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基本初等函数学案


基本初等函数学案

§ 2.1.1 指数与指数幂的运算(1)
学习目标
1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性; 2. 了解根式的概念及表示方法; 3. 理解根式的运算性质.

问题 2:生物死亡后,体内碳 14 每过 5730 年衰减 一半(半衰期) ,则死亡 t 年后体内碳 14 的含量 P 1 t 与死亡时碳

14 关系为 P ? ( ) 5730 . 探究该式意义? 2

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P48~ P50,找出疑惑之处) 复习 1:正方形面积公式为 ;正方体的 体积公式为 . 复习 2: (初中根式的概念)如果一个数的平方等于 a, 那么这个数叫做 a 的 , 记作 ; 如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的 ,记作 .

小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如 人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 探究任务二:根式的概念及运算 考察: (?2)2 ? 4 ,那么 ?2 就叫 4 的
3 ? 27 ,那么 3 就叫 27 的 (?3)4 ? 81 ,那么 ?3 就叫做 81 的
3

; ; . .

依此类推, 若 x ? a ,, 那么 x 叫做 a 的
n

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:指数函数模型应用背景 探究下面实例及问题,了解指数指数概念提出的 背景,体会引入指数函数的必要性. 实例 1. 某市人口平均年增长率为 1.25℅,1990 年 人口数为 a 万,则 x 年后人口数为多少万?

新知:一般地,若 xn ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ( n th root ),其中 n ? 1 , n ? ?? . 简记: n a . 例如: 23 ? 8 ,则 3 8 ? 2 . 反思: 当 n 为奇数时, n 次方根情况如何? 例如: 3 27 ? 3 , 3 ?27 ? ?3 , 记: x ? n a .

当 n 为偶数时,正数的 n 次方根情况? 例如: 81 的 4 次方根就是 ,记: ? n a . 强调:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,即 n 0 ? 0 .

实例 2. 给一张报纸,先实验最多可折多少次?你 能超过 8 次吗?

试试: b4 ? a ,则 a 的 4 次方根为 b 3 ? a ,则 a 的 3 次方根为

; .

计算:若报纸长 50cm,宽 34cm,厚 0.01mm,进 行对折 x 次后,求对折后的面积与厚度?

新知:像 n a 的式子就叫做根式(radical) ,这里 n 叫做根指数( radical exponent ) ,a 叫做被开方数 (radicand). 试试:计算 ( 2 3)2 、 3 43 、 n (?2)n .

问题 1:国务院发展研究中心在 2000 年分析,我国 未来 20 年 GDP(国内生产总值)年平均增长率达 7.3℅, 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍?

反思: 从特殊到一般, ( n a )n 、 n an 的意义及结果?

2008 年下学期◆高一





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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

结论:( n a )n ? a . 当 n 是奇数时, n an ? a ;当 n 是
?a (a ? 0) 偶数时, n a n ?| a |? ? . ??a (a ? 0)

② 若 0 ? a ? 1 ,则 0 ? a n ? 1 . 其中 n ? N*.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
1.
4

) .

※ 典型例题 例 1 求下类各式的值:
(1)
3

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
4 2

(?a)3 ; (2)

(?7)4 ; (a ? b)2 ( a ? b ).

(?3)4 的值是(

). D. 81 D. 25

(3) 6 (3 ? ? )6 ; (4)

A. 3 B. -3 C. ? 3 2. 625 的 4 次方根是( ). A. 5 B. -5 C. ±5 3. 化简 ( ?b ) 是(
2 2

). C. ? b . ; 2 34 . D.

A. ?b

B. b

1 b

4. 化简 6 (a ? b)6 = 5. 计算: ( 3 ?5)3 =

课后作业
变式:计算或化简下列各式. (1) 5 ?32 ; (2) 3 a6 . 1. 计算: (1) 5 a10 ; (2)
3

79 .

推广: amp ? n am (a ? 0).

np

※ 动手试试
练 1. 化简 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 . 2. 计算 a 3 ? a ?4 和 a 3? ( ?8) ,它们之间有什么关系? 你能得到什么结论?

练 2. 化简 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. n 次方根,根式的概念; 2. 根式运算性质. ※ 知识拓展
1. 整数指数幂满足不等性质:若 a ? 0 ,则 a n ? 0 . 2. 正整数指数幂满足不等性质: ① 若 a ? 1 ,则 a n ? 1 ;

a an 3. 对比 (ab)n ? anbn 与 ( )n ? n ,你能把后者归入 b b 前者吗?

2

基本初等函数学案

§ 2.1.1 指数与指数幂的运算(2)
学习目标
1. 理解分数指数幂的概念; 2. 掌握根式与分数指数幂的互化; 3. 掌握有理数指数幂的运算.

反思: ① 0 的正分数指数幂为 ;0 的负分数指数 幂为 . ② 分数指数幂有什么运算性质?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P50~ P53,找出疑惑之处) 复习 1: 一般地, 若 xn ? a , 则 x 叫做 a 的 ? n ? 1 n ? ? 其中 , . 简记为: . 像 n a 的式子就叫做 运算性质:

小结: 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整 数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运 算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 指数幂的运算性质: ( a ? 0, b ? 0, r , s ? Q ) ,
ar · ar ? ar ? s ;

(ar )s ? ars ; (ab)r ? a r a s .

,具有如下 ; a mp =
np

※ 典型例题
2 4 ? 25 ? 2 3 例 1 求值: 27 3 ; 16 3 ; ( )?3 ; ( ) 3 . 49 5

( n a )n =

n n ; a =

.

复习 2:整数指数幂的运算性质. (1) a m ?a n ? ; (2) (a m )n ? (3) (ab) ?
n



. 变式:化为根式.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:分数指数幂
引例:a>0 时, 5 a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5 , 则类似可得
3 3 2 3 3
3
10

a12 ?
2 3

; .

a 2 ? (a ) ? a

,类似可得 a ?

新知:规定分数指数幂如下
a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) ;
m

例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (b ? 0) : (1) b2 ? b ; (2) b3 ?5 b3 ; (3) 3 b 4 b .

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

am

(a ? 0, m, n ? N , n ? 1) .
*

试试: (1)将下列根式写成分数指数幂形式:
2

35 =
a =
2



3

54 =
?

; 例 3 计算(式中字母均正) : (1)(3a 3 b 2 )(?8a 2 b 3 ) ? (?6a 6 b 6 ) ; (2)(m 4 n 8 )16 . .
2 1 1 1 1 5 1 3

m

(a ? 0, m ? N ) .
2

(2)求值: 8 3 ;

55 ;

6

?

4 3

; a

?

