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《创新设计》2014-2015学年高中数学同步系列(湘教版,必修二):4.6向量的应用


高中数学· 必修2· 湘教版

第 4章

向量

4.6 向量的应用

预习导学

? ? ? ?

[学习目标] 1.能运用向量的知识解决一些简单的平面几何问题. 2.掌握两种基本方法—选择基向量法和坐标建系法. 3.能用向量知识处理一些简单的物理问题.<

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预习导学
? [知识链接] ? 1.向量可以解决哪些常见的几何问题? ? 答 (1) 解决直线平行、垂直、线段相等、三 点共线、三线共点等位置关系. ? (2) 解决有关夹角、长度及参数的值等的计算 或度量问题.

预习导学
? 2 .用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 是怎样的? ? 答 (1) 建立平面几何与向量的联系,用向量 表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转 化为向量问题; ? (2) 通过向量运算,研究几何元素之间的关系, 距离,夹角等问题; ? (3)把运算结果“翻译”成几何关系.

预习导学
? 3 .向量的运算与速度、加速度与位移有什么联 系? ? 答 速度、加速度与位移的合成与分解,实 质上是向量的加减法运算,而运动的叠加也用到 向量的合成, 向量有丰富的物理背景.向量源于 物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”; 向量在解决涉及上述物理量的合成与分解时,实 质就是向量的线性运算.

预习导学
[预习导引] 1.向量方法在几何中的应用 (1)证明平行问题,常用向量平行(共线)的等价条件: a∥b(b≠0)?a=λb? x1y2-x2y1=0 .

(2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用 向量垂直的等价条件:a⊥b?a· b=0? x1x2+y1y2=0 (3)求夹角问题,往往利用向量的夹角公式cos x1x2+y1y2 a· b = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1 x2+y2 .

〈a,b〉=

预习导学

(4)求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的数量积运 算、向量模的公式:|a|= a2= x2+y2.

预习导学 ? 2.向量方法在物理中的应用 向量 ? (1)力、速度、加速度、位移都是 . ? (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解 加、减 就是向量的 数乘向量 ? 运算,运动的叠加亦用到向量 的合成. 数量积 ? (3)动量mv是 . ? (4)功即是力F与所产生位移s的 .

课堂讲义

? 要点一 平面几何中的垂直问题 ? 例 1 如图所示,在正方形 ABCD 中, E , F 分 别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.

课堂讲义

证明

法一

→ → → 设 AD =a, AB =b,则|a|=|b|,a· b=0,又 DE =

b a → → → → → → → DA + AE =-a+ 2 , AF = AB + BF =b+ 2 ,所以 AF · DE =
? a? ? b? 1 2 3 b2 1 2 1 2 → ?b+ ? · ?-a+ ? =- a - a· 2? ? 2? 2 4 b+ 2 =- 2 |a| + 2 |b| =0.故 AF ⊥ ?

→ DE,即AF⊥DE.

课堂讲义
法二 如图建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则 → → A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),AF=(2,1),DE=(1,-2). → → 因为AF· DE=(2,1)· (1,-2)=2-2=0, → → 所以AF⊥DE,即AF⊥DE.

?规律方法 对于线段的垂直问题,可以联想到 两个向量垂直的条件 (向量的数量积为 0) ,而对 于这一条件的应用,可以考虑向量关系式的形 式,也可以考虑坐标的形式.

课堂讲义
跟踪演练1 如图,点O是△ABC的外心,E为三角形内一点, → → → → → → 满足OE=OA+OB+OC,求证:AE⊥BC.

课堂讲义
→ → ∵O为外心,∴|OC|=|OB|.

证明

→ → → ∵BC=OC-OB, → → → → → → → → → AE=OE-OA=(OA+OB+OC)-OA=OB+OC, → → → → → → → 2 →2 → → ∴AE· BC=(OB+OC)· (OC-OB)=|OC| -|OB| =0,即AE· BC= 0. → → 故AE⊥BC.

课堂讲义

? 要点二 平面几何中的长度问题 ? 例 2 如 图 所 示 , 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , BE∥AC,AC=CE,EC的延长线交 BA的延长 线于F.求证:AF=AE.

