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江苏省盐城市时杨中学、南洋中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷


江苏省盐城市时杨中学、 南洋中学 2014-2015 学年高一下学期期 中数学试卷
一.填空题(共 14 小题) 1. (5 分)若集合 A={0,1},集合 B={0,﹣1},则 A∪B=. 2. (5 分)若直线 l:y﹣2x﹣1=0 的斜率是. 3. (5 分)设关于 x 的函数 y=(k﹣2)x+1 是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范围是. 4. (5 分

)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(﹣1)=.
2 2

5. (5 分)圆柱的底面周长为 5cm,高为 2cm,则圆柱的侧面积为 cm . 6. (5 分)直线 y=2x﹣1 与直线 y=kx+1 垂直,则 k=. 7. (5 分)sin15°+cos15°=.

8. (5 分)已知向量

的夹角为 60°,且

,则

=.

9. (5 分)过点 P(1,2)且在 x 轴,y 轴上截距相等的直线方程是. 10. (5 分)已知直线 l1:x﹣2y﹣4=0 和 l2:x+3y+6=0,则直线 l1 和 l2 的交点为. 11. (5 分)若 sinα<0,且 tanα>0,则 α 是第象限角. 12. (5 分)已知 α 为钝角, ,则 cosα=.

13. (5 分)已知直线 l,m 平面 α,β,且 l⊥α,m?β,给出下列四个命题 ①若 α∥β 则 l⊥m; ②若 l⊥m 则 α∥β; ③若 α⊥β,则 l∥m; ④若 l∥m 则 α⊥β. 其中正确命题的序号是. 14. (5 分)已知函数 f(x)= sinωx+cosωx(ω>0) ,x∈R.又 f(x1)=﹣2,f(x2)=0 且|x1﹣x2|的最小值等于 π.则 ω 的值为.

二.解答题(共 6 小题) 15. (14 分)已知点 A(2,﹣2) ,B(4,6) . (Ⅰ)求直线 AB 的方程; (Ⅱ)求过点 C(﹣2,0)且与 AB 垂直的直线方程. 16. (14 分)如图棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为棱 CC1 的中点.

(1)求证:A1B1∥平面 ABE; (2)求三棱锥 VE﹣ABC 的体积. (V= sh)

17. (16 分)已知 x 为锐角,且 sinx= (Ⅰ)求 cosx,tanx 的值; (Ⅱ)求 sin2x,cos2x 的值; (Ⅲ)求 的值.



18. (16 分)求经过直线 l1:x+y+3=0 与直线 l2:x﹣y﹣1=0 的交点 P,且分别满足下列条 件的直线方程: (Ⅰ)与直线 2x+y﹣3=0 平行; (Ⅱ)与直线 2x+y﹣3=0 垂直. 19. (16 分)设函数 f(x)=sin(2x+ (1)求 f(0)的值; (2)求 f(x)的值域. 20. (16 分)设函数 f(x)= . )﹣4cos(π﹣x)sin(x﹣ ) .

(Ⅰ)当 a=﹣5 时,求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)若函数 f(x)的定义域为 R,试求 a 的取值范围.

江苏省盐城市时杨中学、 南洋中学 2014-2015 学年高一下 学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一.填空题(共 14 小题) 1. (5 分)若集合 A={0,1},集合 B={0,﹣1},则 A∪B={﹣1,0,1}. 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题;集合. 分析: A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. 解答: 解:A∪B={﹣1,0,1}. 故答案为:{﹣1,0,1}. 点评: 本题考查了集合的运算,属于基础题. 2. (5 分)若直线 l:y﹣2x﹣1=0 的斜率是 2. 考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 直线方程化为斜截式即可得出. 解答: 解:直线 l:y﹣2x﹣1=0 化为 y=2x+1, 其斜率是 2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了斜截式,属于基础题. 3. (5 分)设关于 x 的函数 y=(k﹣2)x+1 是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范围是(2, +∞) . 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用一次函数时单调递增函数求出参数 k 的范围. 解答: 解:关于 x 的函数 y=(k﹣2)x+1 是 R 上的增函数 所以 :k﹣2>0 解得:k>2 所以实数 k 的取值范围为: (2,+∞) 故答案为: (2,+∞) 点评: 本题考查的知识要点:一次函数单调性的应用.属于基础题型.
2

