , , . 3 7 21 21 (3)∵α 是第二象限角, ∴k?360°+90°<α <k?360°+180°,k∈Z. ∴2k?360°+180°<2α <2k?360°+360°,k∈Z. ∴2α 是第三、第四象限角或角的终边在 y 轴非正半轴上. α ∵k?180°+45°< <k?180°+90°,k∈Z, 2 α 当 k=2m(m∈Z)时,m?360°+45°< <m?360°+90°; 2 当 k=2m+1(m∈Z)时,

m?360°+225°< <m?360°+270°;
α ∴ 为第一或第三象限角. 2 (1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角有无 数个,它们之间相差 360°的整数倍.

α 2

(2)角的集合的表示形式不是唯一的,如:终边在 y 轴非正半轴上的角的集合可以表示为
? ? ? π ?x?x=2kπ - 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 3π ,k∈Z?,也可以表示为?x?x=2kπ + ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ? ? ?. ? ?

【训练 1】 角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则( A.α =-β B.α =180°+β C.α =k?360°+β (k∈Z) D.α =k?360°±180°+β (k∈Z)

).

解析 对于角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则 α -β =k?360°±180°(k∈Z). ∴α =k?360°±180°+β (k∈Z). 答案 D 考向二 三角函数的定义 【例 2】? 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ = 的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值. [审题视点] 根据三角函数定义求 m,再求 cos θ 和 tan θ . 解 由题意得,r= 3+m ,∴ ∴m=± 5, 故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角,
2

2 m,试判断角 θ 所在 4

m
3+m

2



2 m,∵m≠0, 4

x - 3 6 ∴cos θ = = =- , r 2 2 4 y 5 15 tan θ = = =- . x - 3 3
当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角.

x - 3 6 y - 5 15 ∴cos θ = = =- ,tan= = = . r 2 2 4 x - 3 3
任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关, 而与角 α 终边上点 P 的位置无 关.若角 α 已经给出,则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置,角 α 的三角函数值都是 确定的. 【训练 2】 (2011?课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ =( 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 ).

解析 取终边上一点(a,2a),a≠0,根据任意角的三角函数定义,可得 cos θ =± 3 2 cos 2θ =2cos θ -1=- . 5 答案 B 考向三 弧度制的应用 【例 3】? 已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. [审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形,可得圆心角 α 的值;

5 ,故 5

(2)利用弧长公式可求得弧长,再利用扇形面积公式可得扇形面积,从而可求弓形的面积. 解 (1)由⊙O 的半径 r=10=AB,知△AOB 是等边三角形, π ∴α =∠AOB=60°= . 3 π (2)由(1)可知 α = ,r=10, 3 π 10π ∴弧长 l=α ?r= ?10= , 3 3 1 1 10π 50π ∴S 扇形= lr= ? ?10= , 2 2 3 3 1 10 3 1 10 3 50 3 而 S△AOB= ?AB? = ?10? = , 2 2 2 2 2 3? ?π ∴S=S 扇形-S△AOB=50? - ?. ?3 2 ? 弧度制下的扇形的弧长与面积公式, 比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁 得多,用起来也方便得多.因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式. 【训练 3】 已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? 解 设圆心角是 θ ,半径是 r,则 2r+rθ =40,

S= lr= r(40-2r)=r(20-r)≤? ?2=100. 2
当且仅当 r=20-r,即 r=10 时,Smax=100. ∴当 r=10,θ =2 时,扇形面积最大,即半径为 10,圆心角为 2 弧度时,扇形面积最大. 考向四 三角函数线及其应用 【例 4】? 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围.并由此写出角 α 的集合: (1)sin α ≥ 3 1 ; (2)cos α ≤- . 2 2

1 2

1 2

?20? ? ?

[审题视点] 作出满足 sin α = 终边的范围. 解

3 1 ,cos α =- 的角的终边,然后根据已知条件确定角 α 2 2

(1)作直线 y=

3 交单位圆于 A、B 两点,连接 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部 2

分)即为角 α 的终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为
? ? ?α ? ?

?2kπ +π ≤α ≤2kπ +2π ,k∈Z ? 3 3 ?

? ? ?. ? ?

1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部 2 分)即为角 α 终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为
? ? ?α ? ?

?2kπ +2π ? 3 ?

? ? 4 ≤α ≤2kπ + π ,k∈Z?. 3 ? ?

利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是: (1)用边界值定出角的终边位置; (2)根据不等式(组)定出角的范围; (3)求交集,找单位圆中公共的部分; (4)写出角的表达式. 【训练 4】 求下列函数的定义域: (1)y= 2cos x-1; (2)y=lg(3-4sin x).
2

1 解 (1)∵2cos x-1≥0,∴cos x≥ . 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).

π π? ? ∴定义域为?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 3 3? ? (2)∵3-4sin x>0, 3 2 ∴sin x< , 4 ∴- 3 3 <sin x< . 2 2
2

利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),

π π? ? ∴定义域为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 3 3? ?

规范解答 7——如何利用三角函数的定义求三角函数值 【问题研究】 三角函数的定义:设 α 是任意角,其终边上任一点 P(不与原点重合)的坐标 为(x,y),它到原点的距离是 r(r= x +y >0),则 sin α = 、cos α = 、tan α = 分 别是 α 的正弦、余弦、正切,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,这样的函 数称为三角函数,这里 x,y 的符号由 α 终边所在象限确定,r 的符号始终为正,应用定义 法解题时,要注意符号,防止出现错误.三角函数的定义在解决问题中应用广泛,并且有时 可以简化解题过程. 【解决方案】 利用三角函数的定义求三角函数值时,首先要根据定义正确地求得 x,y,r 的值;然后对于含参数问题要注意分类讨论. 【示例】? (本题满分 12 分)(2011?龙岩月考)已知角 α 终边经过点 P(x,- 2)(x≠0), 且 cos α = 3 x,求 sin α 、tan α 的值. 6
2 2

y r

x r

y x

只要确定了 r 的值即可确定角 α 经过的点 P 的坐标,即确定角 α 所在的象限, 并可以根据三角函数的定义求出所要求的值. [解答示范] ∵P(x,- 2)(x≠0), ∴P 到原点的距离 r= x +2,(2 分) 又 cos α = ∴cos α = 3 x, 6
2

x 3 = x, 2 x +2 6

∵x≠0,∴x=± 10,∴r=2 3.(6 分)

当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 由三角函数定义,有 sin α =- 6 5 ,tan α =- ;(9 分) 6 5

当 x=- 10时,P 点坐标为(- 10,- 2), ∴sin α =- 6 5 ,tan α = .(12 分) 6 5

当角的终边经过的点不固定时,需要进行分类讨论,特别是当角的终边在过坐标 原点的一条直线上时, 在根据三角函数定义求解三角函数值时, 就要把这条直线看做两条射 线,分别求解,实际上这时求的是两个角的三角函数值,这两个角相差 2kπ +π (k∈Z),

当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种情况. 4 【试一试】 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α +cos α + tan α . 5 3 [尝试解答] 取直线 3x+4y=0 上的点 P1(4,-3),则|OP1|=5,则 sin α =- ,cos α 5 4 3 = ,tan α =- , 5 4 4 3 4 4 ? 3? 故 sin α +cos α + tan α =- + + ??- ? 5 5 5 5 ? 4? 2 =- ; 5 取直线 3x+4y=0 上的点 P2(-4,3), 3 4 3 则 sin α = ,cos α =- ,tan α =- . 5 5 4 4 3 4 4 ? 3? 4 故 sin α +cos α + tan α = - + ??- ?=- . 5 5 5 5 ? 4? 5 4 2 4 综上,sin α +cos α + tan α 的值为- 或- . 5 5 5

第2讲
【2013 年高考会这样考】

同角三角函数的基本关系与诱导公式

1.考查同角三角函数的基本关系式. 2.考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用. 【复习指导】 本讲复习时应紧扣三角函数的定义, 理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式; 特别 是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻,可通过适量训练加强理解,掌握其规律.

基础梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin α +cos α =1; sin α (2)商数关系: =tan α . cos α 2.诱导公式 公式一:sin(α +2kπ )=sin α ,cos(α +2kπ )=cos_α ,其中 k∈Z. 公式二:sin(π +α )=-sin_α ,cos(π +α )=-cos_α , tan(π +α )=tan α . 公式三:sin(-α )=-sin_α ,cos(-α )=cos_α .
2 2

公式四:sin(π -α )=sin α ,cos(π -α )=-cos_α .

?π ? ?π ? 公式五:sin? -α ?=cos_α ,cos? -α ?=sin α . ?2 ? ?2 ? ?π ? ?π ? 公式六:sin? +α ?=cos_α ,cos? +α ?=-sin_α . 2 ? ? ?2 ?
π 诱导公式可概括为 k? ±α 的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号 2 看象限.其中的奇、偶是指 π 的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数 2

倍,则函数名称变为相应的余名函数;若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指把 α 看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号.