5 2

2008 年下学期◆高一





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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

小结:例 2,运算性质的运用;例 3,单项式运算. 例 4 计算: a3 (a ? 0) ; (1) a ?3 a 4 (2) (2m2 n 5 )10 ? (?m 2 n?3 )6 (m, n ? N ? ) ; (3) ( 4 16 ? 3 32) ? 4 64 .
? 3 1

质量为 m, ? 为正的常数.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的 是( ).
A. a m ? a n ? a n C.
m

B. a m ? a n ? a mn D. 1 ? a n ? a 0 ? n

?a ?

m n 3

? am?n

2. 化简 25 2 的结果是( ). A. 5 B. 15 C. 25 D. 125 3. 计算 ? ? 2 ? ? A. 2 4. 化简 27
? 2 3

?

?

?2

小结:在进行指数幂的运算时,一般地,化指数为 正指数,化根式为分数指数幂,对含有指数式或根 式的乘除运算,还要善于利用幂的运算法则. 反思: ① 3 的结果? 结论:无理指数幂.(结合教材 P53 利用逼近的思想 理解无理指数幂意义) ② 无理数指数幂 a? (a ? 0,? 是无理数) 是一个确定 的实数.实数指数幂的运算性质如何?
2

? 2 的结果是( ? ?

?

1

).
2 2

B. ? 2 = .

C.

D. ?

2 2

5. 若 10m ? 2, 10n ? 4 ,则 10

3m ? n 2

=

.

课后作业
1. 化简下列各式: (1) (
36 3 )2 ; 49

(2)

a2 b

b3 a . a b3

※ 动手试试
? 1 ?5 练 1. 把 ? x 3 ?3 x?2 ? 化成分数指数幂. ? ? ? ?
? 8

8a3 4 ) . 练 2. 计算: (1) 3 3 ?4 3 ?4 27 ; (2) 6 ( 125b3

2. 计算:

3

? b? 3 ?? ?1 ? 2 a ? ?. a ? 2 ab ? 4 a ? ?
3

a 4 ? 8 3 ab
3

2

3

4

三、总结提升 ※ 学习小结 ①分数指数幂的意义;②分数指数幂与根式的互 化;③有理指数幂的运算性质. ※ 知识拓展
放射性元素衰变的数学模型为: m ? m0 e??t ,其 中 t 表示经过的时间, m0 表示初始质量,衰减后的
4

基本初等函数学案

§ 2.1.1 指数与指数幂的运算 (练习)
学习目标
1. 掌握 n 次方根的求解; 2. 会用分数指数幂表示根式; 3. 掌握根式与分数指数幂的运算.

小结:① 平方法;② 乘法公式; ③ 根式的基本性质 amp ? n am (a≥0)等. 注意, a≥0 十分重要,无此条件则公式不成立. 例如, 6 (?8)2 ? 3 ?8 . 变式:已知 a 2 ? a (1) a ? a
1 2 1 ? 2
1 ? 1 2

np

? 3 ,求:

学习过程
一、课前准备 (复习教材 P48~ P53,找出疑惑之处) 复习 1:什么叫做根式? 运算性质? 像 n a 的式子就叫做 ,具有性质: ; a
np mp



(2) a 2 ? a 2 .

3

?

3

( n a )n =

;a =

n

n

=

.

复习 2:分数指数幂如何定义?运算性质? ① an ? ;a n ? 其中 a ? 0, m, n ? N * , n ? 1 ② a r ?a s ? ; (a r ) s ?
(ab) ?
s
m ? m

. ;

.

复习 3:填空.
( x ? 0) ? 时, n x n ?| x |? ?........... . ( x ? 0) ? ② 求下列各式的值:



n为

3

26 =
x8 =



4

16 =
15

; 6 81 = ; .

6

(?2)2 =
4



?32 =

; 6 a 2 b4 =

1 例 2 从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 升,然后用 3 ; 1 水填满,再倒出 升,又用水填满,这样进行 5 次, 3 则容器中剩下的纯酒精的升数为多少?

二、新课导学 ※ 典型例题
例 1 已知 a 2 ? a
?1
1 ? 1 2

=3,求下列各式的值:
2 ?2

(1) a ? a ; (2) a ? a ; (3)
3 3 2

a2 ? a
1 2

3

? ?

3 2 1 2

. 变式:n 次后?

a ?a 补充:立方和差公式 a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b2 ) .

小结:① 方法:摘要→审题;探究 → 结论;

2008 年下学期◆高一





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3 3 2

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

② 解应用问题四步曲:审题→建模→解答→作答.

(a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab2 ? b3 .

※ 动手试试
练 1. 化简: ( x ? y ) ? ( x ? y ) .
1 2 1 2 1 4 1 4

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
3

) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. A. 2.
a

9 2 的值为(
3
3

). C. 3 D. 729 ).
1 17

B. 3 3

a ?5 a 4

(a>0)的值是(

练 2. 已知 x+x-1=3,求下列各式的值. (1) x 2 ? x 2 ;
1 ? 1

A. 1 B. a C. a 5 D. a 10 3. 下列各式中成立的是( ). 1 n A. ( ) 7 ? n 7 m 7 B. 12 (?3)4 ? 3 ?3 m C. 4 x 3 ? y 3 ? ( x ? y ) 4 4. 化简 (
25 ? 3 ) 2= 4
3

(2) x 2 ? x 2 .

3

?

3

D. .

3

9 ?33

2 1 1 1 1 1 5 5. 化简 (a 3 b 2 )(?3a 2 b 3 ) ? ( a 6 b 6 ) = 3

.

课后作业
1. 已知 x ? a ?3 ? b?2 , 求 4 x2 ? 2a?3 x ? a?6 的值.

练 3. 已知 f ( x) ? ? x , x1 ? x2 ? 0 , 试求 的值.

f ( x1 ) ? f ( x2 )

2. 探究:n an ? ( n a )n ? 2a 时, 实数 a 和整数 n 所应 满足的条件.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 根式与分数指数幂的运算; 2. 乘法公式的运用. ※ 知识拓展 1. 立方和差公式: a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ;
a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) . 2. 完全立方公式: (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ;
6

基本初等函数学案

§ 2.1.2 指数函数及其性质(1)
学习目标
1. 了解指数函数模型的实际背景, 认识数学与现实 生活及其他学科的联系; 2. 理解指数函数的概念和意义; 3. 能画出具体指数函数的图象, 掌握指数函数的性 质(单调性、特殊点).

探究任务二:指数函数的图象和性质 引言:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出 研究指数函数性质的内容和方法吗? 回顾: 研究方法: 画出函数图象, 结合图象研究函数性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大 (小)值、奇偶性. 作图:在同一坐标系中画出下列函数图象: 1 y ? ( )x , y ? 2 x 2

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P54~ P57,找出疑惑之处) 复习 1: 零指数、 负指数、 分数指数幂怎样定义的? 0 (1) a ? ; ?n (2) a ? ; (3) a n ? ;a n ? 其中 a ? 0, m, n ? N * , n ? 1
m ? m

. 讨论:

复习 2:有理指数幂的运算性质. (1) a m ?a n ? ; (2) (a m )n ? (3) (ab)n ? .