课堂讲义
证明 如图,建立直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-

1,1),B(0,1). → → 若设E(x,y),则BE=(x,y-1),AC=(1,-1). → → 又∵AC∥BE, ∴x· (-1)-1×(y-1)=0, ∴x+y-1=0. → → 又∵|CE|=|AC|,∴x2+y2-2=0.

课堂讲义
? 1+ 3 ? x= 2 , 2 2 ? x + y - 2 = 0 , ? ? 由? 得? ? ?x+y-1=0, ? 1- 3 y= 2 ? ?
?1+ 即E? ? 2 ?

? ?x=1- 3, 2 ? 或? ? 1+ 3 y= 2 ? ?

(舍).

3 1- 3? ? , 2 ?.
?

?1+ 3 1- 3? → → ? 又设F(x′,1),由 CF =(x′,1)和 CE = ? ? 2 , 2 ? 共线 ? ?

1- 3 1+ 3 得: 2 x′- 2 =0,得x′=-2- 3, ∴F(-2- 3,1),

课堂讲义
→ ∴AF=(-1- 3,0), 1+ 3? → ? ?3+ 3 ? AE=? ,- ?, 2 2 ? ? → ∴|AE|=
?3+ ? ? 2 ?

3? ?2

?-1- ? + ? ? 2 ? ?

3? ?2
? ?

→ =1+ 3=|AF|,

∴AF=AE. 规律方法 向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求
解,一是利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公 式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入 公式:若a=(x,y),则|a|= x2+y2.

课堂讲义

?跟踪演练2 如图,平行四边形ABCD中,已知 AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的 长.

课堂讲义

→ → → → → 解 设AD=a,AB=b,则BD=a-b,AC=a+b,而|BD|=|a- b|= a2-2a· b+b2 = 1+4-2a· b = 5-2a· b =2,∴5-2a· b= 1 → 4,∴a· b=2,又|AC|2=|a+b|2=a2+2a· b+b2=1+4+2a· b=6, → ∴|AC|= 6,即AC= 6.

课堂讲义

? 要点三 向量的线性运算在物理中的应用 ? 例3 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距 离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受 的风力方向为北偏东30°,速度为20 km/h, 此时水的流向是正东,流速为20 km/h.若不考 虑其他因素,求帆船的速度与方向.

课堂讲义

? 解 建立如图所示的直角坐标系,风的方向 为北偏东 30 °, 速度为|v |=20(km/h),水流的方向为正东,速度为|v |=
1 2

20(km/h), 设帆船行驶的速度为v, 则v=v1+v2. 由题意,可得向量v1=(20cos 60° ,20sin 60° ) =(10,10 3),向量v2=(20,0),

课堂讲义

则帆船的行驶速度 v=v1+v2=(10,10 3)+(20,0)=(30,10 3), 所以|v|= 302+?10 3?2=20 3(km/h). 10 3 3 因为tan α= 30 = 3 (α为v和v2的夹角,α为锐角), 所以α=30° . 所以帆船向北偏东60° 的方向行驶,速度为20 3 km/h.

课堂讲义

跟踪演练3 某人在静水中游泳,速度为4 为4

3 km/h,水的流速

km/h,他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前

进?实际前进的速度大小为多少?

课堂讲义
→ → 解 如图所示,设此人的实际速度为OB,水流速度为OA. → → → ∵实际速度=游速+水速,∴游速为OB-OA=AB, → → 在Rt△AOB中,|AB|=4 3,|OA|=4, → | OA | 3 → |OB|=4 2,cos∠BAO= = 3. → |AB| 3 故此人应沿与河岸夹角余弦值为 3 ,逆着水流方向前进,实际 前进速度的大小为4 2 km/h.

课堂讲义

? 要点四 向量的数量积在物理中的应用 ? 例4 如图,质量m=2.0 kg的木块,在平行于 斜面向上的拉力F=10 N的作用下,沿倾斜角 θ = 30°的光滑斜面向上滑行 |s| = 2.0 m 的距 离. ? (1)分别求物体所受各力在这一过程中对 ? 物体做的功; ? (2)在这一过程中,物体所受各力对物体 ? 做的功的代数和是多少? ? (3)求物体所受合外力对物体所做的功,并 指出它与物体所受各个力对物体做功的代数

课堂讲义 ?解 (1)木块共受三个力的作用,重力 G,拉力 F和支持力F1,如题图所示,拉力F与位移s方向 相同,所以拉力对木块所做的功为: ?WF=F·s=|F||s|cos θ=20(J). ?支持力 F1 与位移方向垂直,不做功,即 W1 = F1·s=0. ?重力G对物体所做的功为: ?WG=G·s=|G||s|cos(90°+θ)=-19.6(J). ?(2)物体所受各力对物体做功的代数和为: ?W=WF+WN+WG=20+0-19.6=0.4(J).