4. (5 分)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(﹣1)=﹣2.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 当 x>0 时,f(x)=x + ,可得 f(1) .由于函数 f(x)为奇函数,可得 f(﹣1) =﹣f(1) ,即可得出. 解答: 解:∵当 x>0 时,f(x)=x + , ∴f(1)=1+1=2. ∵函数 f(x)为奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了函数奇偶性,属于基础题. 5. (5 分)圆柱的底面周长为 5cm,高为 2cm,则圆柱的侧面积为 10cm . 考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据圆柱的侧面积=c×l,求解即可. 解答: 解:∵圆柱的底面周长为 5cm,高为 2cm, ∴c=5,l=2, ∵圆柱的侧面积=c×l, 2 ∴圆柱的侧面积=5×2=10cm 故答案为:10 点评: 本题考察了圆柱的侧面积公式,属于计算题,难度不大,计算准确即可.
2 2

2

6. (5 分)直线 y=2x﹣1 与直线 y=kx+1 垂直,则 k=﹣ .

考点: 专题: 分析: 解答:

直线的一般式方程与直线的垂直关系. 直线与圆. 根据两条直线垂直,它们的斜率之积等于﹣1,求出 k 的值. 解:∵直线 y=2x﹣1 与直线 y=kx+1 垂直,

∴k=﹣ ; 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查了两条直线垂直的判定与应用问题, 解题时应用两直线垂直, 斜率之积等 于﹣1,即可得出答案.

7. (5 分)sin15°+cos15°=



考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值.

分析: 原式提取 得到结果.

,利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简,即可

解答: 解:sin15°+cos15°= 故答案为:



sin15°+

cos15°)=

sin(15°+45°)=

sin60°=



点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握公式 是解本题的关键.

8. (5 分)已知向量

的夹角为 60°,且

,则

=1.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 运用公式得出 解答: 解:∵向量 ∴ 即 =2×1×cos60°=1, =1 =| |×| |×cos60°求解即可. 的夹角为 60°,且 ,

故答案为:1 点评: 本题考查了平面向量的数量积的运算,准确计算即可,属于容易题. 9. (5 分)过点 P(1,2)且在 x 轴,y 轴上截距相等的直线方程是 x+y﹣3=0 或 2x﹣y=0. 考点: 直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 分类讨论:当直线过原点时,可设直线的方程为 y=kx,当直线不过原点时,可设 直线的方程为 =1,代点分别可得 k,a 的值,可得方程.

解答: 解:当直线过原点时,可设直线的方程为 y=kx, 代点 P(1,2)可得 k=2,故方程为 y=2x, 化为一般 式可得 2x﹣y=0; 当直线不过原点时,可设直线的方程为 代点 P(1,2)可得 a=3,故方程为 =1, =1,

化为一般式可得 x+y﹣3=0, 综上可得所求直线的方程为:x+y﹣3=0 或 2x﹣y=0. 故答案为:x+y﹣3=0 或 2x﹣y=0 点评: 本题考查直线的截距式方程,涉及分类讨论的思想 ,解题时易漏解,属易错题.

10. (5 分)已知直线 l1:x﹣2y﹣4=0 和 l2:x+3y+6=0,则直线 l1 和 l2 的交点为(0,﹣2) . 考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 直线与圆. 分析: 联立直线 l1 和 l2 的方程解得即可. 解答: 解:联立 ,解得 .

∴直线 l1 和 l2 的交点为(0,﹣2) . 故答案为: (0,﹣2) . 点评: 本题考查了两条直线的交点问题,属于基础题. 11. (5 分)若 sinα<0,且 tanα>0,则 α 是第三象限角. 考点: 象限角、轴线角. 专题: 计算题. 分析: 由于 sinα<0,故 α 可能是第三或第四象限角;由于 tanα>0,故 α 可能是第一或 第三象限角;故当 sinα<0 且 tanα>0 时,α 是第三象限角. 解答: 解:由于 sinα<0,故 α 可能是第三或第四象限角; 由于 tanα>0,故 α 可能是第一或第三象限 角. 由于 sinα<0 且 tanα>0,故 α 是第三象限角, 故答案为:三. 点评: 本题考查象限角的定义,三角函数在各个象限中的符号,得到 sinα<0 时,α 是第 三或第四象限角;tanα>0 时,α 是第一或第三象限角,是解题的关键.