1 (1)函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象有什么关系?如 2 1 x 何由 y ? 2 的图象画出 y ? ( ) x 的图象? 2

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:指数函数模型思想及指数函数概念 实例: A.细胞分裂时,第一次由 1 个分裂成 2 个,第 2 次由 2 个分裂成 4 个,第 3 次由 4 个分裂成 8 个, 如此下去,如果第 x 次分裂得到 y 个细胞,那么细 胞个数 y 与次数 x 的函数关系式是什么? B.一种放射性物质不断变化成其他物质,每经 过一年的残留量是原来的 84%, 那么以时间 x 年为 自变量,残留量 y 的函数关系式是什么?
讨论:上面的两个函数有什么共同特征?底数是什 么?指数是什么? (2)根据两个函数的图象的特征,归纳出这两个 1 指数函数的性质. 变底数为 3 或 后呢? 3

新知:根据图象归纳指数函数的性质. a>1 0<a<1 图 象 (1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

性 质 新知:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数 函数(exponential function) ,其中 x 是自变量,函 数的定义域为 R. 反思:为什么规定 a >0 且 a ≠1 呢?否则会出现什 么情况呢?

※ 典型例题
x a ? 0, 且a ? 1 ) 例 1 函数 f ( x) ? a ( 的图象过点 (2, ? ) , 求 f (0) , f ( ?1) , f (1) 的值.

试试:举出几个生活中有关指数模型的例子?

2008 年下学期◆高一





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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

y ? ? (t ) 的定义域确定.

小结:①确定指数函数重要要素是 ② 待定系数法. 例 2 比较下列各组中两个值的大小: (1) 20.6 , 20.5 ; (2) 0.9?2 ,0.9?1.5 ; (3) 2.10.5 ,0.52.1 ; (4) ?
2? 3



学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

与1 .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 函数 y ? (a2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数,则 a 的值为 ( ). A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 任意值 x?2 2. 函数 f(x)= a ? 1 (a>0,a ≠ 1) 的图象恒过定点 ( ). A. (0,1) B. (0, 2) C. (2,1) D. (2, 2) 3. 指数函数① f ( x) ? m x ,② g ( x) ? n x 满足不等式 0 ? m ? n ? 1 ,则它们的图象是( ).

小结:利用单调性比大小;或间接利用中间数.

※ 动手试试 练 1. 已知下列不等式,试比较 m、n 的大小: 2 2 (1) ( )m ? ( )n ; (2) 1.1m ? 1.1n . 3 3

4. 比较大小: (?2.5) 3

2

(?2.5) 5 .

4

1 5. 函数 y ? ( ) x ? 1 的定义域为 9

.

课后作业
1. 求函数 y= 练 2. 比较大小: (1) a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8 ; (2) 10 , 0.4?2.5 , 2 ?0.2 , 2.51.6 .

1 5
x 1? x

的定义域.

?1

三、总结提升 ※ 学习小结 ①指数函数模型应用思想;②指数函数概念;③指 数函数的图象与性质;③单调法. ※ 知识拓展
因为 y ? a x (a ? 0,且a ? 1) 的定义域是 R, 所以
y ? a f ( x) (a ? 0,且a ? 1) 的定义域与 f ( x) 的定义域

2. 探究: 在[m, n]上,f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域?

相 同 . 而 y ? ? (a x ) (a ? 0,且a ? 1) 的 定 义域 ,由
8

基本初等函数学案

§ 2.1.2 指数函数及其性质(2)
学习目标
1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质; 2. 掌握指数型函数的定义域、值域,会判断其单调 性; 3. 培养数学应用意识.

小结:学会读题摘要;掌握从特殊到一般的归纳法. 试试:2007 年某镇工业总产值为 100 亿,计划今后 每年平均增长率为 8%, 经过 x 年后的总产值为原来 的多少倍?多少年后产值能达到 120 亿?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P57~ P60,找出疑惑之处) 复习 1:指数函数的形式是 其图象与性质如下 a>1 0<a<1 图 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4) 单调性:

小结:指数函数增长模型. 设原有量 N,每次的增长率为 p,则经过 x 次增 长后的总量 y= . 我们把形如 y ? ka x ,
(k ? R, a ? 0, 且a ? 1) 的函数称为指数型函数.

例 2 求下列函数的定义域、值域: (1) y ? 2 x ? 1 ; (2) y ? 3
5 x ?1

; (3) y ? 0.4 x ?1 .

1

复习 2:在同一坐标系中,作出函数图象的草图: 1 1 1 y ? 2 x , y ? ( ) x , y ? 5 x , y ? ( ) x , y ? 10x , y ? ( ) x . 2 5 10

变式:单调性如何?

思考:指数函数的图象具有怎样的分布规律? 小结:单调法、基本函数法、图象法、观察法. 试试:求函数 y ? 2? x ? 论其单调性.
1 的定义域和值域,并讨 2

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 我国人口问题非常突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界人口.因此,中 国的人口问题是公认的社会问题. 2000 年第五次人 口普查,中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%. 为了有效地控制人口过快增长, 实行计划生育 成为我国一项基本国策. (1)按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年 起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? (2) 从 2000 年起到 2020 年我国人口将达到多少?

2008 年下学期◆高一





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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

※ 动手试试
练 1. 求指数函数 y ? 2x 其单调性.
2

行研究. 在求值域的过程中,配合一些常用求值域 的方法,例如观察法、单调性法、图象法等.
?1

学习评价
的定义域和值域, 并讨论

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

) .

练 2. 已知下列不等式,比较 m, n 的大小. (1) 3m ? 3n ; (2) 0.6m ? 0.6n ; (3) am ? an (a ? 1) ; (4) am ? an (0 ? a ? 1) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 如果函数 y=ax (a>0,a ≠ 1) 的图象与函数 y=bx (b>0,b≠1)的图象关于 y 轴对称,则有( ). A. a>b B. a<b C. ab=1 D. a 与 b 无确定关系 - 2. 函数 f(x)=3 x-1 的定义域、值域分别是( ). A. R, R ? B. R, (0, ??) C. R, (?1, ??) D.以上都不对 3. 设 a、b 均为大于零且不等于 1 的常数,则下列 说法错误的是( ). - A. y=ax 的图象与 y=a x 的图象关于 y 轴对称? - B. 函数 f(x)=a1 x (a>1)在 R 上递减 C. 若 a 2 >a 2 ?1 ,则 a>1 ? D. 若 2 x >1,则 x ? 1 4. 比较下列各组数的大小:
3 ? 2 ?1 3 0.76 (0.4)2 ; ( ) ( ) 2 5 3 5. 在同一坐标系下, 函数 y=ax, x x x y=b , y=c , y=d 的图象如右 图,则 a、b、c、d、1 之间从 小到大的顺序是 .

