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18. 2013年全国高中数学联赛浙江竞赛


预赛试题集锦(2014)
2013 年全国高中数学联赛浙江省预赛
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 集合 P ? x x ? R , x ? 1 (A) a ≥ 3 (C) a ≤ ? 1 或 a ≥ 3 2.

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?

且P?Q??, 则实数 a 取值范围为 () . Q

? ?x x ? R , x ? a ≤1? , <1? , (B) a ≤ ? 1 (D) ?1≤ a ≤ 3

若 ? ,? ? R 则 ? ? ? ? 90 ? 是 sin ? ? sin ? >1 的() . (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

3.

已知等比数列 ?an ? : a1 ? 3 ,且第一项至第八项的几何平均数为 9,则第三项是() . (A) 3 9 81 (B) 3 7 81 (C) 3 9 (D) 3 3

4.

i 为虚数单位) 为虚数单位) 已知复数 z ? x ? y i ( x ,y ? R , ,且 z 2 ? 8i ,则 z ? () .
(A) z ? 2 ? 2i (C) z ? ?2 ? 2i ,或 z ? 2 ? 2i (B) z ? ?2 ? 2i (D) z ? 2 ? 2i ,或 z ? ?2 ? 2i

5.

已知直线 AB 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A ,B 两点,M 为 AB 的中点,C 为抛物线上一个动点, 若 C0 满

???? ? ???? ? ??? ? ??? ? 足 C0 A ? C0 B ? min CA ? CB ,则下列一定成立的是() .

?

?

(A) C0 M ? AB (C) C0 A ? C0 B 6.

(B) C0 M ? l ,其中 l 是抛物线过 C0 的切线 (D) C0 M ?

1 AB 2
(D)25

某程序框图如下,当 E ? 0.96 时,则输出的 K ? () . (A)20 (B)22 (C) 24

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开始

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K=1, S=0

S=S+1/(K(K+1))

S>=E?




K=K+1

输出 K

7.

b, c 成公差非零的等差数列,则这样的整数共有()个. 若三位数 abc 被 7 整除,且 a ,

(A)4 8.

(B)6

(C)7

(D)8

已知一个立体图形的三视图如下,则该立体的体积为() . B.
3 3 2

A. 3 3

C.

9 3 2

D.

9 3 4

1

1
1

2
正视图:上下两个正方形

2

3

侧视图

俯视图:边长为 2 的 正三角形

10. 已知 f ( x), g ( x), h( x) 为一次函数,若对实数 x 满足
??1, x ? ?1 ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? ?3x ? 2, ?1 ? x ? 0 ,则 h( x) 的表达式为() 。 ??2 x ? 2, x ? 0 ?

A. h( x) ? x ?

1 2 1 2

B. h( x) ? ? x ?

1 2 1 2

C. h( x) ? ? x ?

D. h( x) ? x ?

2

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1 11. 若 tan x tan y ? 2,sin x sin y ? ,则 x ? y ? _________________。 3

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二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分)

12. 已知 f ( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ? 2 ,若当 x ? 0 时 f ( x) 恒大于零,则 k 的取值范围为_____________ 。 13. 数列 {n n}, n ? 1,2, ? ,则数列中最大项的值为______________。 14. 若 x, y ? R ,满足 2 x ? 2 x2 y 2 ? 2 y( x ? x2 ) ? x2 ? 5 ,则 x ? , y ? 。 15. 设 直 线 l 与 曲 线 y ? x3 ? x ? 1 有 三 个 不 同 的 交 点 A, B, C , 且 AB ? BC ? 5 , 则 直 线 l 的 方 程 为 _________________。 16. 若 a ? 0, b ? 0, 则 min{max(a, b,

1 1 ? 2 )} ? ________________________。 2 a b

三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分) 18. 已知抛物线 y 2 ? 4 x ,过 x 轴上一点 K 的直线与抛物线交于点 P, Q, 两点。证明,存在唯一一点 K , 使得
1 PK
2

?

1 KQ
2

为常数,并确定 K 点的坐标。

19. 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? (2b ? 1) x ? a ? 2(a, b ? R, a ? 0) 在[3,4]上至少有一个零点, 求 a 2 ? b2 的最小值。

?1? x ? 20. 设 x ? N 满足 ? ? ? x ?