一个口诀 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 三种方法 在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α = 化成正、余弦. cos α (2)和积转换法:利用(sin θ ±cos θ ) =1±2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化. π 2 2 2 2 (3)巧用“1”的变换:1=sin θ +cos θ =cos θ (1+tan θ )=tan =?. 4 三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步 骤:去负-脱周-化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)已知 sin(π +α )= ,则 cos α 的值为( 2 1 A.± 2 C. 3 2 B. 1 2 3 2 ).
2

D.±

1 解析 ∵sin(π +α )=-sin α = , 2

1 3 2 ∴sin α =- .∴cos α =± 1-sin α =± . 2 2 答案 D 2.(2012?杭州调研)点 A(sin 2 011°,cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 ).

解析 2 011°=360°?5+(180°+31°), ∴sin 2 011°=sin[360°?5+(180°+31°)]=-sin 31°<0, cos 2 011°=cos[360°?5+(180°+31°)]=-cos 31°<0, ∴点 A 位于第三象限. 答案 C 4 3.已知 cos α = ,α ∈(0,π ),则 tan α 的值等于( 5 4 3 A. B. 3 4 4 3 C.± D.± 3 4 ).

3 sin α 3 2 解析 ∵α ∈(0,π ),∴sin α = 1-cos α = ,∴tan α = = . 5 cos α 4 答案 B

? 17π ?-sin?-17π ?的值是( 4.cos?- ? 4 ? 4 ? ? ? ? ?
A. 2 B.- 2 C.0 D. 2 2

).

? 17π ?=cos17π =cos?4π +π ?=cosπ = 2,sin?-17π ?=-sin17π =- 解析 cos?- ? ? 4 ? 4? 4 ? 4 4 2 4 ? ? ? ? ? ?
π? π 2 ? ? 17π ?-sin?-17π ?= 2+ 2= 2. sin?4π + ?=-sin =- .∴cos?- ? 4? 4 ? 4 ? 2 4 2 2 ? ? ? ? ? 答案 A 1 5.已知 α 是第二象限角,tan α =- ,则 cos α =________. 2 sin α 1 2 5 2 2 解析 由题意知 cos α <0, sin α +cos α =1, α = 又 tan =- .∴cos α =- . cos α 2 5 2 5 答案 - 5

考向一 利用诱导公式化简、求值

sin? π -α ? cos? 2π -α ? ?31π ?. 【例 1】? 已知 f(α )= ,求 f? ? ? 3 ? ?π +α ?tan? π +α ? sin? ? ?2 ? [审题视点] 先化简 f(α ),再代入求解. sin α cos α 解 f(α )= =cos α , cos α tan α ∴f?

?31π ?=cos31 π =cos?10π +π ?=cos π =1. ? ? ? 3? 3 3 2 ? 3 ? ?
(1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次数尽可能

低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. (2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了.

?π ? cos? +α ?sin? -π -α ? ?2 ? 【训练 1】已知角 α 终边上一点 P(-4,3), 则 的值为________. 11π 9π ? -α ?sin? +α ? cos? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?
? -sin α ? sin α y 3 解析 原式= =tan α ,根据三角函数的定义,得 tan α = =- . ? -sin α ? cos α x 4 3 答案 - 4 考向二 同角三角函数关系的应用 【例 2】? (2011?长沙调研)已知 tan α =2. 2sin α -3cos α 求:(1) ; 4sin α -9cos α (2)4sin α -3sin α cos α -5cos α . [审题视点] (1)同除 cos α ; (2)利用 1=sin α +cos α ,把整式变为分式,再同除 cos α . 2sin α -3cos α 2tan α -3 2?2-3 解 (1) = = =-1. 4sin α -9cos α 4tan α -9 4?2-9 4sin α -3sin α cos α -5cos α (2)4sin α -3sin α cos α -5cos α = 2 2 sin α +cos α
2 2 2 2 2 2 2 2 2

4tan α -3tan α -5 4?4-3?2-5 = = =1. 2 tan α +1 4+1 (1)对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α -cos α 这三个式子,已知其 中一个式子的值, 其余二式的值可求. 转化的公式为(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α ; (2)关于 sin α ,cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子. sin α +3cos α 2 【训练 2】 已知 =5.则 sin α -sin α cos α =________. 3cos α -sin α
2

2

tan α +3 解析 依题意得: =5,∴tan α =2. 3-tan α ∴sin α -sin α cos α =
2 2 2

sin α -sin α cos α 2 2 sin α +cos α

2

tan α -tan α 2 -2 2 = = 2 = . 2 tan α +1 2 +1 5 答案 2 5 考向三 三角形中的诱导公式 【例 3】? 在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π -B),求△ABC 的三个 内角. [审题视点] 要求三角形的内角,需求得某一内角的某一三角函数值,故结合条件 sin A+ cos A= 2知先求角 A,进而求其他角. 解 由已知可得

? π? 2sin?A+ ?= 2, 4? ?

π 因为 0<A<π ,所以 A= . 4 π 3 π 由已知可得 3cos A= 2cos B,把 A= 代入可得 cos B= ,又 0<B<π ,从而 B= , 4 2 6 π π 7π 所以 C=π - - = . 4 6 12 在△ABC 中常用到以下结论:sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A

? ? ? ? +B)=-tan C,sin? + ?=cos ,cos? + ?=sin . 2 2 ?2 2? ?2 2?
A B C A B C
【训练 3】 若将例 3 的已知条件“sin A+cos A= 2”改为“sin(2π -A)=- 2sin(π -B)”其余条件不变,求△ABC 的三个内角. 解 由条件得:-sin A=- 2sin B,即 sin A= 2sin B,

3cos A= 2cos B,平方相加得: sin A+3cos A=2? 2cos A=1,cos A=± 若 cos A=-
2 2 2

2 . 2

2 3 2 3 ,则 cos B=- ,A,B 均为钝角不可能.故 cos A= ,cos B= , 2 2 2 2

π π 7π 故 A= ,B= ,C= . 4 6 12

阅卷报告 3——忽视题设的隐含条件致误 【问题诊断】 涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时,应深挖隐含条件,处理 好开方、平方关系,避免出现增解与漏解的错误., 【防范措施】 一要考虑题设中的角的范围;二要考虑题设中的隐含条件 【示例】 若 sin θ , θ 是关于 x 的方程 5x -x+a=0(a 是常数)的两根, ∈(0, ), ? cos θ π 求 cos 2θ 的值. 7 错因 忽视隐含条件,产生了增解 . 25 1 实录 由题意知,sin θ +cos θ = , 5 ∴(sin θ +cos θ
2

) 2=

1 24 ,∴sin 2θ =- ,∵θ ∈(0, ), π ∴2θ ∈(0,2π ),∴cos 2θ 25 25

7 2 =± 1-2sin 2θ =± . 25 1 正解 由题意知,sin θ +cos θ = . 5 1 2 ∴(sin θ +cos θ ) = . 25 24 ∴sin 2θ =- . 25 24 即 2sin θ cos θ =- <0, 25

则 sin θ 与 cos θ 异号, 1 又 sin θ +cos θ = >0, 5 π 3π 3π ∴ <θ < ,∴π <2θ < . 2 4 2 7 2 故 cos 2θ =- 1-sin 2θ =- . 25 7 【试一试】 已知 sin θ +cos θ = ,θ ∈(0,π ),求 tan θ . 13 7 [尝试解答] ∵sin θ +cos θ = ,θ ∈(0,π ). 13 49 2 ∴(sin θ +cos θ ) =1+2sin θ cos θ = . 169

60 ∴sin θ cos θ =- . 169 7 60 12 5 2 由根与系数的关系知 sin θ , θ 是方程 x - x- =0 的两根, x1= , 2=- , cos ∴ x 13 169 13 13 60 又 sin θ cos θ =- <0,∴sin θ >0,cos θ <0, 169 12 5 ∴sin θ = ,cos θ =- . 13 13 sin θ 12 ∴tan θ = =- . cos θ 5

第3讲
【2013 年高考会这样考】

三角函数的图象与性质

1.考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用. 2.考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调 区间等问题中的应用. 【复习指导】 1.掌握正弦,余弦、正切三角函数的图象和性质,会作三角函数的图象.通过三角函数的 图象研究其性质. 2.注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用.

基础梳理 1.“五点法”描图 (1)y=sin x 的图象在[0,2π ]上的五个关键点的坐标为

?π ? ?3π ? (0,0),? ,1?,(π ,0),? ,-1?,(2π ,0). ?2 ? ? 2 ?
(2)y=cos x 的图象在[0,2π ]上的五个关键点的坐标为

?π ? ?3π ,0?,(2π ,1). (0,1),? ,0?,(π ,-1),? ? 2 ? ? ? 2 ?
2.三角函数的图象和性质 函数 性质

y=sin x

y=cos x

y=tan x

定义域

R

R

π {x|x≠kπ + ,k∈Z} 2

图象

值域

[-1,1] π 对称轴:x=kπ + (k 2

[-1,1] 对称轴:x=kπ (k∈ Z) 对称中心:

R

无对称轴 对称中心: ?

对称性

∈Z) 对称中心: (kπ ,0)(k∈Z)

?kπ ,0?(k∈ ? ? 2 ?
Z)

?kπ +π ,0? ? k∈Z? ? ? 2 ? ?

周期

2π 单调增区间



π

?2kπ -π ? 2 ?