?0.75 ( 3) .

练 3. 一片树林中现有木材 30000 m3,如果每年增 长 5%,经过 x 年树林中有木材 y m3,写出 x,y 间 的函数关系式,并利用图象求约经过多少年,木材 可以增加到 40000m3.

课后作业
1. 已知函数 f(x)=a-

2 (a∈R),求证:对任何 2 ?1 a ? R , f(x)为增函数.
x

三、总结提升 ※ 学习小结
1. 指数函数应用模型 y ? ka x (k ? R, a ? 0且a ? 1) ; 2. 定义域与值域; 2. 单调性应用(比大小).

※ 知识拓展
形 如 y ? a f ( x) (a ? 0,且a ? 1) 的 函 数 值 域 的 研 究,先求得 f ( x) 的值域,再根据 a t 的单调性,列 出简单的指数不等式,得出所求值域,注意不能忽 视 y ? a f ( x) ? 0 . 而 形 如 y ? ? ( ax ) (a ? 0 ,且 a ? 1) 的函数值域的研究, 易知 a x ? 0 , 再结合函数 ? (t ) 进

2x ? 1 的定义域和值域,并讨论函数 2x ? 1 的单调性、奇偶性.
2. 求函数 y ?

10

基本初等函数学案

§ 2.2.1 对数与对数运算(1)
学习目标
1. 理解对数的概念; 2. 能够说明对数与指数的关系; 3. 掌握对数式与指数式的相互转化.

新知:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm). 记作 x ? loga N ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数
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试试:将复习 2 及问题中的指数式化为对数式.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P62~ P64,找出疑惑之处) 复习 1:庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭. (1)取 4 次,还有多长? (2)取多少次,还有 0.125 尺?

新知:我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数 (common logarithm) , 并把常用对数 log10 N 简记为 lgN 在 科 学 技 术 中 常 使 用 以 无 理 数 e=2.71828??为底的对数, 以 e 为底的对数叫自然 对数,并把自然对数 loge N 简记作 lnN
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试试:分别说说 lg5 、lg3.5、ln10、ln3 的意义.

复习 2:假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元, 如果每年平均增长 8%,那么经过多少年国民生产 是 2002 年的 2 倍? (只列式)

反思: (1)指数与对数间的关系? a ? 0 ,a ? 1 时, a x ? N ? (2)负数与零是否有对数?为什么? (3) log a 1 ? , log a a ?

. .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:对数的概念 问题:截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿. 如果 今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么多少 年后人口数可达到 18 亿,20 亿,30 亿?

※ 典型例题 例 1 下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. 1 (1) 53 ? 125 ; (2) 2?7 ? ; (3) 3a ? 27 ; 128 (4) 10?2 ? 0.01 ; (5) log 1 32 ? ?5 ;
2

(6)lg0.001= ?3 ;

(7)ln100=4.606.

变式: log 1 32 ? ? lg0.001=? 讨论: (1)问题具有怎样的共性? (2) 已知底数和幂的值, 求指数 怎样求呢?例如: 由 1.01x ? m ,求 x.
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2

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

小结:注意对数符号的书写,与真数才能构成整体. 例 2 求下列各式中 x 的值: 2 (1) log64 x ? ; (2) log x 8 ? ?6 ; 3 (3) lg x ? 4 ; (4) ln e3 ? x .

化计算,他多年潜心研究大数字的计算技术,终于 独立发明了对数.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 log 2 x ? 3 ,则 x ? ( ). A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
2. log(
n ?1 ? n )

( n ?1 ? n) = (

).

A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 3. 对数式 loga ?2 (5 ? a) ? b 中,实数 a 的取值范围是 ( ). A. (??,5) B.(2,5) C. (2, ??) D. (2,3) ? (3,5) 小结:应用指对互化求 x. 4. 计算: log
2 ?1

(3 ? 2 2) ?

.

5. 若 log x ( 2 ? 1) ? ?1 , 则 x=________ , 若

※ 动手试试 练 1. 求下列各式的值.
(1) log5 25 ; (2) log 2

log ?8y ,则 y=___________. 2

1 ; (3) lg 10000. 16

课后作业
1. 将下列指数式化成对数式,对数式化成指数式. 1 (1) 35 ? 243 ; (2) 2?5 ? ; (3) 4a ? 30 32 1 (4) ( )m ? 1.03 ; (5) log 1 16 ? ?4 ; 2 2 (6) log 2 128 ? 7 ; (7) log3 27 ? a .

练 2. 探究 loga an ? ?

a l o agN ? ?

三、总结提升 ※ 学习小结 ①对数概念;②lgN 与 lnN;③指对互化;④如何求 对数值 ※ 知识拓展 对数是中学初等数学中的重要内容,那么当初是 谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上, 一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪 初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550-1617 年)男爵. 在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳 中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的 热门学科. 可是由于当时常量数学的局限性,天文 学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的 “天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵 时间. 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简
2. 计算: (1) log9 27 ; (2) log3 243 ; (3) log 4 3 81 ; (3) log(2?
3)

(2 ? 3) ;

(4) log 3 4 625 .
5

12

基本初等函数学案

§ § 2.2.1 对数与对数运算(2)
学习目标
1. 掌握对数的运算性质, 并能理解推导这些法则的 依据和过程; 2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..

反思: 自然语言如何叙述三条性质? 性质的证明思路? (运用转化思想,先通过假设,将对数式化成指数 式,并利用幂运算性质进行恒等变形;然后再根据 对数定义将指数式化成对数式 )
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学习过程
一、课前准备 (预习教材 P64~ P66,找出疑惑之处) 复习 1: (1)对数定义:如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做 ,记作 . (2)指数式与对数式的互化: ax ? N ? . 复习 2:幂的运算性质. (1) a m ?a n ? ; (2) (a m )n ? (3) (ab) ?
n

※ 典型例题 例 1 用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式:
(1) log a

xy ; z2

(2) log a

x3 y
5

z

.



.