2013

?

2014 . 数列 a1 , a2 ,?, a2013 是公差为 x 2013 ,首项 a1 ? ( x ? 1)2 x2012 ? 1 的等差数 2013

列; 数列 b1 , b2 ,?, b2013 是公比为

1? x b1 ? a1 ? b2 ? ? ? a2012 ? b2013 。 求证: , 首项 b1 ? ( x ? 1) x2013 的等比数列, x

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3

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四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 ) 21. 设 a, b, c ? R? , ab ? bc ? ca ? 3, 证明

a5 ? b5 ? c5 ? a3 (b2 ? c2 ) ? b3 (c2 ? a2 ) ? c3 (a2 ? b2 ) ? 9 。

22. 从 0,1,2,?,10 中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法” ,若各条线段相连 的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同,则称这样的填法为“完美填法” 。 试问:对图 1 和图 2 是否存在完美填法?若存在,请给出一种完美填法;若不存在,请说明理由。 6 10 A1 A2

5

A3 A4

7

A5 A7

1 (图 1 )

9 A6

(图 2)

A8

4

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2013 年浙江省高中数学竞赛试题解答

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一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里, 多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1. 集合 P ? {x x ? R, x ? 1 ? 1 },Q ? {x x ? R, x ? a ? 1}, 且 P ? Q ? ? ,则实数 a 取值范围为 ( A. a ? 3 C. a ? ?1 或 a ? 3 答案 C
a ? 3。



B. a ? ?1 . D. ?1 ? a ? 3

P ? {x 0 ? x ? 2}, Q ? {x a ? 1 ? x ? a ? 1}, 要使 P ? Q ? ? , 则 a ?1 ? 2 或 a ?1 ? 0 。 解得 a ? ?1 或

2. 若 ? , ? ? R, 则 ? ? ? ? 90? 是 sin ? ? sin ? ? 1 的() A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

答案 D 若 ? ? 0, ? ? 90? ? sin ? ? sin ? ? 1 。 当 ? ? ? ? 60? ? sin ? ? sin ? ? 3 ? 1 ,但 ? ? ? ? 90? 。 3. 已知等比数列{ a n }: a1 ? 3, 且第一项至第八项的几何平均数为 9,则第三项是( A. 3 9 81 B. 3 7 81
2



C.

3

9

D. 3 3

答案 B 计算得 q ? 37 , a3 ? 3 7 81 。 5. 已知直线 AB 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点, M 为 AB 的中点, C 为抛物线上一个动点,若 C0 满

???? ? ???? ? ??? ? ??? ? 足 C0 A ? C0 B ? min{CA ? CB} ,则下列一定成立的是() 。
A. C0 M ? AB C. C0 A ? C0 B 答案 B
??? ? ??? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 2 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? CA ? CB ? (CM ? AM ) ? (CM ? BM ) ? CM ? CM ( AM ? BM ) ? AM ? BM ? ???? ? 2 ???? ?2 ??? ? ??? ? ????? ? CM ? AM ? min{CA ? CB} ? CM min ? CM ? l 。

B. C0 M ? l , 其中 l 是抛物线过 C0 的切线 D. C0 M ?

1 AB 2

7. 若三位数 abc 被 7 整除,且 a , b, c 成公差非零的等差数列,则这样的整数共有()个。 A.4 B.6 C. 7 D8

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答案 D 设三位数为 (b ? d )b(b ? d ) ? 111b ? 99d (0 ? b ? 9, ?9 ? d ? 9, d ? 0), 由

7 (111b ? 99d ) ? 7 (b ? d ) ? b ? 1, d ? ?1; b ? 2, d ? ?2; b ? 3, d ? ?3; b ? 4, d ? 3, ?4;
b ? 5, d ? 2; b ? 6, d ? 1; b ? 8, d ? ?1 。所以,所有的三位数为 210, 420,630,147,840,357,567,987

8. 已知一个立体图形的三视图如下,则该立体的体积为() 。 A. 3 3 B.
3 3 2

C.

