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2015年全国高中数学联赛模拟试题09


2015 年全国高中数学联赛模拟试题 09 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. 方程 x ? x ? 1 ? xe ? ( x ? 1)e 的解集为 A (其中, e 是无理数, e ? 2.71828 则 A 中的所有元素的平方和等于
2 2 x x 2 ?1

).

2. 平面 ? 内有圆 ABC (如图) AB 是直径, SA ? ? , C 是 AB 上一点.若 AC : AB : SA ? 1: 2: 2 , 则二面角 C ? SB ? A 的平面角的余弦值是 3. 在一次网球比赛中, n 个女子和 2 n 个男子参加,并且每个选手与其他所有选手恰好比赛一次, 如果没有平局,女子胜的局数与男子胜的局数之比 7:5,则 n ?

4. 设 a, d 为非负实数, b, c 为正实数,且 b ? c ? a ? d .则

b c ? 的最小值是 c?d a?b

5. 在双曲线 x2 ? y 2 ? 2 上任取三点 A, B, C ,则 ?ABC 垂心 H 的轨迹方程为

2011? 2013? ? ?1 , ] . 过点 M ( , 0) 作函数 f ( x ) 图像的切线, 令各 2 2 2 切点的横坐标构成数列 ?xn ? ,则数列 ?xn ? 的所有项之和 S 的值为
6.函数 f ( x ) ? e x (sin x ? cos x ) ,x ? [ ? 7. 设一元三次方程 x3 ? px ? 1 ? 0 的三根在复平面上所对应的点刚好组成一个正三角形, 则此正三角形面积为 . 8.使得 n sin 1 ? 5 cos 1 ? 1 成立的最小正整数 n 是 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. 设 f ( x ) 是 x 的整系数多项式 f ( x) ?17 有五个互不相同的整数根.证明:方程 f ( x) ? 0 没有整数根. .

1 ? a1 ? , ? ? 2 10. 已知数列 ? ?a ? 1 (a a ? a a ? ? n 3n ? 1 1 n ?1 2 n ?2 ? 求证: an?1 ? an .

? an ?2 a2 ? an ?1a1 ).

x2 y 2 x2 ? ? 1 上的任意一点,直线 y ? kx ? m ? km ? 0? 截椭圆 C1 : ? y 2 ? 1 所得的 4 8 2 弦 MN 被直线 OP 平分且满足 my0 ? ?1. △PMN 的面积为 1 ,判断四边形 OMPN 的形状及直线 PM 与椭
11.点 P ? x0 , y0 ? 是椭圆 圆 C1 的公共点的个数,证明你的结论.

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 09 第一试参考解答 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. 方程 x ? x ? 1 ? xe ? ( x ? 1)e 的解集为 A (其中, e 是无理数, e ? 2.71828 则 A 中的所有元素的平方和等于
2 2 x x 2 ?1

).

2. 平面 ? 内有圆 ABC (如图) AB 是直径, SA ? ? , C 是 AB 上一点.若 AC : AB : SA ? 1: 2: 2 , 则二面角 C ? SB ? A 的平面角的余弦值是

3. 在一次网球比赛中, n 个女子和 2 n 个男子参加,并且每个选手与其他所有选手恰好比赛一次, 如果没有平局,女子胜的局数与男子胜的局数之比 7:5,则 n ?

4. 设 a, d 为非负实数, b, c 为正实数,且 b ? c ? a ? d .则

b c ? 的最小值是 c?d a?b

5. 在双曲线 x ? y ? 2 上任取三点 A, B, C ,则 ?ABC 垂心 H 的轨迹方程为
2 2

2011? 2013? ? ?1 , ] . 过点 M ( , 0) 作函数 f ( x ) 图像的切线, 令各 2 2 2 切点的横坐标构成数列 ?xn ? ,则数列 ?xn ? 的所有项之和 S 的值为
6.函数 f ( x ) ? e x (sin x ? cos x ) ,x ? [ ?
x x 解: S ? 1006? .设切点坐标为 ( x0 , e 0 (sin x0 ? cos x0 )) ,则斜率为 f '( x0 ) ? 2e 0 cos x0 ,

切线方程为 y ? e 0 (sin x0 ? cos x0 ) ? 2e 0 cos x0 ? ( x ? x0 ) ,将 M (
x x

? ?1
2

, 0) 的坐标代入切线方程,得

?e x0 (sin x0 ? cos x0 ) ? 2e x0 cos x0 ? (
令 y1 ? tan x , y2 ? 2( x ?

? ?1
2

? x0 ) ,得 ? tan x0 ? 1 ? ?2( x0 ?

? ?1

) ,则这两个函数的图像均关于点 ( , 0) 对称,它们交点的横坐标也关于 对称 2 2 2 ? 2011? 2013? 成对出现, 方程 tan x ? 2( x ? ) ,x ? [? , ] 的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列 {xn } 2 2 2 ? 2011? 2013? , ] 内共构成 1006 对,每对的和为 ? ,因此数列 {xn } 的所有 的项也关于 对称成对出现,在 [? 2 2 2 项的和 S ? 1006? . 7. 设一元三次方程 x3 ? px ? 1 ? 0 的三根在复平面上所对应的点刚好组成一个正三角形,
则此正三角形面积为 .

?

?

) ,即 tan x0 ? 2( x0 ? ) , 2 2

?

?