复习 3: 根据对数的定义及对数与指数的关系解答: 例 2 计算: (1)设 log a 2 ? m , log a 3 ? n ,求 a m? n ; (1) log5 25 ; (2) log0.4 1 ; (2)设 log a M ? m , loga N ? n ,试利用 m 、 n 表 8 5 (3) log2 (4 ? 2 ) ; (4)lg 9 100 . 示 log a ( M · N ) .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:对数运算性质及推导 问题: 由 a p aq ? a p?q , 如何探讨 log a MN 和 log a M 、 log a N 之间的关系?
问题:设 log a M ? p , loga N ? q , 由对数的定义可得:M= a p ,N= a q ∴MN= a p a q = a p ? q , ∴ log a MN=p+q,即得 log a MN= log a M + log a N 根据上面的证明,能否得出以下式子? 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? log a N ; M (2) loga ? loga M ? loga N ; N (3) loga M n ? n loga M (n ? R) .
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探究: 根据对数的定义推导换底公式 log a b ?

log c b log c a

( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) .

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

试试:2000 年人口数 13 亿,年平均增长率 1℅, 多少年后可以达到 18 亿?

③ 对数恒等式: logan N n ? loga N ,

※ 动手试试 练 1. 设 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,试用 a 、 b 表示 log5 12 .

logam N n ?

n logb c? logc a ? 1. loga N , log a b? m
) .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列等式成立的是( ) A. log2 (3 ? 5) ? log2 3 ? log 2 5
B. log2 (?10)2 ? 2log2 (?10) 变式: 已知 lg2=0.3010, lg3=0.4771, 求 lg6、 lg12. lg 3 的值.
log 2 5 C. log 2 (3 ? 5) ? log 2 3?

D. log2 (?5)3 ? ? log2 53 2. 如果 lgx=lga+3lgb-5lgc,那么( 3ab A.x=a+3b-c B. x ? 5c 3 ab C. x ? 5 D.x=a+b3-c3 c 3. 若 2lg ? y ? 2 x ? ? lg x ? lg y ,那么( A. y ? x C. y ? 3 x B. y ? 2 x D. y ? 4 x

).

).

练 2. 运用换底公式推导下列结论. 1 n (1) logam bn ? loga b ; (2) log a b ? . log m b a

4. 计算: (1) log9 3 ? log9 27 ? 1 (2) log 2 ? log 1 2 ? 2 2 5. 计算: lg
3 1 5 ? lg ? 5 2 3

; . .

课后作业
lg 243 7 练 3. 计算: (1) (2) . lg14 ? 2lg ? lg7 ? lg18 ; lg 9 3

1. 计算: lg 27 ? lg8 ? 3lg 10 (1) ; lg1.2 (2) lg2 2 ? lg 2 ? lg5 ? lg5 .

三、总结提升 ※ 学习小结 ①对数运算性质及推导;②运用对数运算性质;③ 换底公式. ※ 知识拓展
① 对数的换底公式 log a N ? ② 对数的倒数公式 log a b ?
log b N ; log b a

2. 设 a 、 b 、 c 为正数,且 3a ? 4b ? 6c ,求证: 1 1 1 . ? ? c a 2b

1 . logb a

14

基本初等函数学案

§ 2.2.1 对数与对数运算(3)
学习目标
1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题; 2. 加强数学应用意识的训练, 提高解决应用问题的 能力.

的测震仪记录的地震最大振幅是 20, 此时标准地震 的振幅是 0.001, 计算这次地震的震级(精确到 0.1) ; (2)5 级地震给人的振感已比较明显,计算 7.6 级 地震最大振幅是 5 级地震最大振幅的多少倍?(精 确到 1)

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P66~ P69,找出疑惑之处) 复习 1:对数的运算性质及换底公式. 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,则 (1) loga (MN ) ? ; M (2) log a ; ? N (3) loga M n ? . 换底公式 log a b ? .

小结:读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算. 例 2 当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确 定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的 一半,这个时间称为“半衰期” .根据些规律,人 们获得了生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间 的关系.回答下列问题: (1) 求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P, 并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是 我们所学过的何种函数? (2)已知一生物体内碳 14 的残留量为 P,试求该 生物死亡的年数 t,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是我们所学过的何种函数? (3)长沙马王墓女尸出土时碳 14 的余含量约占原 始量的 76.7%,试推算古墓的年代?

复习 2:已知 log 2 3 = a, log 3 7 = b,用 a,b 表 示 log 42 56.

复习 3:1995 年我国人口总数是 12 亿,如果人口 的年自然增长率控制在 1.25℅,问哪一年我国人口 总数将超过 14 亿? (用式子表示)

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 20 世纪 30 年代,查尔斯.里克特制订了一种表 明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震 能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲 线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级 M, 其计算公式为: M ? lg A ? lg A0 ,其中 A 是被测地 震的最大振幅, A0 是“标准地震”的振幅(使用标 准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造 成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中 100 千米

反思: ① P 和 t 之间的对应关系是一一对应;

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

1 ② P 关于 t 的指数函数 P ? (5730 ) x , 则 t 关于 P 的 2 函数为 .

则函数 f ( x) 在该区间上为凹函数, 结合图象易得到 x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) . f( 1 2)? 2 2

※ 动手试试 练 1. 计算: (1) 51?log 3 ; (2) log4 3 ? log9 2 ? log 1 4 32 .
0.2

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
1. ) .

2

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
5 A.-a
A. 3
log5 ( ? a )2

(a≠0)化简得结果是( ). B.a2 C.|a| D. a
1

2. 若 log7[log3(log2x) ]=0,则 x 2 =( B. 2 3

).

C. 2 2 D. 3 2 1 1 3. 已知 3a ? 5b ? m ,且 ? ? 2 ,则 m 之值为 a b ( ). A.15 B. 15 C.± 15 D.225 a 4. 若 3 =2, 则 log38-2log36 用 a 表示为 5. 已知 lg 2 ? 0.3010 , lg1.0718 ? 0.0301 ,则
lg 2.5 ?

.

; 210 ?

1



课后作业
练 2. 我国的 GDP 年平均增长率保持为 7.3%, 约多 少年后我国的 GDP 在 2007 年的基础上翻两番? 1. 化简:

2 (1) lg52 ? lg8 ? lg5lg 20 ? (lg 2)2 ; 3 (2) ? log2 5+log4 0.2? ? log5 2+log 25 0.5? .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 应用建模思想 (审题→设未知数→建立 x 与 y 之 间的关系→求解→验证) ; 2. 用数学结果解释现象. ※ 知识拓展 在给定区间内,若函数 f ( x) 的图象向上凸出, 则函数 f ( x) 在该区间上为凸函数, 结合图象易得到 x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; f( 1 2)? 2 2 在给定区间内,若函数 f ( x) 的图象向下凹进,

2. 若 lg ? x ? y ? ? lg ? x ? 2 y ? ? lg 2 ? lg x ? lg y ,求 的值.

x y

16

基本初等函数学案

§ 2.2.2 对数函数及其性质(1)
学习目标
1. 通过具体实例, 直观了解对数函数模型所刻画的 数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函 数是一类重要的函数模型; 2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图 象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3. 通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比 指数函数,探索研究对数函数的性质,培养数形结 合的思想方法,学会研究函数性质的方法.