,2kπ + 单调增区间[2kπ - π ,2kπ ](k∈Z);单 调减区间[2kπ ,2kπ +π ](k∈Z) 单调增区间

π? (k∈Z); 2? ? 单调性 单调减区间

?kπ -π ? 2 ?

,kπ +

?2kπ +π ? 2 ?

,2kπ +

π? (k∈Z) 2? ?

3π ? (k∈Z) 2 ? ? 奇偶性 奇 偶 奇

两条性质 (1)周期性 2π 函数 y=Asin(ω x+φ )和 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 , =tan(ω x+φ )的最小 y |ω | π 正周期为 . |ω | (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ω x 或 y=Atan ω x,而偶函数一般可化为 y=Acos ω x+b 的形式. 三种方法

求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式逐步分析 ω x+φ 的范围,根据正 弦函数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 双基自测

? π? 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=cos?x+ ?,x∈R( 3? ?
A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案 C 2.函数 y=tan?

).

?π -x?的定义域为( ? ?4 ?
,k∈Z?
? ? ? ? ? ? ? ?

).
? ? ? π B.?x?x≠2kπ - ,k∈Z 4 ? ? ? ? ? ? π D.?x?x≠2kπ + 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? π A.?x?x≠kπ - 4 ? ? ? ? ? ? π C.?x?x≠kπ + 4 ? ? ?

,k∈Z?

,k∈Z?

答案 A π? ? 3.(2011?全国新课标)设函数 f(x)=sin(ω x+φ )+cos(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?的 2? ? 最小正周期为 π ,且 f(-x)=f(x),则( ).

? π? A.f(x)在?0, ?单调递减 2? ? ?π 3π ? B.f(x)在? , ?单调递减 4 ? ?4 ? π? C.f(x)在?0, ?单调递增 2? ? ?π 3π ? D.f(x)在? , ?单调递增 4 ? ?4
π? ? 解析 f(x)=sin(ω x+φ )+cos(ω x+φ )= 2sin?ω x+φ + ?,由最小正周期为 π 得 4? ? π π π ω =2, 又由 f(-x) =f(x)可知 f(x)为偶函数, 因此 φ + =kπ + (k∈Z), 又|φ |< 4 2 2 π ? π? 可得 φ = ,所以 f(x)= 2cos 2x,在?0, ?单调递减. 2? 4 ?

答案 A

? π? 4.y=sin?x- ?的图象的一个对称中心是( 4? ?
A.(-π ,0)

).

? 3π ? B.?- ,0? ? 4 ? ?π ,0? ? ?2 ?

C.?

?3π ,0? ? ? 2 ?

D.?

π π 解析 ∵y=sin x 的对称中心为(kπ ,0)(k∈Z),∴令 x- =kπ (k∈Z),x=kπ + (k 4 4 3 ? π? ? 3π ? ∈Z),由 k=-1,x=- π 得 y=sin?x- ?的一个对称中心是?- ,0?. 4? 4 ? ? 4 ? 答案 B π? ? 5.(2011?合肥三模)函数 f(x)=cos?2x+ ?的最小正周期为________. 6? ? 2π 解析 T= =π . 2 答案 π

考向一 三角函数的定义域与值域 【例 1】? (1)求函数 y=lg sin 2x+ 9-x 的定义域. π? ? 2 (2)求函数 y=cos x+sin x?|x|≤ ?的最大值与最小值. 4? ? [审题视点] (1)由题干知对数的真数大于 0,被开方数大于等于零,再利用单位圆或图象求
2

x 的范围.
(2)将余弦化为正弦,再换元处理,转化为关于新元的一元二次函数解决.
? ?sin 2x>0, (1)依题意? 2 ? ?9-x ≥0



?kπ <x<kπ +π ,k∈Z, ? 2 ?? ?-3≤x≤3, ?

? ? ? π ? ?x?-3≤x<- 2 ? ? ?

? π? ,或0<x< ?. 2? ?

(2)设 sin x=t,则 t∈?-

? ?

2 2? , ?. 2 2?

2 2? ? ? 1?2 5 2 ∴y=1-sin x+sin x=-?t- ? + ,t∈?- , ?, ? 2? 4 2? ? 2

1 π 5 故当 t= ,即 x= 时,ymax= , 2 6 4 当 t=- 2 π 1- 2 ,即 x=- 时,ymin= . 2 4 2 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三 角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式,再求最值(值 域); ②形如 y=asin x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函数求值 域(最值); ③形如 y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x±cos x,化 为关于 t 的二次函数求值域(最值). 【训练 1】 (1)求函数 y= sin x-cos x的定义域. π? ? ? π? ? π? (2) 已 知 函 数 f(x) = cos ?2x- ? + 2sin ?x- ? ?sin ?x+ ? , 求 函 数 f(x) 在 区 间 3? 4? 4? ? ? ?
2

?-π ,π ?上的最大值与最小值. ? 12 2 ? ? ?
解 (1)要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π ] 上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示.

π 5π 在[0,2π ]内,满足 sin x=cos x 的 x 为 , ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2π , 4 4 所以定义域为
? ? ? π 5π ?x?2kπ + ≤x≤2kπ + 4 4 ? ? ?

,k∈Z?.
? ?

? ?

1 3 1 (2)由题意得:f(x)= cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)?(sin x+cos x)= cos 2x+ 2 2 2 π? 3 1 3 ? 2 2 sin 2x+sin x-cos x= cos 2x+ sin 2x-cos 2x=sin?2x- ?. 6? 2 2 2 ? π ? π 5π ? ? π π? 又 x∈?- , ?,∴2x- ∈?- , ?, 6 ? 6 ? 3 ? 12 2 ? π? ? 3 ? ? ∴sin?2x- ?∈?- ,1?. 6? ? 2 ? ?

π 故当 x= 时,f(x)取最大值 1; 3 π 3 当 x=- 时,f(x)取最小值- . 12 2 考向二 三角函数的奇偶性与周期性 π? 2? 【例 2】? (2011?大同模拟)函数 y=2cos ?x- ?-1 是( 4? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 ).

B.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为 的偶函数 2

[审题视点] 先化简为一个角的三角函数,再确定周期和奇偶性. π? π? 2π ? 2? 解析 y=2cos ?x- ?-1=cos?2x- ?=sin 2x 为奇函数,T= =π . 4? 2? 2 ? ? 答案 A 求解三角函数的奇偶性和周期性时,一般先要进行三角恒等变换,把三角函数式 化为一个角的一个三角函数,再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的 周期公式求解. 【训练 2】 已知函数 f(x)=(sin x-cos x)sin x, ∈R, f(x)的最小正周期是________. x 则 1-cos 2x 1 2 2 解析 由 f(x)=(sin x-cos x)sin x=sin x-sin xcos x= - sin 2x=- 2 2 2 π? 1 ? sin?2x+ ?+ . 4? 2 ? ∴最小正周期为 π . 答案 π 考向三 三角函数的单调性 【例 3】? 已知 f(x)=sin x+sin?

?π -x?,x∈[0,π ],求 f(x)的单调递增区间. ? ?2 ?

[审题视点] 化为形如 f(x)=Asin(x+φ )的形式,再求单调区间.

?π ? 解 f(x)=sin x+sin? -x? ?2 ? ? π? =sin x+cos x= 2sin?x+ ?. 4? ?
π π π 由- +2kπ ≤x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得:- +2kπ ≤x≤ +2kπ ,k∈Z, 4 4

? π? 又 x∈[0,π ],∴f(x)的单调递增区间为?0, ?. 4? ?
求形如 y=Asin(ω x+φ )+k 的单调区间时, 只需把 ω x+φ 看作一个整体代入

y=sin x 的相应单调区间内即可,若 ω 为负则要先把 ω 化为正数.
π? ? 【训练 3】 函数 f(x)=sin?-2x+ ?的单调减区间为______. 3? ? π? π? π? ? ? ? 解析 f(x)=sin?-2x+ ?=-sin?2x- ?,它的减区间是 y=sin?2x- ?的增区间. 3? 3? 3? ? ? ? π π π π 5π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z,得:kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z.故所求函数的 2 3 2 12 12 π 5π ? ? 减区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 12 12 ? ? π 5π ? ? 答案 ?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 12 12 ? ? 考向四 三角函数的对称性 π? ? 【例 4】? (1)函数 y=cos?2x+ ?图象的对称轴方程可能是( 3? ? π A.x=- 6 π B.x=- 12 π C.x= 6 π D.x= 12 ).

π π ? ? (2)若 0<α < ,g(x)=sin?2x+ +α ?是偶函数,则 α 的值为________. 4 2 ? ? [审题视点] (1)对 y=cos x 的对称轴为 x=kπ ,把“ω x+φ ”看作一个整体,即可求. π π (2)利用 +α =kπ + (k∈Z),求解限制范围内的 α . 4 2 π kπ π 解析 (1)令 2x+ =kπ (k∈Z),得 x= - (k∈Z), 3 2 6 π 令 k=0 得该函数的一条对称轴为 x=- .本题也可用代入验证法来解. 6 π π ? ? (2)要使 g(x)=cos?2x+ +α ?为偶函数,则须 +α =kπ 4 4 ? ? π π π π + ,k∈Z,α =kπ + ,k∈Z,∵0<α < ,∴α = . 2 4 2 4 π 答案 (1)A (2) 4 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是 中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. π? π ? 【训练 4】 (1)函数 y=2sin(3x+φ )?|φ |< ?的一条对称轴为 x= , φ =________. 则 2? 12 ?