8.使得 n sin 1 ? 5 cos 1 ? 1 成立的最小正整数 n 是



二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. 设 f ( x ) 是 x 的整系数多项式 f ( x) ?17 有五个互不相同的整数根.证明:方程 f ( x) ? 0 没有整数根.

10.

? y ? kx ? m 8km 4m 2 ? 4 ? 2 2 2 4 k ? 1 x ? 8 kmx ? 4 m ? 4 ? 0 x ? x ? ? , x x ? 11.解:由 ? x 2 得 , ? ? 1 2 1 2 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 ? ? y ?1 ?4 2 2 △ ? 64k m ? 4 ? 4k 2 ? 1?? 4m 2 ? 4 ? ? 0 ,所以 4k 2 ? 1 ? m2 ? 0

MN ? k 2 ? 1 x1 ? x2 ? k 2 ? 1

? 4k

64k 2 m2
2

? 1?

2

?

16m2 ? 16 4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 1 ? m2 2 2 4k ? 1 4k ? 1

? x12 ? y12 ? 1 ? ?4 设 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? 因为 k ? 0 故 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 ,由 ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ?4 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y ? y y ? y 因为 k , m ? 0 四边形 OMPN 是平行四边形故 MN 被直线 OP 平 得 ? 1 2 ?? 1 2 ? 4 y y ? y2 ? y ? y ? ? y1 ? y2 ? ? ? 1 ,即 k ? ? x0 , 分,所以 1 ? kOP ? 0 所以 1 2 x1 ? x2 x0 4 y0 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 4

S△PMN ?

2 kx0 ? m ? y0 4k 2 ? 1
2

2 m? 4k 2 ? 1 ? m 2 ? 2 2 y0

2 y0

2 2 2 ? m2 ? 1 化简得 ? 2 ? m 2 y0 ? 2 ? my0 ? ? 1, ? 2 y0

令 my0 ? t ,因为 4k ? 1 ? m ? 0 ,所以
2

3 2 2 因为 t ? ?1 所以 t ? 3t ? t ? 7 ? ? t ? 3? t ? 2 ? t ? 1 ? 0 所以 t ? 1 即 my0 ? 1 ,

?

2 ? m2 ? 0 则 t 2 ? 2 且 ? t ? 1? ? t 3 ? 3t 2 ? t ? 7 ? ? 0 2 y0

?

设 O 到 MN 的距离为 d ' ,则 d ?

?d' k ?1 k ?1 k 2 ?1 故 OP 被直线 MN 平分,所以四边形 OMPN 是平行四边形,所以 x0 ? x1 ? x2 , y0 ? y1 ? y2
2 2
2 2 所以 x0 ? 4 y0 ? ? x1 ? x2 ? ? 4 ? y1 ? y2 ? ? 8 ? 2 x1 x2 ? 8 y1 y2 ? 8 ,所以 x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 2 2

kx0 ? m ? y0

? ?

2 ?m y0

?

m

xx 1 1 x ,即 k PM kON ? ? ,所以 k PM ? ? 1 ,所以直线 PM 的方程为 1 ? yy1 ? 1 4 4 4 4 y1 恰是椭圆 C1 在 M 处的切线,因此直线 PM 与椭圆 C1 的公共点的个数为 1 .
即 kOM kON ? ?

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 09 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 已知 ?ABC 是等腰三角形, AB ? AC , CD 是腰 AB 上的高线, CD 的中点为 M ,

AE ? BM 于E, AF ? CE于F .求证: AF ?

1 AB 3

二、 (本小题满分 40 分) 设实数 xi ? 0(i ? 1, 2,

, n) 满足 ? xi ? 1 ,对正数 m ,求证: n ? m ? ? 1 ? mxi2 ? n2 ? m
i ?1 I ?1

n

N

三、 (本题满分 50 分) 2 是否存在正整数 n>1,使得 1,2,3,…,n 能放在一个 n×n 方格表内,使得每行的乘积是相同的?证明 你的结论.

四、 (本题满分 50 分)
2 给定 n 个( n ≥5)互不相等的实数 a1 < a2 <…< an ,所有的 C n 个和 ai ? a j (1≤ i , j ≤ n , i ? j )

中互不相同的数恰好有 2n ? 3 个的充分必要条件是 a1 , a2 ,?, an 成等差数列.

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 09 加试参考解答 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 已知 ?ABC 是等腰三角形, AB ? AC , CD 是腰 AB 上的高线, CD 的中点为 M ,

AE ? BM 于E, AF ? CE于F .求证: AF ?

1 AB 3

二、 (本小题满分 40 分) 设实数 xi ? 0(i ? 1, 2,

, n) 满足 ? xi ? 1 ,对正数 m ,求证: n ? m ? ? 1 ? mxi2 ? n2 ? m
i ?1 I ?1

n

N

三、 (本题满分 50 分) 2 是否存在正整数 n>1,使得 1,2,3,…,n 能放在一个 n×n 方格表内,使得每行的乘积是相同的?证明 你的结论.

四、 (本题满分 50 分)
2 给定 n 个 ( n ≥5) 互不相等的实数 a1 < a2 <…< an , 所有的 C n 个和 ai ? a j(1≤ i , j ≤ n , i ? j )

中互不相同的数恰好有 2n ? 3 个的充分必要条件是 a1 , a2 ,?, an 成等差数列.


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