12. (5 分)已知 α 为钝角,

,则 cosα=



考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意可求 < < ,从而可得 cos( ) ,由 cosα=cos( ﹣

) ,利用两角和与差的余弦函数公式即可求值. 解答: 解:∵α 为钝角,即 ∴ < < )=﹣ , =﹣ , <α<π,

∴cos(

∴cosα=cos( × + =



)=cos( . .

)cos

+sin(

)sin

=(﹣



故答案为:

点评: 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用,属于基本知识的考查. 13. (5 分)已知直线 l,m 平面 α,β,且 l⊥α,m?β,给出下列四个命题 ①若 α∥β 则 l⊥m; ②若 l⊥m 则 α∥β; ③若 α⊥β,则 l∥m; ④若 l∥ m 则 α⊥β. 其中正确命题的序号是①④. 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 计算题. 分析: 由 l⊥α,m?β,知:①若 α∥β,则 l⊥β,故 l⊥m;②若 l⊥m,则 α 与 β 平行或 相交;③若 α⊥β,则 l 与 m 相交、平行或异面;④若 l∥m,则 m⊥α,故 α⊥β. 解答: 解:∵l⊥α,m?β, ∴①若 α∥β,则 l⊥β,∴l⊥m,故①正确; ②若 l⊥m,则 α 与 β 平行或相交,故②不正确; ③若 α⊥β,则 l 与 m 相交、平行或异面,故③不正确; ④若 l∥m,则 m⊥α,∴α⊥β,故④正确. 故答案为:①④. 点评: 本题考查平面的基本性质和推论,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 14. (5 分)已知函数 f(x)= sinωx+cosωx(ω>0) ,x∈R.又 f(x1)=﹣2,f(x2)=0

且|x1﹣x2|的最小值等于 π.则 ω 的值为 .

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 首先利用三角函数关系式的恒等变换, 通过图象确定函数的周期, 进一步利用正弦 型函数的周期关系式确定函数关系式中 ω 的值. 解答: 解:函数 f(x)= sinωx+cosωx(ω>0) =2sin(ωx+ ) ,

又 f(x1)=﹣2,f(x2)=0 且|x1﹣x2|的最小值等于 π. 所以函数的最小正周期为 4π, 所以: 解得:ω= . ,

故答案为: . 点评: 本题考查的知识要点: 三角函数关系式的恒等变换, 利用函数的图象确定函数的周 期,进一步利用正弦型函数的周期关系式确定函数关系式中 ω 的值. 二.解答题(共 6 小题) 15. (14 分)已知点 A(2,﹣2) ,B(4,6) . (Ⅰ)求直线 AB 的方程; (Ⅱ)求过点 C(﹣2,0)且与 AB 垂直的直线方程. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的两点式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (I)利用斜率计算公式、点斜式即可得出; (II)利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)由已知,直线 AB 的斜率 所以直线 AB 的方程为 y+2=4(x﹣2) ,即 4x﹣y﹣10=0. (Ⅱ)设所求直线 l 的斜率为 k',则 k?k'=﹣1,解得 所以直线 l 的方程为 ,即 x+4y+2=0. . ,

点评: 本题考查了斜率计算公式、 相互垂直的直线斜率之间的关系、 点斜式, 属于基础题. 16. (14 分)如图棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为棱 CC1 的中点.

(1)求证:A1B1∥平面 ABE; (2)求三棱锥 VE﹣ABC 的体积. (V= sh)

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置 关系与距离. 分析: (1)由 A1B1∥AB,能证明 A1B1∥平面 ABE. (2)由已知得 EC⊥平面 ABC,且 EC=1,S△ ABC= =2,由此能求出三棱锥 VE﹣ABC

的体积. 解答: (1)证明:∵棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, A1B1∥AB,且 A1B1?平面 ABE,AB?平面 ABE, ∴A1B1∥平面 ABE.

(2)解:∵棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为棱 CC1 的中点. ∴EC⊥平面 ABC,且 EC=1, 又∵S△ ABC= =2, = .

∴三棱锥 VE﹣ABC 的体积 V= S△ ABC?EC=

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,是基础题,解题时要 注意空间思维能力的培养.

17. (16 分)已知 x 为锐角,且 sinx= (Ⅰ)求 cosx,tanx 的值; (Ⅱ)求 sin2x,cos2x 的值; (Ⅲ)求 的值.