(2)函数 y=cos(3x+φ )的图象关于原点成中心对称图形.则 φ =________. π 解析 (1)由 y=sin x 的对称轴为 x=kπ + (k∈Z), 2 π π 即 3? +φ =kπ + (k∈Z), 12 2 π 得 φ =kπ + (k∈Z), 4 π π 又|φ |< ,∴k=0,故 φ = . 2 4 (2)由题意,得 y=cos(3x+φ )是奇函数, π ∴φ =kπ + ,k∈Z. 2 π 答案 (1) 4 π (2)kπ + ,k∈Z 2

难点突破 9——利用三角函数的性质求解参数问题 含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,难度相对较大一些.正确利用三角函 数的性质解答此类问题, 是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的, 解答时通常将方程的 思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析. 一、根据三角函数的单调性求解参数 π? ? 【示例】 (2011?镇江三校模拟)已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?(ω >0)的单调递增区间为 ? 3? ?

?kπ -5π ,kπ +π ?(k∈Z),单调递减区间为?kπ +π ,kπ +7π ?(k∈Z),则 ω 的值为 ? ? 12 12? 12 12 ? ? ? ? ?
________.

二、根据三角函数的奇偶性求解参数 【示例】? (2011?泉州模拟)已知 f(x)=cos( 3x+φ )- 3sin( 3x+φ )为偶函数,则 φ 可以取的一个值为( π A. 6 π B. 3 π C.- 6 ). π D.- 3

▲根据三角函数的周期性求解参数(教师备选) π? π ? 【示例】 (2011?合肥模拟)若函数 y=sin ω x?sin?ω x+ ?(ω >0)的最小正周期为 , ? 2? 7 ? 则 ω =________.

▲根据三角函数的最值求参数(教师备选) π 【示例】? (2011?洛阳模拟)若函数 f(x)=asin x-bcos x 在 x= 处有最小值-2,则常 3 数 a、b 的值是( A.a=-1,b= 3 C.a= 3,b=-1 ). B.a=1,b=- 3 D.a=- 3,b=1

第4讲

正弦型函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及应用

【2013 年高考会这样考】 1.考查正弦型函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 2.结合三角恒等变换考查 y=Asin(ω x+φ )的性质及简单应用. 3.考查 y=sin x 到 y=A sin(ω x+φ )的图象的两种变换途径. 【复习指导】

本讲复习时,重点掌握正弦型函数 y=Asin(ω x+φ )的图象的“五点”作图法,图象的三 种变换方法,以及利用三角函数的性质解决有关问题.

基础梳理 1.用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示

x

0-φ ω 0 0

π -φ 2 ω π 2

π -φ ω π 0

3π -φ 2 ω 3π 2 -A

2π -φ ω 2π 0

ω x+φ

y=Asin(ω x+φ )

A

2.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象的步骤

3.当函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,x∈[0,+∞))表示一个振动时,A 叫做振幅,

T=

2π 1 叫做周期,f= 叫做频率,ω x+φ 叫做相位,φ 叫做初相. ω T

4.图象的对称性 函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下: π (1)函数 y=Asin(ω x+φ )的图象关于直线 x=xk(其中 ω xk+φ =kπ + ,∈Z)成轴对称 k 2 图形. (2)函数 y=Asin(ω x+φ )的图象关于点(xk,0)(其中 ω xk+φ =kπ ,∈Z)成中心对称图形. k

一种方法 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= 2π 期 T 确定,即由 =T 求出,φ 由特殊点确定. ω 一个区别

M-m
2

,k=

M+m
2

,ω 由周

由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ω x+φ )的图象,两种变换的区别:先相位变换再周 期变换(伸缩变换),平移的量是|φ |个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的 |φ | 量是 (ω >0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言,即 x 本身加减多 ω 少值,而不是依赖于 ω x 加减多少值. 两个注意 作正弦型函数 y=Asin(ω x+φ )的图象时应注意: (1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据 周期性作出整个函数的图象. 双基自测 π? ? 1.(人教 A 版教材习题改编)y=2sin?2x- ? 的振幅、频率和初相分别为( 4? ? 1 π A.2, ,- π 4 1 π C.2, ,- π 8 答案 A π? ? 2.已知简谐运动 f(x)=Asin(ω x+φ )?|φ |< ?的部分图象如图所示,则该简谐运动的最 2? ? 小正周期 T 和初相 φ 分别为( ). B.2, D.2, 1 π ,- 2π 4 1 π ,- 2π 8 ).

π A.T=6π ,φ = 6 π C.T=6,φ = 6

π B.T=6π ,φ = 3 π D.T=6,φ = 3

π ?π ? 解析 由题图象知 T=2(4-1)=6? ω = , 由图象过点(1,2)且 A=2, 可得 sin? ?1+φ ? 3 ?3 ? π π =1,又|φ |< ,得 φ = . 2 6 答案 C π 3.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的 2 解析式应为( ).

A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x

? π? 解析 由图象的平移得 g(x)=cos?x+ ?=-sin x. 2? ?
答案 A π? 4π ? 4.设 ω >0,函数 y=sin?ω x+ ?+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 3? 3 ? 的最小值是( 2 4 A. B. 3 3 解析 3 C. 2 ). D.3 π? 4π ? ? 4π ? π ? 个单位后得到 y1 =sin ?ω ?x- ?+ ? +2= 3 ? 3? 3 ? ?

y =sin ?ω x+ ? +2 向右平移 3

? ?

?

π 4π ? 4π ? sin?ω x+ - ω ?+2,又 y 与 y1 的图象重合,则- ω =2kπ (k∈Z). 3 3 ? 3 ? 3 ∴ω =- k.又 ω >0,k∈Z, 2 3 ∴当 k=-1 时,ω 取最小值为 ,故选 C. 2 答案 C 5.(2011?重庆六校联考)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0)的图象如图所示,则 ω = ________.

T 2 π π 4 2π 3 解析 由题意设函数周期为 T,则 = π - = ,故 T= π .∴ω = = . 4 3 3 3 3 T 2
答案 3 2

考向一 作函数 y=Asin(ω x+φ )的图象 π ? ? ?π ? 【例 1】 设函数 f(x)=cos(ω x+φ )?ω >0,- <φ <0?的最小正周期为 π , f? ?= ? 且 2 ? ? ?4? 3 . 2 (1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π ]上的图象. [审题视点] (1)由已知条件可求 ω ,φ ;

(2)采用“五点法”作图,应注意定义域[0,π ].

2π 解 (1)周期 T= =π ,∴ω =2, ω 3 ?π ? ? π ? ?π ? ∵f? ?=cos?2? +φ ?=cos? +φ ?=-sin φ = , 4 2 ?4? ? ? ?2 ? π π ∵- <φ <0,∴φ =- . 2 3 π? ? (2)由(1)知 f(x)=cos?2x- ?,列表如下: 3? ? π 2x- 3 - π 3 0 π 6 1 π 2 5 π 12 0 π 2 π 3 -1 3 π 2 11 π 12 0 5 π 3 π 1 2

x f(x)
图象如图:

0 1 2

(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线即可. (2)变换法作图象的关键看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用 ω x

? φ? +φ =ω ?x+ ?来确定平移单位. ? ω? ?1 π ? 【训练 1】 已知函数 f(x)=3sin? x- ?,x∈R. 4? ?2
(1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象? 解 (1)列表取值:

x

π 2

3 π 2

5 π 2

7 π 2

9 π 2

1 π x- 2 4

0 0

π 2 3

π 0

3 π 2 -3

2π 0

f(x)

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

π (2)先把 y=sin x 的图象向右平移 个单位,然后把所有的点的横坐标扩大为原来的 2 倍, 4 再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图象. 考向二 求函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式 【例 2】? (2011?江苏)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0)的部 分图象如图所示,则 f(0)的值是________.

[审题视点] 由最高、最低点确定 A,由周期确定 ω ,然后由图象过的特殊点确定 φ .

T 7π π π π 解析 由图可知: = 2, = - = , A 所以 T=2kπ +π , ∴φ =2kπ + , k=0, 令 4 12 3 4 3
2π π π ?π ? ω = =2,又函数图象经过点? ,0?,所以 2? +φ =π ,则 φ = ,故函数的解析 T 3 3 ?3 ? π? π 6 ? 式为 f(x)= 2sin?2x+ ?,所以 f(0)= 2sin = . 3? 3 2 ? 答案 6 2 解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定 A,h 的值,函数的 周期确定 ω 的值,再根据函数图象上的一个特殊点确定 φ 值. π 【训练 2】已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0, |< , >0)的图象的一部分如图所示. |φ ω 2

(1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程. 解 (1)观察图象可知:A=2 且点(0,1)在图象上,∴1=2sin(ω ?0+φ ), 1 即 sin φ = . 2 π π 11 ∵|φ |< ,∴φ = .又∵ π 是函数的一个零点,且是图象递增穿过 x 轴形成的零点, 2 6 12 11π π ∴ ω + =2π ,∴ω =2. 12 6 π? ? ∴f(x)=2sin?2x+ ?. 6? ? π (2)设 2x+ =B,则函数 y=2sin B 的对称轴方程为 6

B= +kπ ,k∈Z,
π π 即 2x+ = +kπ (k∈Z), 6 2 解上式得 x=

π 2


2



π (k∈Z), 6

π? kπ π ? ∴f(x)=2sin?2x+ ?的对称轴方程为 x= + (k∈Z). 6? 2 6 ? 考向三 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与性质的综合应用

【例 3】? (2012?西安模拟)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈R(其中 A>0,ω >0,0< π π φ < )的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上的一个最低点为 2 2

M?