课堂讲义 ?(3)物体所受合外力的大小为: ?|F合|=|F|-|G|sin 30°=0.2(N). ?∴合外力对物体所做的功为: ?W=F合·s=0.2×2=0.4(J). ?∴物体所受合外力对物体所做的功与物体所受 各力对物体做功的代数和相等. ?规律方法 解决力学有关问题,做好正确的受 力分析是数学建模的基础.要认真体会用向量 方法解决物理问题和解释物理现象的方法.

课堂讲义

?跟踪演练4 已知两恒力F1=(3,4)、F2=(6,- 5) 作用于同一质点,使之由点 A(20,15) 移动到点 B(7,0),试求: ?(1)F1、F2分别对质点所做的功;(2)F1,F2的合 力F为质点所做的功.

课堂讲义
→ 解 设物体在力F作用下的位移为s,则所做的功为W=F· s. AB =(7,0)-(20,15)=(-13,-15). → (1)W1=F1·AB =(3,4)· (-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=- → 99(焦),W2=F2· AB =(6,-5)· (-13,-15)=6×(-13)+(- 5)×(-15)=-3(焦). → → (2)W=F· AB =(F1+F2)· AB =[(3,4)+(6,-5)]· (-13,-15)= (9,-1)· (-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15 =-102(焦).

当堂检测

→ → → → 1.若M为△ABC所在平面内一点,且满足( MB - MC )· ( MB + MC → -2MA)=0,则△ABC为( )

? ?

A.直角三角形 C.等边三角形 角形 ? 答案 B

B.等腰三角形 D.等腰直角三

当堂检测

→ → → → → 解析 由(MB-MC)· (MB+MC-2MA)=0, → → → 可知CB· (AB+AC)=0, → → → 设BC的中点为D,则AB+AC=2AD, → → → → 故CB· AD=0,所以CB⊥AD. 又D为BC中点,故△ABC为等腰三角形.

当堂检测

→ → 2.如图,在圆O中,若弦AB=3,弦AC=5,则AO· BC的值是 ( A.-8 C.1 B.-1 D.8 )

?

答案 D

当堂检测

解析

1 → 取BC的中点D,连接AD、OD,则有OD⊥BC, AD = 2

→ → → → → → → → → → → → ( AB + AC ), BC = AC - AB , AO · BC =( AD + DO )· BC = AD · BC + 1 →2 →2 1 → → → → 1 → → → → DO · BC = AD · BC = 2 ( AB+ AC )· (AC - AB)= 2 (AC - AB )= 2 ×(52 -32)=8,选D.

当堂检测 ? 3 .正方形 OABC 的边长为 1 ,点 D 、 E 分别为 AB,BC的中点,试求cos∠DOE的值.
解 以OA,OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系,如图所 示,由题意知:
? 1? → ?1 → ? OD=?1,2?,OE=?2,1?, ? ? ? ?

→ → OD· OE 故cos∠DOE= → → |OD|· |OE|

当堂检测

1 1 1×2+2×1 4 = =5. 5 5 2×2 4 即cos∠DOE的值为5.

当堂检测

→ → → 4.三角形ABC中,设 BC =a, CA =b, AB =c,若a· b=b· c= c· a,请确定三角形ABC的形状.

?

解 因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而 由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0, 所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即 (a - c)·(a + c) = 0 ,得到 a2 - c2 = 0 , a2 = c2 , 即 |a|2 = |c|2 ,也就是 |a| = |c|. 同理可得, |a| = |b| , 所以|a|=|b|=|c|.故三角形ABC是等边三角形.

当堂检测

? 1 . 向量的坐标表示简化了向量数量积的运 算.为利用向量法解决平面几何问题以及解 析几何问题提供了完美的理论依据和有力的 工具支持. ? 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、 平行、夹角以及长度等几何问题,在学习中 要不断地提高利用向量工具解决数学问题的 能力.

再见


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