9 3 2

D.

9 3 4

3 2
1 1

2
正视图: 上下两个 正方形

2

3

侧视图

1

俯视图:边长为 2 的 正三角形

答案 D 从图中可知,立体是由两个三棱柱组成。

10. 已知 f ( x), g ( x), h( x) 为一次函数,若对实数 x 满足
??1, x ? ?1 ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? ?3x ? 2, ?1 ? x ? 0 ,则 h( x) 的表达式为() 。 ??2 x ? 2, x ? 0 ?

A. h( x) ? x ?

1 2 1 2

B. h( x) ? ? x ?

1 2 1 2

C. h( x) ? ? x ? 答案 C

D. h( x) ? x ?

h( x) ?

?2x ? 2 ? (?1) 1 ? ?x ? 。 2 2

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分)

1 11. 若 tan x tan y ? 2,sin x sin y ? , 3

6

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则 x ? y ? _______ 2k? ?

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?
3

__________。

1 1 1 解答:由 tan x tan y ? 2,sin x sin y ? ? cos x cos y ? ? cos( x ? y) ? ,所以 3 6 2

x ? y ? 2k? ?

?
3



12. 已知 f ( x) ? x2 ? ( k ? 1) x ? 2,若当 x ? 0 时 f ( x) 恒大于零,则 k 的取值范围为 ______ (??, 2 2 ? 1) _______ 。

2 2 解答由 x2 ? (k ? 1) x ? 2 ? 0 ? k ? 1 ? x ? , x ? ? 2 2 等号在 x ? 2 取得,即 x x
k ? 2 2 ?1 。
13. 数列 {n n}, n ? 1,2, ? ,则数列中最大项的值为______ 3 3 ________。
1 1 x 1 ln x x

解答 f ( x) ? x ? e

xx 所以数列最大项为第三项, 其值为 3 3 。 ? f ( x) ? 2 (1 ? ln x) ? x ? e 为极大值点, x
/

2 14. 若 x, y ? R ,满足 2 x ? 2 x2 y 2 ? 2 y( x ? x2 ) ? x2 ? 5 ,则 x ? 3 , y ? ? 。 3
解答把等式看成关于 x 的一元二次方程

2 ? ? 4( y ? 1)2 ? 20(2 y 2 ? 2 y ? 1) ? 0 ? (3 y ? 2)2 ? 0 ? y ? ? , x ? 3 。 3
15. 设直线 l 与曲线 y ? x3 ? x ? 1 有三个不同的交点 A, B, C ,且 AB ? BC ? 5 ,则直线 l 的方程为_____
y ? 2 x ? 1 ____________。

解 答 曲 线 关 于 ( 0,1 ) 点 对 称 , 设 直 线 方 程 为

y ? kx ? 1, A( x, y ) , 则

? y ? kx ? 1 ? ? 3 ? (k ? 2)(k 2 ? k ? 2) ? 0 ? k ? 2 。所求直线方程为 y ? 2 x ? 1 。 ?y ? x ? x ?1 ? 2 2 ? ? x ? ( y ? 1) ? 5

16. 若 a ? 0, b ? 0, 则 min{max(a, b, 解答 max{a, b,

1 1 ? 2 )} ? _______ 3 2 _________________。 2 a b

1 1 1 1 2 ? 2 } ? m ? a ? m, b ? m, 2 ? 2 ? m ? m ? 2 ? m ? 3 2 ,所以 2 a b a b m 1 1 ? )} ? a 2 b2
3

min{max(a, b,

2。

三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分) 18. 解答设 K ( a , 0 ) ,过 K 点直线方程为 y ? k ( x ? a ) ,交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 联立方程组
? y2 ? 4x 2(ak 2 ? 2) ? k 2 x2 ? 2(ak 2 ? 2) x ? a 2 k 2 ? 0 ? x1 ? x2 ? , x1 x2 ? a 2 ?5 分 ? k2 ? y ? k ( x ? a)