?2π ,-2?. ? ? 3 ? ?π ,π ?时,求 f(x)的值域. ? ?12 2 ?

(1)求 f(x)的解析式; (2)当 x∈?

[审题视点] 先由图象上的一个最低点确定 A 的值, 再由相邻两个交点之间的距离确定 ω 的 值,最后由点 M 在图象上求得 φ 的值,进而得到函数的解析式;先由 x 的范围,求得 2x+

π 的范围,再求得 f(x)的值域. 6 解 (1)由最低点为 M?

?2π ,-2?,得 A=2. ? ? 3 ?

π T π 2π 2π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 ,得 = ,即 T=π ,所以 ω = = =2.由 2 2 2 T π 点 M?

?2π ,-2?在图象上,得 2sin?2?2π +φ ?=-2,即 sin?4π +φ ?=-1. ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ?

4π π 11π 故 +φ =2kπ - ,k∈Z,所以 φ =2kπ - (k∈Z). 3 2 6 π ? π? 又 φ ∈?0, ?,所以 φ = . 2? 6 ? π? ? 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+ ?. 6? ? π ?π 7π ? ?π π ? (2)因为 x∈? , ?,所以 2x+ ∈? , ?. 6 ? 6 ?3 ?12 2 ? π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 2 故函数 f(x)的值域为[-1,2]. 1 利用三角函数图象与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的 个最小正周 2 期,去求解参数 ω 的值,利用图象的最低点为三角函数最值点,去求解参数 A 的值等.在 求函数值域时,由定义域转化成 ω x+φ 的范围,即把 ω x+φ 看作一个整体. 【训练 3】 (2011?南京模拟)已知函数 y = Asin(ω x +φ )(A >0,ω >0)的图象过点

? ? ? ? P? ,0?,图象上与点 P 最近的一个最高点是 Q? ,5?.
π ?12

?

π ?3

?

(1)求函数的解析式; (2)求函数 f(x)的递增区间.

?π π ? 解 (1)依题意得:A=5,周期 T=4? - ?=π , ? 3 12?
2π ?π ? ∴ω = =2.故 y=5sin(2x+φ ),又图象过点 P? ,0?, π ?12 ? ∴5sin?

?π +φ ?=0, ? ?6 ?

π π 由已知可得 +φ =0,∴φ =- 6 6 π? ? ∴y=5sin?2x- ?. 6? ? π π π (2)由- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 6 2 π π 得:- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 6 3 π π? ? 故函数 f(x)的递增区间为:?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 6 3? ?

规范解答 8——怎样求解三角函数的最值问题 【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点.在求解中,一定要注意其定义域, 否则容易产生错误. (2)主要题型:①求已知三角函数的值域(或最值);②根据三角函数的值域(或最值)求相关 的参数;③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题. 【 解 决 方 案 】 ① 形 如 y = asin x + bcos x + c 的 三 角 函 数 , 可 通 过 引 入 辅 助 角

? φ ?cos φ = ?

a a +b
2

2

,sin φ =

? 2 2 ?,将原式化为 y= a +b ?sin(x+φ )+c 的形式 a +b ?
2 2 2

b

后,再求值域(或最值);②形如 y=asin x+bsin x+c 的三角函数,可先设 t=sin x,将 原式化为二次函数 y=at +bt+c 的形式,进而在 t∈[-1,1]上求值域(或最值);③形如 y =asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x±cos x,将原式化为 1 2 二次函数 y=± a(t -1)+bt+c 的形式,进而在闭区间 t∈[- 2, 2]上求最值. 2
2

? π? 【示例】? (本题满分 12 分)(2011?北京)已知函数 f(x)=4cos xsin ?x+ ?-1. 6 ? ?
(1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 6 4?
2π ? π π? 首先化为形如 y=Asin(ω x+φ )的形式,由 T= 求得:由 x∈?- , ?,求 ω ? 6 4? 得 ω x+φ 的范围,从而求得最值.

? π? [解答示范] (1)因为 f(x)=4cos xsin?x+ ?-1 6? ?
=4cos x? 1 ? 3 ? sin x+ cos x?-1 2 2 ? ?

= 3sin 2x+2cos x-1= 3 sin 2x+cos 2x π? ? =2sin?2x+ ?,(4 分) 6? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π .(6 分) π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ .(8 分) 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时, 6 2 6

2

f(x)取得最大值 2;(10 分)
π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1.(12 分) 6 6 6 解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函数, 如二次函 数等来解决. 5 3 ? π? 2 【试一试】 是否存在实数 a,使得函数 y=sin x+acos x+ a- 在闭区间?0, ?上的最 2? 8 2 ? 大值是 1?若存在,求出对应的 a 值?若不存在,试说明理由. 1 ?2 a 5 1 ? [尝试解答] y=-?cos x- a? + + a- , 2 ? 4 8 2 ? π 当 0≤x≤ 时,0≤cos x≤1,令 t=cos x,则 0≤t≤1, 2
2 ? 1 ?2 a 5 1 ∴y=-?t- a? + + a- ,0≤t≤1. ? 2 ? 4 8 2 2

当 0≤ ≤1,即 0≤a≤2 时,则当 t= ,即 cos x= 时. 2 2 2

a

a

a

ymax= + a- =1,解得 a= 或 a=-4(舍去).
4 8 当 <0,即 a<0 时,则当 t=0,即 cos x=0 时, 2

a2 5

1 2

3 2

a

ymax= a- =1,解得 a= (舍去).
当 >1,即 a>2 时,则当 t=1,即 cos x=1 时, 2

5 8

1 2

12 5

a

ymax=a+ a- =1,解得 a= (舍去).
3 综上知,存在 a= 符合题意. 2

5 8

3 2

20 13

第5讲

两角和与差的正弦、余弦和正切

【2013 年高考会这样考】 1. 考查利用两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值. 2.利用三角公式考查角的变换、角的范围. 【复习指导】 本讲复习应牢记和、 差角公式及二倍角公式, 准确把握公式的特征, 活用公式(正用、 逆用、 变形用、创造条件用);同时要掌握好三角恒等变换的技巧,如变换角的技巧、变换函数名 称的技巧等.

基础梳理 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α -β ):cos(α -β )=cos_α cos_β +sin_α sin_β ; (2)C(α +β ):cos(α +β )=cos_α cos_β -sin_α sin_β ; (3)S(α +β ):sin(α +β )=sin_α cos_β +cos_α sin_β ; (4)S(α -β ):sin(α -β )=sin_α cos_β -cos_α sin_β ; tan α +tan β (5)T(α +β ):tan(α +β )= ; 1-tan α tan β tan α -tan β (6)T(α -β ):tan(α -β )= . 1+tan α tan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α :sin 2α =2sin_α cos_α ; (2)C2α :cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tan α (3)T2α :tan 2α = . 2 1-tan α 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan_α tan_β ); 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 (2)cos α = ,sin α = ; 2 2 (3)1+sin 2α =(sin α +cos α ) 1-sin 2α =(sin α -cos α ) , π? ? sin α ±cos α = 2sin?α ± ?. 4? ? 4.函数 f(α )=acos α +bsin α (a,b 为常数),可以化为 f(α )= a +b sin(α +φ ) 或 f(α )= a +b cos(α -φ ),其中 φ 可由 a,b 的值唯一确定.
2 2 2 2 2, 2 2 2 2 2

两个技巧

α +β α -β (1)拆角、 拼角技巧: =(α +β )+(α -β ); =(α +β )-β ; = 2α α β - ; 2 2 β ? ?α α -β ? ? =?α + ?-? +β ?. 2? ?2 2 ? ? (2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等. 三个变化 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂 与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法 通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平 方”等. 双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)下列各式的值为 的是( 4 A.2cos
2

).
2

π -1 12

B.1-2sin 75° D.sin 15°cos 15°

2tan 22.5° C. 2 1-tan 22.5° 解析 2cos
2

π π 3 3 2tan 22.5° 2 -1=cos = ;1-2sin 75°=cos 150°=- ; = 2 12 6 2 2 1-tan 22.5°

1 1 tan 45°=1;sin 15°cos 15°= sin 30°= . 2 4 答案 D sin 2α 2.(2011?福建)若 tan α =3,则 的值等于( 2 cos α A.2 B.3 C.4 D.6 解析 sin 2α 2sin α cos α = =2tan a=2?3=6,故选 D. 2 2 cos α cos α ).

答案 D 2 3.已知 sin α = ,则 cos(π -2α )等于( 3 A.- 5 1 1 5 B.- C. D. 3 9 9 3 ).