考点: 同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ) 由 x 为锐角, 且 sinx= , 根据同角三角函数基本关系式即可求得 cosx, tanx

的值. (Ⅱ)根据倍角公式即可得解. (Ⅲ)根据同角三角函数基本关系式即可求得 tan2x 的值,由两角和与差的正切函数公式即 可得解. 解答: 解: (Ⅰ)∵x 为锐角,且 sinx= ,

∴cosx=

=

=

,tanx=

=

=

.…(4 分)

(Ⅱ)sin2x=2sinxcosx=2×

×

=

,cos2x=2cos x﹣1=2× ﹣1= .…(8 分)

2

(Ⅲ)∵tan2x=

=

=2





=

=

=

…(16 分)

点评: 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的正切函数公式的应 用,属于基本知识的考查. 18. (16 分)求经过直线 l1:x+y+3=0 与直线 l2:x﹣y﹣1=0 的交点 P,且分别满足下列条 件的直线方程: (Ⅰ)与直线 2x+y﹣3=0 平行; (Ⅱ)与直线 2x+y﹣3=0 垂直. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由 ,解得 P(﹣1,﹣2) .

(1)设与直线 2x+y﹣3=0 平行的直线方程 为 2x+y+m=0,把 P(﹣1,﹣2)代入即可得出; (2)设与直线 2x+y﹣3=0 垂直的直线方程为:x﹣2y+n=0,把 P(﹣1,﹣2)代入即可得 出. 解答: 解:由 ,解得 ,∴P(﹣1,﹣2) .

(1)设与直线 2 x+y﹣3=0 平行的直线方程为 2x+y+m=0, 把 P(﹣1,﹣2)代入可得;﹣2﹣2+m=0,解得 m=4. ∴要求的直线方程为:2x+y+4=0. (2)设与直线 2x+y﹣3=0 垂直的直线方程为:x﹣2y+n=0, 把 P(﹣1,﹣2)代入可得:﹣1+4+m=0,解得 n=﹣3. ∴要求的直线方程为:x﹣2y﹣3=0. 点评: 本题考查了相互平行、垂直的直线方程的求法,考查了计算 能力,属于基础题.

19. (16 分)设函数 f(x)=sin(2x+ (1)求 f(0)的值; (2)求 f(x)的值域.

)﹣4cos(π﹣x)sin(x﹣

) .

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)直接根据已知条件利用特殊角的三角函数的值求出结果. (2)首先对关系式进行恒等变换,变形成正弦型函数,进一步利用三角函数的定义域求出 三角函数的值域. 解答: 解: (1)函数 f(x)=sin(2x+ )﹣4cos(π﹣x)sin(x﹣ ) .

则:f(0)= (2)f(x)=cos2x+4cosx( =

=1﹣2=﹣1 )

= 由于﹣1≤sin2x≤1 所以:函数 f(x)的值域为: . 点评: 本题考查的知识要点:特殊角的三角函数的值.三角函数关系式的恒等变换,正弦 型函数的性质的应用,属于基础题型. 20. (16 分)设函数 f(x)= .

(Ⅰ)当 a=﹣5 时,求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)若函数 f(x)的定义域为 R,试求 a 的取值范围. 考点: 函数的定义域及其求法;绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: (I) 在同一坐标系中作出函数 y=|x+1|+|x﹣2|和 y=5 的图象, 结合图象写出: |x+1|+|x ﹣2|﹣5≥0 的解集,就是所求函数的定义域. (II)由题意知,x∈R 时,|x+1|+|x﹣2|≥﹣a 恒成立,故,|x+1|+|x﹣2|的最小值大于或等于﹣ a,从而得到 a 的取值范围. 解答: 解: (I)由题设知:|x+1|+ |x﹣2|﹣5≥0 如图,在同一坐标系中作出函数 y=|x+1|+|x﹣2| 和 y=5 的图象,得定义域为(﹣∞,﹣2]∪[3,+∞) (II)由题设知,当 x∈R 时, 恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0 即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a, 又由(I)|x+1|+|x﹣2|≥3, ∴﹣a≤3, ∴a≥﹣3.

点评: 本题考查求函数的定义域的方法, 绝对值不等式的意义和解法, 体现了数形结合的 数学思想.


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