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2 ??????????????7 分 ? PK 2 ? ( x1 ? a)2 ? y12 , KQ2 ? ( x2 ? a)2 ? y2

a 1? k2 1 1 ? ? ? 2 2 2 ,????????????????????12 分 PK 2 KQ2 a (1 ? k )
令a ? 2 ?
1 1 1 ? ? , K (2,0) 。????????????????17 分 2 2 4 PK KQ

19.解法 1 由已知得,设 t 为二次函数在[3,4]上的零点,则有 at 2 ? (2b ? 1)t ? a ? 2 ? 0 ,变形

(2 ? t )2 ? [a(t 2 ? 1) ? 2bt ]2 ? (a2 ? b2 )((t 2 ? 1)2 ? t 2 ) ? (a2 ? b2 )(1 ? t 2 )2 ,??5 分
t?2 2 1 1 ) ? ? 于是 a 2 ? b2 ? ( ,???????????12 分 2 5 1? t (t ? 2 ? ? 4)2 100 t?2

因为 t ? 2 ?

5 2 3 2 2 , t ? [3, 4] 是减函数,上述式子在 t ? 3, a ? ? , b ? ? 时取等号,故 a ? b 的最小值为 t ?2 25 50

1 。????????????????????????17 分 100
解法 2 把等式看成关于 a , b 的直线方程 : ( x2 ? 1)a ? 2xb ? x ? 2 ? 0 ,利用直线上一点( a , b )到原点的 距离大于原点到直线的距离,即 a 2 ? b2 ?

x?2 ( x2 ? 1)2 ? (2 x)2

(以下同上) 。

20. 解:首先, ai ? ( x ? 1)2 x2012 ? 1 ? (i ? 1) x2013 ,

-----------------2 分

1 ? x i ?1 bi ? ( x ? 1) x2013 ( ) ? ( x ? 1)i x2014?i 。-----------------4 分 x 1? x i bi ?1 ? bi ? x2013 ( ) ????????????????6 分 x
用归纳法证明 ai ? bi ? x2013

2014 ? i ,1 ? i ? 2013 。 2013

由于 a1 ? b1 ? x2013 ? x2012 ? 1 ? x2013 ,即 i=1 成立。????????8 分 假设 1 ? i ? 2012 成立,

1? x i 则 ai ?1 ? bi ?1 ? (ai ?1 ? ai ) ? (bi ?1 ? bi ) ? (ai ? bi ) ? x2013 ? x2013 ( ) ? (ai ? bi ) x 1 ? x 203 1 ? x2013 ? x2013 ( ) ? (ai ? bi ) ? ? x2013 ? (ai ? bi ) x 2013

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? ? x2013 1 2013 ? i ? 1 2013 2014 ? (i ? 1) 。???????14 分 ? x2013 ?x 2013 2013 2013

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所以, ai ? bi , i ? 1, 2,?, 2013 。 归纳证明 bi ?1 ? ai , i ? 1, 2,?, 2012 ,首先 b2 ? a1 ? 1 ? 0 ,假设 1 ? i ? 2011 成立, 则

bi ? 2 ? ai ?1 ? (bi ? 2 ? bi ?1 ) ? (ai ?1 ? ai ) ? (bi ?1 ? ai )

1 ? x i ?1 ? x2013 ( ) ? x2013 ? (b i ?1 ?ai ) ? 0 。????????????????17 分 x
故命题成立。 四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 ) 21. 解答原命题等价于

(a3 ? b3 ? c3 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? 9 ,????????????10 分
又 (a3 ? b3 ? c3 )2 ? 9(

a 2 ? b2 ? c 2 3 ) , ???????????????????20 分 3

故只需要证明 a 2 ? b2 ? c2 ? 3 成立。???????????????????25 分 利用已知条件,这是显然的。 22.解答对图 1,上述填法即为完美(答案不唯一) 。????????????10 分 对于图 2 不存在完美填法。因为图中一共有 10 条连线,因此各连线上两数之差的绝对值恰好为, 1,2,3,??,10,??????????????????????? 15 分 其和 s ? a1 ? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ? a8 ? 55 为奇数。?????? 20 分

另一方面,图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述 S 的表达式中出 现偶数次。因此 S 应为偶数,矛盾。???????????????25 分 所以,不存在完美填法。

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