4 1 2 2 解析 cos(π -2α )=-cos2α =-(1-2sin α )=2sin α -1=2? -1=- . 9 9 答案 B

?π ? 1 4.(2011?辽宁)设 sin? +θ ?= ,则 sin 2θ =( ?4 ? 3
7 1 1 7 A.- B.- C. D. 9 9 9 9

).

7 ?π ? ? ?1?2 2?π 解析 sin 2θ =-cos? +2θ ?=2sin ? +θ ?-1=2?? ? -1=- . 9 ?2 ? ?4 ? ?3? 答案 A 5.tan 20°+tan 40°+ 3tan 20° tan 40°=________. tan 20°+tan 40° 解析 ∵tan 60°=tan(20°+40°)= , 1-tan 20°tan 40° ∴tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)= 3- 3tan 20°?tan 40°, ∴原式= 3- 3tan 20°tan 40°+ 3tan 20°tan 40°= 3. 答案 3

考向一 三角函数式的化简 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 【例 1】? 化简 . π π ? ? 2? ? 2tan? -x?sin ? +x? ?4 ? ?4 ? [审题视点] 切化弦,合理使用倍角公式. 1 2 2 -2sin xcos x+ 2 解 原式= π π ? ? 2? ? 2sin? -x?cos ? -x? ?4 ? ?4 ? ?π ? cos? -x? ?4 ? 1 2 cos 2x 2 1 = = = cos 2x. ?π ? ?π ? ?π ? 2 2sin? -x?cos? -x? sin? -2x? 4 4 2 ? ? ? ? ? ? 1-sin 2x?
2

1 ? 2

三角函数式的化简要遵循“三看”原则: (1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式; (2)二看“函数名称”, 看函数名称之间的差异, 从而确定使用的公式; (3)三看“结构特征”, 分析结构特征,找到变形的方向. ? sin α +cos α -1? ? sin α -cos α +1? 【训练 1】 化简: sin 2α .

解 原式=

?2sinα cosα -2sin2α ??2sinα cosα +2sin2α ? ? 2 2 2 ?? 2 2 2? ? ?? ?
4sin α α cos cos α 2 2



?cosα -sin α ??cosα +sinα ?sinα ? ?? ? 2 2 ?? 2 2? 2 ?
α cos cos α 2 α cos α sin 2 α = =tan . α 2 cos cos α 2 考向二 三角函数式的求值



?cos2α -sin2α ?sinα ? 2 2? 2 ? ?
α cos cos α 2

β ? π 1 ? ?α ? 2 【例 2】? 已知 0<β < <α <π ,且 cos?α - ?=- ,sin? -β ?= ,求 cos(α + 2? 2 9 ? ?2 ? 3 β )的值. [审题视点] 拆分角: 弦. π 解 ∵0<β < <α <π , 2 π α π π β ∴- < -β < , <α - <π , 4 2 2 4 2 β ? ?α α +β ? ? =?α - ?-? -β ?,利用平方关系分别求各角的正弦、余 2? ?2 2 ? ?

?α ? ∴cos? -β ?= ?2 ?
β ? ? sin?α - ?= 2? ?

1-sin ?
2

?α -β ?= 5, ? 3 ?2 ?

β ? 4 5 2? 1-cos ?α - ?= , 2? 9 ?

β ? ?α α +β ?? ?? ∴cos =cos??α - ?-? -β ?? 2? ?2 2 ?? ?? β ? ?α β ? ?α ? ? ? ? =cos?α - ?cos? -β ?+sin?α - ?sin? -β ? 2? ?2 2? ?2 ? ? ? ? 5 4 5 2 7 5 ? 1? =?- ?? + ? = , 9? 3 9 3 27 ? ∴cos(α +β )=2cos
2

α +β 49?5 239 -1=2? -1=- . 2 729 729

三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知角表示: (1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差. (2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系.

4 1 ? π? 【训练 2】 已知 α ,β ∈?0, ?,sin α = ,tan(α -β )=- ,求 cos β 的值. 2? 5 3 ? π π ? π? 解 ∵α ,β ∈?0, ?,∴- <α -β < , 2? 2 2 ? 1 π 又∵tan(α -β )=- <0,∴- <α -β <0. 3 2 ∴ 1 10 2 =1+tan (α -β )= . 2 cos ? α -β ? 9

3 10 10 cos(α -β )= ,sin(α -β )=- . 10 10 4 3 又∵sin α = ,∴cos α = . 5 5 ∴cos β =cos[α -(α -β )] =cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β ) 3 3 10 4 ? 10 10? = ? + ??- ?= 10 . 5 10 5 ? 10 ? 考向三 三角函数的求角问题 1 13 π 【例 3】? 已知 cos α = ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < ,求 β . 7 14 2 [审题视点] 由 cos β =cos[α -(α -β )]解决. π π 13 解 ∵0<β <α < ,∴0<α -β < .又∵cos(α -β )= , 2 2 14 1 π ∵cos α = ,β <α < , 7 2 4 3 2 ∴sin α = 1-cos α = 7 ∴sin(α -β )= 1-cos ? α -β ? = ∴cos β =cos[α -(α -β )] =cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β ) 1 13 4 3 3 3 1 = ? + ? = . 7 14 7 14 2 π π ∵0<β < .∴β = . 2 3 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切
2

3 3 , 14

? π? 函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0, ?, 2? ?

? π π? 选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π ),选余弦较好;若角的范围为?- , ?,选正弦 ? 2 2?
较好.

? π π? 2 【训练 3】 已知 α ,β ∈?- , ?,且 tan α ,tan β 是方程 x +3 3x+4=0 的两个 ? 2 2?
根,求 α +β 的值. 解 由根与系数的关系得:tan α +tan β =-3 3,tan α tan β =4, ∴tan α <0,tan β <0,-π <α +β <0. tan α +tan β -3 3 又 tan(α +β )= = = 3. 1-tan α tan β 1-4 2π ∴α +β =- . 3 考向四 三角函数的综合应用 【例 4】? (2010?北京)已知函数 f(x)=2cos 2x+sin x.
2

?π ? (1)求 f? ?的值; ?3?
(2)求 f(x)的最大值和最小值. [审题视点] 先化简函数 y=f(x),再利用三角函数的性质求解. 2π ?π ? 2π 解 (1)f? ?=2cos +sin 3 3 ?3? 3 1 =-1+ =- . 4 4 (2)f(x)=2(2cos x-1)+(1-cos x) =3cos x-1,x∈R. ∵cos x∈[-1,1], ∴当 cos x=±1 时,f(x)取最大值 2; 当 cos x=0 时,f(x)取最小值-1. 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研 究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为 y=Asin(ω x+φ )的形式, 再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质. 【训练 4】 已知函数 f(x)=2sin(π -x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期;
2 2 2

? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 6 2?
解:f(x)=2sin xcos x=sin 2x

2π (1)f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π (2)∵- ≤x≤ , 6 2 π ∴- ≤2x≤π . 3 ∴- 3 ≤sin 2x≤1. 2 3 . 2

∴f(x)的最大值为 1,最小值为-

难点突破 10——三角函数求值、求角问题策略 面对有关三角函数的求值、化简和证明,许多考生一筹莫展,而三角恒等变换更是三角函数 的求值、求角问题中的难点和重点,其难点在于:其一,如何牢固记忆众多公式,其二,如 何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法. 一、给值求值 一般是给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变 角”,如 α =(α +β )-β ,2α =(α +β )+(α -β )等,把所求角用含已知角的式子表 示,求解时要注意角的范围的讨论. tan x ? π? 【示例】? (2011?江苏)已知 tan ?x+ ?=2,则 的值为________. 4? tan 2x ?

二、给值求角 “给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子 表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角. 1 1 【示例】? (2011?南昌月考)已知 tan(α -β )= ,tan β =- ,且 α ,β ∈(0,π ), 2 7 求 2α -β 的值.

▲三角恒等变换与向量的综合问题(教师备选) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具,是每年高考的必考内容,常在选择题中 以条件求值的形式考查. 近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中, 并且成为 高考的一个新考查方向. 【示例】? (2011?温州一模)已知向量 a=(sin θ ,-2)与 b=(1,cos θ )互相垂直,其

? π? 中 θ ∈?0, ?. 2? ?
(1)求 sin θ 和 cos θ 的值; π (2)若 5cos(θ -φ )=3 5cos φ ,0<φ < ,求 cos φ 的值. 2

第6讲
【2013 年高考会这样考】 1.考查正、余弦定理的推导过程.

正弦定理和余弦定理

2.考查利用正、余弦定理判断三角形的形状. 3.考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法. 【复习指导】 1.掌握正弦定理和余弦定理的推导方法. 2.通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换,解题过程中做到正余弦定理的优化 选择.