新知:一般地,当 a>0 且 a≠1 时,函数 y ? log a x 叫做对数函数(logarithmic function),自变量是 x; 函数的定义域是(0,+∞). 反思: 对数函数定义与指数函数类似,都是形式定义, 注意辨别,如: y ? 2log 2 x , y ? log5 (5x) 都不是 对数函数,而只能称其为对数型函数;对数函数对 底数的限制 ( a ? 0 ,且 a ? 1) . 探究任务二:对数函数的图象和性质 问题:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提 出研究对数函数性质的内容和方法吗?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P70~ P72,找出疑惑之处) 1 复习 1:画出 y ? 2 x 、 y ? ( ) x 的图象,并以这两 2 个函数为例,说说指数函数的性质.

研究方法: 画出函数图象, 结合图象研究函数性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大 (小)值、奇偶性. 试试:同一坐标系中画出下列对数函数的图象. y ? log 2 x ; y ? log0.5 x .

反思: (1) 根据图象, 你能归纳出对数函数的哪些性质? 复习 2:生物机体内碳 14 的“半衰期”为 5730 年, a>1 0<a<1 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时,碳 14 的残余量 约占原始含量的 76.7%,试推算马王堆古墓的年代. 图 (列式) 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)单调性:

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:对数函数的概念 问题:根据上题,用计算器可以完成下表:
碳 14 的含量 P 生物死亡年数 t 讨论:t 与 P 的关系? (对每一个碳 14 的含量 P 的取值,通过对应关系 t ? log 1 P ,生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对
5730

(2)图象具有怎样的分布规律?

0.5

0.3

0.1

0.01

0.001

※ 典型例题 例 1 求下列函数的定义域: (1) y ? loga x2 ; (2) y ? loga (3 ? x) ;

2

应,从而 t 是 P 的函数)

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

变式:求函数 y ? log2 (3 ? x) 的定义域.

例 2 比较大小: (1) ln 3.4, ln8.5 ; (2) log0.3 2.8, log0.3 2.7 ; (3) log a 5.1, log a 5.9 .

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f( 1 2); 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x 当 0 ? a ? 1 时, ? f( 1 2). 2 2
当 a ? 1 时,

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a ? x 与
y ? log a x 的图象是(

).

小结:利用单调性比大小;注意格式规范.

※ 动手试试 练 1. 求下列函数的定义域. (1) y ? log0.2 (? x ? 6) ; (2) y ? 3 log2 x ? 1 .

2. 函数 y ? 2 ? log 2 x ( x ≥1) 的值域为( A. (2, ??) B. (??, 2) C. ? 2, ?? ? 3. 不等式的 log 4 x ? A. (2, ??) 1 B. ( , ??) 2 4. 比大小: (1) log 67 D. ?3, ?? ?

).

1 解集是( 2 B. (0, 2) 1 D. (0, ) 2

).

log 7 6 ; (2) log 31.5

log 2 0.8. .

练 2. 比较下列各题中两个数值的大小. (1) log 2 3和 log 2 3.5 ; (2) log0.3 4和log0.2 0.7 ; (3) log0.7 1.6和 log0.7 1.8 ; (4) log 2 3和 log3 2 .

5. 函数 y ? log ( x-1) (3- x) 的定义域是

课后作业
1. 已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: (1) log 3 m< log 3 n ; (2) log 0.3 m> log 0.3 n; (3) log a m> log a n (a>1)

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 对数函数的概念、图象和性质; 2. 求定义域; 3. 利用单调性比大小. ※ 知识拓展 对数函数凹凸性:函数 f ( x) ? loga x, (a ? 0, a ? 1) , x1 , x2 是任意两个正实数.
18

2. 求下列函数的定义域: (1) y ? log2 (3x ? 5) ; (2) y ? log0.5 4x ? 3 .

基本初等函数学案

反思:函数 x ? log 2 y 由 y ? 2 x 解出,是把指数函数
y ? 2 x 中的自变量与因变量对调位置而得出的 . 习 惯上我们通常用 x 表示自变量,y 表示函数,即写 为 y ? log 2 x . 新知:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数 的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数 的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为 反函数(inverse function) 例如:指数函数 y ? 2 x 与对数函数 y ? log 2 x 互为 反函数.

§ 2.2.2 对数函数及其性质(2)
学习目标
1. 解对数函数在生产实际中的简单应用; 2. 进一步理解对数函数的图象和性质; 3. 学习反函数的概念 ,理解对数函数和指数函数互 为反函数 ,能够在同一坐标上看出互为反函数的两 个函数的图象性质.

试试 :在同一平面直角坐标系中,画出指数函数 y ? 2 x 及其反函数 y ? log 2 x 图象,发现什么性质?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P72~ P73,找出疑惑之处) 复习 1: 对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 图象和性质. a>1 0<a<1 图 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)单调性: 反思: ( 1 )如果 P0 ( x0 , y0 ) 在函数 y ? 2 x 的图象上,那么 P0 关于直线 y ? x 的对称点在函数 y ? log 2 x 的图象 上吗?为什么?

复习 2:比较两个对数的大小. (1)log10 7 与 log10 12 ;(2)log 0.5 0.7 与 log0.5 0.8 .

(2)由上述过程可以得到结论:互为反函数的两 个函数的图象关于 对称.

※ 典型例题 例 1 求下列函数的反函数: (1) y ? 3x ; (2) y ? loga ( x ? 1) .

复习 3:求函数的定义域. 1 (1) y ? ; (2) y ? log a (2 x ? 8) . 1 ? log 3 2 x

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:反函数 问题:如何由 y ? 2 x 求出 x?
小结: 求反函数的步骤 (解 x →习惯表示→定义域) 变式:点 (2,3) 在函数 y ? loga (x ? 1) 的反函数图象 上,求实数 a 的值.

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

惟一的值和它对应,从而单调函数才具有反函数 . 反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是 原函数的定义域,即互为反函数的两个函数,定义 域与值域是交叉相等. 例 2 溶液酸碱度的测量问题:溶液酸碱度 pH 的计 算公式 pH ? ? lg[ H ? ] ,其中 [ H ? ] 表示溶液中氢离 子的浓度,单位是摩尔/升. (1)分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的 变化关系? (2)纯净水 [ H ? ] ? 10?7 摩尔/升,计算其酸碱度.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

小结:抽象出对数函数模型,然后应用对数函数模 型解决问题,这就是数学应用建模思想.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 y ? log 0.5 x 的反函数是( ). A. y ? ? log0.5 x B. y ? log 2 x 1 C. y ? 2 x D. y ? ( ) x 2 2. 函数 y ? 2 x 的反函数的单调性是( ). A. 在 R 上单调递增 B. 在 R 上单调递减 C. 在 (0, ??) 上单调递增 D. 在 (0, ??) 上单调递减
3. 函数 y ? x 2 ( x ? 0) 的反函数是( A. y ? ? x ( x ? 0) C. y ? ? x ( x ? 0)
x

).