基础梳理 1.正弦定理: = = =2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以 sin A sin B sin C 变形为: (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; (3)sin A= ,sin B= ,sin C= 等形式,以解决不同的三角形问题. 2R 2R 2R 2.余弦定理:a =b +c -2bccos_A,b =a +c -2accos_B,c =a +b -2abcos_C.余弦 定理可以变形为:cos A=
2 2 2 2 2 2 2 2 2

a

b

c

a

b

c

b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 ,cos B= ,cos C= . 2bc 2ac 2ab

1 1 1 abc 1 3.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)?r(R 是三角形外接圆半径, 2 2 2 4R 2

r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r.
4.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知 a,b,A,则

A 为锐角

A 为钝角或直


图形

关系 式 解的 个数

a<bsin A

a=bsin A

bsin A<a<b

a≥b

a>b

a≤b

无解

一解

两解

一解

一解

无解

一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即 在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 两类问题 在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2)已知

两边及一边的对角, 求其它边或角. 情况(2)中结果可能有一解、 两解、 无解, 应注意区分. 余 弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角;(2)已知三边,求各角. 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则 c 等于( A.5 2 10 6 C. 3 解析 由 A+B+C=180°,知 C=45°, 由正弦定理得: 即 10 = , sin A sin C B.10 2 D.5 6 ).

a

c

c 10 6 = .∴c= . 3 3 2 2 2

答案 C sin A cos B 2.在△ABC 中,若 = ,则 B 的值为(

a

b

).

A.30°

B.45° C.60°

D.90°

解析 由正弦定理知: sin A cos B = ,∴sin B=cos B,∴B=45°. sin A sin B 答案 B 3.(2011?郑州联考)在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于( A.30° B.45° C.60° D.75° ).

解析 由余弦定理得:cos A= ∵0<A<π ,∴A=60°. 答案 C

b2+c2-a2 1+4-3 1 = = , 2bc 2?1?2 2

1 4.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= ,则△ABC 的面积为( 3 A.3 3B.2 3C.4 3 D. 3 1 解析 ∵cos C= ,0<C<π , 3

).

2 2 ∴sin C= , 3 1 ∴S△ABC= absin C 2 1 2 2 = ?3 2?2 3? =4 3. 2 3 答案 C 5.已知△ABC 三边满足 a +b =c - 3ab,则此三角形的最大内角为________. 解析 ∵a +b -c =- 3ab, ∴cos C=
2 2 2 2 2 2

a2+b2-c2 3 =- , 2ab 2

故 C=150°为三角形的最大内角. 答案 150°

考向一 利用正弦定理解三角形 【例 1】? 在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°.求角 A,C 和边 c. [审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要 注意解的判断.

a b 3 2 解 由正弦定理得 = , = , sin A sin B sin A sin 45°
∴sin A= 3 . 2

∵a>b,∴A=60°或 A=120°. 当 A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,

bsin C 6+ 2 c= = ; sin B 2
当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,

bsin C 6- 2 c= = . sin B 2
(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即 可. (2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角, 这是解题的难点,应引起注意.

【训练 1】 (2011?北京)在△ABC 中,若 b=5,∠B=

π ,tan A=2,则 sin A=________; 4

a=________.
解析 因为△ABC 中,tan A=2,所以 A 是锐角, sin A 2 2 且 =2,sin A+cos A=1, cos A 2 5 联立解得 sin A= , 5 再由正弦定理得 = , sin A sin B

a

b

代入数据解得 a=2 10. 答案 2 5 5 2 10 考向二 利用余弦定理解三角形 cos B b 【例 2】? 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 =- . cos C 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. cos B b [审题视点] 由 =- ,利用余弦定理转化为边的关系求解. cos C 2a+c 解 (1)由余弦定理知:cos B=

a2+c2-b2 , 2ac

a2+b2-c2 cos C= . 2ab
cos B b 将上式代入 =- 得: cos C 2a+c

a2+c2-b2 2ab b ? 2 , 2 2=- 2ac a +b -c 2a+c
整理得:a +c -b =-ac. ∴cos B=
2 2 2

a2+c2-b2 -ac 1 = =- . 2ac 2ac 2

2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π . 3 (2)将 b= 13,a+c=4,

B= π 代入 b2=a2+c2-2accos B,
得 b =(a+c) -2ac-2accos B,
2 2

2 3

? 1? ∴13=16-2ac?1- ?,∴ac=3. ? 2?
1 3 3 ∴S△ABC= acsin B= . 2 4 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的 关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用. 【训练 2】 (2011?桂林模拟)已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a,b,

A c,且 2cos2 +cos A=0.
2 (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积. 解 (1)由 2cos +cos A=0, 2 得 1+cos A+cos A=0, 1 即 cos A=- , 2 2π ∵0<A<π ,∴A= . 3 (2)由余弦定理得,
2

A

a2=b2+c2-2bccos A,A=
则 a =(b+c) -bc, 又 a=2 3,b+c=4, 有 12=4 -bc,则 bc=4, 1 故 S△ABC= bcsin A= 3. 2
2 2 2

2π , 3

考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状 【例 3】? 在△ABC 中,若(a +b )sin(A-B)=(a -b )sin C,试判断△ABC 的形状. [审题视点] 首先边化角或角化边,再整理化简即可判断. 解 由已知(a +b )sin(A-B)=(a -b )sin C, 得 b [sin(A-B)+sin C]=a [sin C-sin(A-B)], 即 b sin Acos B=a cos Asin B, 即 sin Bsin Acos B=sin Acos Bsin B,所以 sin 2B=sin 2A, 由于 A,B 是三角形的内角. 故 0<2A<2π ,0<2B<2π .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

故只可能 2A=2B 或 2A=π -2B, π 即 A=B 或 A+B= . 2 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 判断三角形的形状的基本思想是;利用正、余弦定理进行边角的统一.即将条件 化为只含角的三角函数关系式, 然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式; 或将条件化 为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系. 【训练 3】 在△ABC 中,若 = = ;则△ABC 是( cos A cos B cos C A.直角三角形 C.钝角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形

a

b

c

).

解析 由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆半径). sin A sin B sin C ∴ = = . cos A cos B cos C 即 tan A=tan B=tan C,∴A=B=C. 答案 B 考向三 正、余弦定理的综合应用 π 【例 3】? 在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC 的面积. [审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于 a,b 的方程,通过方程组 求解;第(2)问根据 sin C+sin(B-A)=2sin 2A 进行三角恒等变换,将角的关系转换为边 的关系,求出边 a,b 的值即可解决问题. 解 (1)由余弦定理及已知条件,得 a +b -ab=4.
?a +b -ab=4, ? 1 又因为△ABC 的面积等于 3, 所以 absin C= 3, ab=4, 得 联立方程组? 2 ? ?ab=4,
2 2 2 2

解得?

? ?a=2, ?b=2. ?

(2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A, 即 sin Bcos A=2sin Acos A. π π 当 cos A=0,即 A= 时,B= , 2 6

a=

4 3 2 3 ,b= ; 3 3

当 cos A≠0 时,得 sin B=2sin A, 由正弦定理,得 b=2a. 联立方程组?
? ?a +b -ab=4, ?b=2a, ?
2 2

?a=2 3 3, ? 解得? ?b=4 3 3. ?
1 2 3 所以△ABC 的面积 S= absin C= . 2 3 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立,通过这些等式就可 以把有限的条件纳入到方程中, 通过解方程组获得更多的元素, 再通过这些新的条件解决问 题. 【训练 3】 (2011?北京西城一模)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 4 cos B= ,b=2. 5 (1)当 A=30°时,求 a 的值; (2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值. 4 3 解 (1)因为 cos B= ,所以 sin B= . 5 5

a b a 10 由正弦定理 = ,可得 = , sin A sin B sin 30° 3
5 所以 a= . 3 1 3 (2)因为△ABC 的面积 S= ac?sin B,sin B= , 2 5 3 所以 ac=3,ac=10. 10 由余弦定理得 b =a +c -2accos B, 8 2 2 2 2 2 2 得 4=a +c - ac=a +c -16,即 a +c =20. 5 所以(a+c) -2ac=20,(a+c) =40. 所以 a+c=2 10.
2 2 2 2 2

阅卷报告 4——忽视三角形中的边角条件致错

【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大, 但稍不注意, 会出现“会而不对, 对而不全”的情况,其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】 解三角函数的求值问题时,估算是一个重要步骤,估算时应考虑三角形中的 边角条件. 【示例】? (2011?安徽)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3,b = 2,1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高. 错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理,产生了增根. 实录 由 1+2cos(B+C)=0, 1 π 知 cos A= ,∴A= , 2 3 根据正弦定理 = 得: sin A sin B sin B=

a

b

bsin A 2 π 3π = ,∴B= 或 . a 2 4 4

以下解答过程略. 正解 ∵在△ABC 中,cos(B+C)=-cos A, π ∴1+2cos(B+C)=1-2cos A=0,∴A= . 3 在△ABC 中,根据正弦定理 ∴sin B= = , sin A sin B

a

b

bsin A 2 = . a 2

π 5 ∵a>b,∴B= ,∴C=π -(A+B)= π . 4 12 ∴sin C=sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A = 2 1 2 3 6+ 2 ? + ? = . 2 2 2 2 4 6+ 2 3+1 = . 4 2

∴BC 边上的高为 bsin C= 2?

【试一试】 (2011?辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B +bcos A= 2a. (1)求 ; (2)若 c =b + 3a ,求 B. [尝试解答] (1)由正弦定理得,
2 2 2 2

b a

sin Asin B+sin Bcos A= 2sin A,即 sin B(sin A+cos A)= 2sin A. 故 sin B= 2sin A,所以 = 2. ? 1+ 3? 2 2 2 (2)由余弦定理和 c =b + 3a ,得 cos B= 2c 由(1)知 b =2a ,故 c =(2+ 3)a . 1 2 2 可得 cos B= ,又 cos B>0,故 cos B= ,所以 B=45°. 2 2
2 2 2 2 2 2

2

2

b a

a

.

第7讲
【2013 年高考会这样考】

正弦定理、余弦定理应用举例

考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题. 【复习指导】 1.本讲联系生活实例,体会建模过程,掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本 方法. 2.加强解三角形及解三角形的实际应用,培养数学建模能力.

基础梳理 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如 图(1)).

(2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α (如图(2)). (3)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30°,北偏西 45°,西偏东 60°等. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.

一个步骤 解三角形应用题的一般步骤: (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 两种情形 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余 弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出 这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个 三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的同侧河岸 边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出 A,

B 两点的距离为(

).

A.50 2 m

25 2 B.50 3 m C.25 2 m D. m 2 = ,又∵B=30° sin∠ACB sin B

解析 由正弦定理得

AB

AC

2 50? 2 AC?sin∠ACB ∴AB= = =50 2(m). sin B 1 2 答案 A 2.从 A 处望 B 处的仰角为 α ,从 B 处望 A 处的俯角为 β ,则 α ,β 的关系为( A.α >β B.α =β D.α +β =180° ).

C.α +β =90°

解析 根据仰角与俯角的定义易知 α =β .

答案 B 3. 若点 A 在点 C 的北偏东 30°, B 在点 C 的南偏东 60°, AC=BC, 点 且 则点 A 在点 B 的( A.北偏东 15° C.北偏东 10° B.北偏西 15° D.北偏西 10° ).

解析 如图.

答案 B 4.一船向正北航行,看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航 行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这艘船的速 度是每小时( A.5 海里 C.10 海里 解析 ). B.5 3海里 D.10 3海里

如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而

CD=CA=10(海里),

在 Rt△ABC 中,得 AB=5(海里), 于是这艘船的速度是 答案 C 5.海上有 A,B,C 三个小岛,测得 A,B 两岛相距 10 海里,∠BAC=60°,∠ABC=75°, 则 B,C 间的距离是________海里. 解析 由正弦定理,知 = sin 60° sin? 答案 5 6 5 =10(海里/时). 0.5

BC

AB
180°-60°-75°?

.解得 BC=5 6(海里).

考向一 测量距离问题

【例 1】? 如图所示,

为了测量河对岸 A, 两点间的距离, B 在这岸定一基线 CD, 现已测出 CD=a 和∠ACD=60°, ∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,试求 AB 的长. [审题视点] 在△BCD 中,求出 BC,在△ABC 中,求出 AB. 解 在△ACD 中,已知 CD=a,∠ACD=60°,∠ADC=60°,所以 AC=a.∵∠BCD=30°, ∠BDC=105°∴∠CBD=45° 在△BCD 中,由正弦定理可得 BC=

asin 105°
sin 45°



3+1 a. 2

在△ABC 中,已经求得 AC 和 BC,又因为∠ACB=30°,所以利用余弦定理可以求得 A,B 两 点之间的距离为 AB= AC +BC -2AC?BC?cos 30°=
2 2

2 a. 2

(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角 形的模型.(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解. 【训练 1】 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯 塔的塔顶,测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°,30°,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°, =0.1 km.试探究图中 B、 间距离与另外哪两点间距离相等, AC D 然后求 B,D 的距离.

解 在△ACD 中, DAC=30°, ADC=60°-∠DAC=30°, ∠ ∠ 所以 CD=AC=0.1 km.又∠BCD =180°-60°-60°=60°,故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA. 又∵∠ABC=15° 在△ABC 中, = , sin∠BCA sin∠ABC 所以 AB=

AB

AC

ACsin 60° 3 2+ 6
sin 15° = 20

(km),

3 2+ 6 同理,BD= (km). 20

3 2+ 6 故 B、D 的距离为 km. 20 考向二 测量高度问题 【例 2】? 如图,山脚下有一小塔 AB,在塔底 B 测得山顶 C 的仰角为 60°,在山顶 C 测得塔 顶 A 的俯角为 45°,已知塔高 AB=20 m,求山高 CD.

[审题视点] 过点 C 作 CE∥DB,延长 BA 交 CE 于点 E,在△AEC 中建立关系. 解 如图,设 CD=x m, 则 AE=x-20 m,

tan 60°= , ∴BD=

CD BD

x 3 = = x (m). tan 60° 3 3
3 x, 3

CD

在△AEC 中,x-20=

解得 x=10(3+ 3) m.故山高 CD 为 10(3+ 3) m. (1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念; (2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理. 【训练 2】 如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测 点 C 与 D,现测得∠BCD=α ,∠BDC=β ,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ ,求塔 高 AB.

解 在△BCD 中,∠CBD=π -α -β ,

由正弦定理得 = , sin∠BDC sin∠CBD 所以 BC=

BC

CD

CDsin∠BDC s?sin β = sin∠CBD sin? α +β ?

stan θ sin β 在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB= . sin? α +β ?
考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 【例 3】 如图所示, ? 在梯形 ABCD 中, ∥BC, =5, =9, BCA=30°, ADB=45°, AD AB AC ∠ ∠ 求 BD 的长.

[审题视点] 由于 AB=5,∠ADB=45°,因此要求 BD,可在△ABD 中,由正弦定理求解,关 键是确定∠BAD 的正弦值.在△ABC 中,AB=5,AC=9,∠ACB =30°, 因此可用正弦定理求出 sin∠ABC, 再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定 sin∠BAD 即可. 解 在△ABC 中,AB=5,AC=9,∠BCA=30°. 由正弦定理,得 sin∠ABC= = , sin∠ACB sin∠ABC

AB

AC

AC?sin∠BCA 9sin 30° 9 = = . AB 5 10

∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC, 于是 sin∠BAD=sin∠ABC= 9 . 10

9 同理,在△ABD 中,AB=5,sin∠BAD= , 10 ∠ADB=45°,由正弦定理: = , sin∠BDA sin∠BAD

AB

BD

9 2 9 2 解得 BD= .故 BD 的长为 . 2 2 要利用正、余弦定理解决问题,需将多边形分割成若干个三角形,在分割时,要 注意有利于应用正、余弦定理. 【训练 3】 如图,在△ABC 中,已知∠B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC =6,求 AB 的长.

解 在△ADC 中,AD=10,

AC=14,DC=6,
由余弦定理得 cos∠ADC=

AD2+DC2-AC2 2AD?DC

100+36-196 1 = =- ,∴∠ADC=120°,∴∠ADB=60°. 2?10?6 2 在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得 = , sin∠ADB sin B 10? 2 2 3 2

AB

AD

∴AB=

AD?sin∠ADB 10sin 60° = = sin B sin 45°

=5 6.

规范解答 9——如何运用解三角形知识解决实际问 【问题研究】 ? 1? 解三角形实际应用问题的一般步骤是: 审题——建模? 准确地画出图形 ? ——求解——检验作答.,? 2? 三角形应用题常见的类型: ,①实际问题经抽象概括后, 已 知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理解之;,②实际问题经抽 象概括后, 已知量与未知量涉及两个三角形, 这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的 解;,③实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由题目已知条件解此三角形需 连续使用正弦定理或余弦定理.,【解决方案】 航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻 的位置数据, 这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形, 根据这些三角形就可以确定目 标在一定的时间内的运动距离, 因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目 标归入到一个可解三角形中. 【示例】? (本题满分 12 分) 如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲 船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船 航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处, 此时两船相距 10 2 海里.问:乙船每小时航行多少海里?

(1)分清已知条件和未知条件(待求).(2)将问题集中到一个三角形中.(3)利用 正、余弦定理求解.

[解答示范] 如图,连接 A1B2 由已知 A2B2=10 2,

A1A2=30 2? =10 2,∴A1A2=A2B2.
又∠A1A2B2=180°-120°=60°, ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2.由已知,A1B1=20, ∠B1A1B2=105°-60°=45°,(8 分) 在△A1B2B1 中,由余弦定理得

20 60

B1B2=A1B2+A1B2-2A1B1?A1B2?cos 45° 2 1 2
=20 +(10 2) -2?20?10 2? ∴B1B2=10 2. 10 2 因此,乙船的速度为 ?60=30 2(海里/时).(12 分) 20 利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图, 结合示意图构造三 角形,然后转化为解三角形的问题进行求解. 【试一试】 如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一 艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 20 海里的
2 2

2 =200, 2

C 处的乙船,现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos θ .

[尝试解答] 如图所示,在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得 BC =AB +AC -2AB?AC?cos 120°=2 800,所以 BC=20 7.
2 2

2

由正弦定理,得 sin∠ACB=

AB 21 ?sin∠BAC= . BC 7

2 7 由∠BAC=120°,知∠ACB 为锐角,故 cos∠ACB= . 7 故 cos θ =cos(∠ACB+30°) =cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30° 2 7 3 21 1 21 = ? - ? = . 7 2 7 2 14


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