B. y ? x ( x ? 0) D. y ? ? x

※ 动手试试
练 1. 己知函数 f ( x) ? a ? k 的图象过点(1,3)其
x

反函数的图象过点(2,0) ,求 f ? x ? 的表达式.

4. 函数 y ? a 的反函数的图象过点 (9, 2) ,则 a 的 值为 . 5. 右 图 是 函 数 y ? l o g a1 x ,

y ? loga2 x
间的关系为 练 2. 求下列函数的反函数. (1) y= ( 2) (x∈R); x (2)y= log a (a>0,a≠1,x>0) 2
x

y ? loga3 x

, .

y ? loga4 x 的图象,则底数之

课后作业
1 的细胞每 2 小时分裂一次,即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞,按 这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以 超过 1010 个? (参考数据:lg 3 ? 0.477,lg 2 ? 0.301 ) .
1. 现有某种细胞 100 个, 其中有占总数

三、总结提升 ※ 学习小结 ① 函数模型应用思想;② 反函数概念. ※ 知识拓展 函数的概念重在对于某个范围(定义域)内的 任意一个自变量 x 的值,y 都有唯一的值和它对应. 对于一个单调函数,反之对应任意 y 值,x 也都有
ax ? b ( ac ? 0) 的反函数,并求出 cx ? d 两个函数的定义域与值域,通过对定义域与值域的 比较,你能得出一些什么结论?
2. 探究:求 y ?

20

基本初等函数学案

§ 2.2 对数函数(练习)
学习目标
1. 掌握对数函数的性质; 2. 能应用对数函数解决实际中的问题.

例 2 证明函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? 1) 在 (0, ??) 上递增.

学习过程
一、课前准备 (复习教材 P62~ P76,找出疑惑之处) 复习 1: 对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 图象和性质. a>1 0<a<1 图 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)单调性: 变式:函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? 1) 在 (??,0) 上是减函数 还是增函数?

复习 2:根据对数函数的图象和性质填空. ① 已知函数 y ? log 2 x , 则当 x ? 0 时,y ? 当 x ? 1 时,y ? ; 当 0 ? x ? 1 时,y ? 当 x ? 4 时, y ? . ② 已知函数 y ? log 1 x , 则当 0 ? x ? 1 时,y ?
3

; ; ; ; .

例 3 求函数 f ( x) ? log0.2 (?4 x ? 5) 的单调区间.

当 x ? 1 时,y ? 当 0 ? x ? 2 时,y ?

; 当 x ? 5 时,y ? ; 当 y ? 2 时,x ?

小结:数形结合法求值域、解不等式.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 判断下列函数的奇偶性. 1? x (1) f ( x) ? log ; 1? x (2) f ( x) ? ln( 1 ? x2 ? x) .
变式:函数 f ( x) ? log2 (?4 x ? 5) 的单调性是 .

小结: 复合函数单调性的求法及规律: “同增异减” .

※ 动手试试 练 1. 比较大小: (1) loga ? 和loga e (a ? 0且a ? 1) ; 1 (2) log2 和log2 (a2 ? a ? 1) (a ? R) . 2

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姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

练 2. 已知 log a (3a ? 1) 恒为正数,求 a 的取值范围.

数, 则复合后结果为增函数; 若两个函数一增一减, 则复合后结果为减函数. 为何有“同增异减”?我 们 可 以 抓 住 “ x 的 变 化 → u ? ? ( x) 的 变 化 → y ? f (u ) 的变化”这样一条思路进行分析

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是(
A. y ? x2 C. y ? aloga x (a ? 0且a ? 1) 练 3. 函数 y ? log a x 在[2,4]上的最大值比最小值 大 1,求 a 的值.
2



x x D. y ? loga a x
B. y ? ).

2

2. 函数 y ? log 1 (3 x ? 2) 的定义域是( A. [1, ??)

2 B. ( , ??) 3 2 2 C. [ ,1] D. ( ,1] 3 3 3. 若 f (ln x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x) 的表达式为( ) A. 3ln x B. 3ln x ? 4 x C. 3e D. 3e x ? 4 4.函数 f ( x) ? lg( x2 ? 8) 的定义域为 ,值域 为 . 5. 将 0.32 ,log 2 0.5 ,log0.5 1.5 由小到大排列的顺序 是 .

练 4. 求函数 y ? log3 ( x2 ? 6 x ? 10) 的值域.

课后作业
1. 若定义在区间 (?1,0) 内的函数 f ( x) ? log2a ( x ? 1) 满足 f ( x) ? 0 ,则实数 a 的取值范围.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 对数运算法则的运用; 2. 对数运算性质的运用; 3. 对数型函数的性质研究; 4. 复合函数的单调性. ※ 知识拓展 复合函数 y ? f (? ( x)) 的单调性研究, 遵循一般步 骤和结论,即:分别求出 y ? f (u ) 与 u ? ? ( x) 两个 函数的单调性,再按口诀“同增异减”得出复合后 的单调性,即两个函数同为增函数或者同为减函

1 1? x , 求函数 f ( x) 的定 ? log2 x 1? x 义域,并讨论它的奇偶性和单调性.
2. 已知函数 f ( x) ?

22

基本初等函数学案

§ 2.3 幂函数
学习目标
1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质; 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并 能进行简单的应用.

试试:判断下列函数哪些是幂函数. 1 ① y ? ;② y ? 2 x 2 ;③ y ? x3 ? x ;④ y ? 1 . x 探究任务二:幂函数的图象与性质 问题: 作出下列函数的图象: (1)y ? x ; (2)y ? x 2 ; (3) y ? x 2 ; (4) y ? x?1 ; (5 ) y ? x 3 . 从图象分析出幂函数所具有的性质.
1

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P77~ P79,找出疑惑之处) 复习 1:求证 y ? x3 在 R 上为奇函数且为增函数.

观察图象,总结填写下表:
y?x

y ? x2

y ? x3

1

y ? x2

y ? x ?1

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 复习 2:1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口年 平均增长率为 x%, 2008 年底世界人口数为 y (亿) , 写出: (1) 1993 年底、 1994 年底、 2000 年底世界人口数; (2) 2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式. 小结: 幂函数的的性质及图象变化规律: (1) 所有的幂函数在 (0, ??) 都有 定义,并且图象都过点(1,1) ; (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通 过原点,并且在区间 [0, ??) 上是 增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂 函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1 时, 幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0, ??) 上是减 函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图 象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴, 当 x 趋于 ?? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:幂函数的概念 问题:分析以下五个函数,它们有什么共同特征? (1) 边长为 a 的正方形面积 S ? a 2 ,S 是 a 的函数;
1

(2) 面积为 S 的正方形边长 a ? S 2 , a 是 S 的函数; ※ 典型例题 3 V 是 a 的函数; 例 1 讨论 f ( x) ? x 在 [0, ??) 的单调性. (3) 边长为 a 的立方体体积 V ? a , (4)某人 ts 内骑车行进了 1 km ,则他骑车的平均 速度 v ? t ?1km / s ,这里 v 是 t 的函数; (5)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数.

新知:一般地,形如 y ? x? (a ? R) 的函数称为幂函 数,其中 ? 为常数.

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)

变式:讨论 f ( x) ? 3 x 的单调性.

※ 知识拓展
幂函数 y ? x? 的图象,在第一象限内,直线 x ? 1 的右侧,图象由下至上,指数 ? 由小到大. y 轴和 直线 x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? 由小到大.
? 2
? 2

例 2 比较大小:
(2 ? a 2 ) 3 与 2 3 ; (1) (a ? 1)1.5 与 a1.5 (a ? 0) ; (2)

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

(3) 1.1 2 与 0.9 2 .

?

1

?

1

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 若幂函数 f ( x) ? x? 在 (0, ??) 上是增函数,则 ( ). A. ? >0 B. ? <0 C. ? =0 D.不能确定 2. 函数 y ? x 3 的图象是(
4

).

小结:利用单调性比大小.

※ 动手试试
练 1. 讨论函数 y ? x 3 的定义域、 奇偶性, 作出它的 图象,并根据图象说明函数的单调性.
2

A.
1 2

B.
? 1 2

C.

D.

3. 若 a ? 1.1 , b ? 0.9 ,那么下列不等式成立的是 ( ). A. a <l< b B.1< a < b C. b <l< a D.1< b < a 4. 比大小: (1) 1.32 _____1.5 2 ; (2) 5.1?2 ______ 5.09?2 . 5. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2) , 则它的 解析式为 .
1 1

课后作业
练 2. 比大小: (1) 2.3 与 2.4 ; (3) ( 2) 与 ( 3)
3 ? 2 3 ? 2
3 4 3 4

(2) 0.31 与 0.35 ; .

6 5

6 5

2 ) 1. 已知幂函数 f(x)= x 2 (p∈Z)在 (0, ?? 上是增函数, 且在其定义域内是偶函数, 求 p 的值, 并写出相应的函数 f(x).

1 3 ? p2 ? p ?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 幂函数的的性质及图象变化规律; 2. 利用幂函数的单调性来比较大小.

2. 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过 圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四次方 成正比. (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速率为 400cm3/s,求该气体通过半径为 r 的管道时,其流 量速率 R 的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5cm, 计算该气体的流量速率.
24

基本初等函数学案

第二章 基本初等函数Ⅰ(复习)
学习目标
1. 掌握指数函数、 对数函数的概念, 会作指数函数、 对数函数的图象,并能根据图象说出指数函数、对 数函数的性质; 2. 了解五个幂函数的图象及性质.

例 2 已知函数 f ( x) ? 性和单调性.

10x ? 10? x ,判断 f ( x) 的奇偶 10x ? 10? x

学习过程
一、课前准备 (复习教材 P48~ P83,找出疑惑之处) 复习 1:指数函数、对数函数、幂函数的图象和性 质?

例 3 已知定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 在 (??,0] 上是 复习 2:已知 0<a<1,试比较 a , (a ) , a 大小.
a

a a

( aa )



1 减函数,若 f ( ) ? 0 ,求不等式 f ? log4 x ? ? 0 的解 2 集.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 求下列函数的定义域:
1 (1) y ? ( ) x ? 1 ; 2 1 (2) f ( x ) ? ; log 2 ( x ? 1) ? 3

(3) f ( x) ? log2 x ?1 3x ? 2 .

※ 动手试试 练 1. 求下列函数的定义域与值域.
(1) y ? 8 2 x ?1 ;
1

(2) y ? 1 ? 2x

2008 年下学期◆高一





班级:

姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

1 2 练 2. 讨论函数 y ? ( ) x ?3 x ? 2 的单调性. 2

①y=f(|x|)的图象在 y 轴右侧(x>0)的部分与 y=f(x) 的图象相同,在 y 轴左侧部分与其右侧部分关于 y 轴对称. ②y=|f(x)|的图象在 x 轴上方部分与 y=f(x)的图象 相同,其他部分图象为 y=f(x)图象下方部分关于 x 轴的对称图形.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
2

) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 函数 y ? 2? x ?3 x ? 2 的单调递增区间为( ). 3 3 A. (??, ) B. ( , ??) 2 2 3 3 C. (??, ? ) D. (? , ??) 2 2 x 3 ) 的值是 2. 设 f (log2 x) ? 2 ( x ? 0) , 则 f( ( ) . A. 128 B. 256 C. 512 D. 8 3. 函数 y ? log 2 ( x ? x 2 ? 1) 的奇偶性为( ). A.奇函数而非偶函数 B.偶函数而非奇函数 C.非奇非偶函数 D.既奇且偶函数 1 4. 函数 y ? x?2 在区间 [ , 2] 上的最大值是 . 2 5. 若函数 y ? (log 1 a) x 为减函数,则 a 的取值范围
2

x?b ? a ? 0, b ? 0且a ? 1? . x ?b (1)求 f ( x) 的定义域; (2)讨论 f ( x) 的奇偶性; (3)讨论 f ( x) 的单调性.
练 3. 函数 f ( x) ? loga



.

课后作业
1. 按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期 利率为 r ,设本利和为 y 元,存期为 x ,写出本利 和 y 随存期 x 变化的函数解析式 . 如果存入本金 1000 元,每期利率为 2.25%,试计算 5 期后的本利 和是多少(精确到 1 元)?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 幂、指、对函数的图象与性质; 2. 指数、对数运算; 3. 函数定义域与值域; 4. 函数单调性与奇偶性; 5. 应用建模问题. ※ 知识拓展 1. 图象平移变换: ①水平平移: y=f(x±a)(a>0)的图象, 可由 y=f(x) 的图象向左或右平移 a 个单位得到. ②竖直平移: y=f(x)±b(b>0)的图象, 可由 y=f(x) 的图象向上或向下平移 b 个单位而得到. 2. 图象翻折变换:

2. 某公司经过市场调查, 某种商品在最初上市的几 个月内销路很好,几乎能将所生产的产品全部销售 出去. 为了追求最大的利润,该公司计划从当月开 始,每月让产品生产量递增,且 10 个月后设法将 该商品的生产量翻两番,求平均每月生产量的增长 率.

26

基本初等函数学案


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