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唐山市2012—2013学年度高三年级第二次模拟考试文科数学参考答案


唐山市 2012—2013 学年度高三年级第二次模拟考试

文科数学参考答案
一、选择题 A 卷:BDCCB BABAD CA B 卷:DABBC ACBDD BC 二、填空题 (13)54 (14)6 (15)100? (16)100 三、解答题 (17)解: (Ⅰ)由余弦定理知 c2-a2-b2=-2abcos C, 1 3 又△ABC 的面积

S= absin C= (c2-a2-b2), 2 4 1 3 所以 absin C= (-2abcos C),得 tan C=- 3. 2 4 2? 因为 0<C<π,所以 C= . …6 分 3 a b c (Ⅱ)由正弦定理可知 = = =2, sin A sin B sin C ? 所以有 a+b=2sin A+2sin B=2,sin A+sin -A =1, 3 2? ? ? ? ? 展开整理得,sin +A =1,且 < +A< ,所以 A= . …12 分 3 3 3 3 6 (18)解: (Ⅰ)由题意可得列联表: 语文优秀 语文不优秀 总计 60 100 160 外语优秀 140 500 640 外语不优秀 200 600 800 总计 800(60×500-100×140)2 因为 K2= =16.667>10.828. 160×640×200×600 所以能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外 语有关系. …6 分 (Ⅱ)设其他学生为丙和丁,4 人分组的所有情况如下表 1 2 3 4 5 6 小组 收集成绩 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 数据处理 丙丁 乙丁 乙丙 甲丁 甲丙 甲乙 分组的情况总共有 6 种,学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理占 2 种,所以 2 1 学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理的概率是 P= = . …12 分 6 3 (19)解: (Ⅰ)连接 B1C 交 BC1 于点 P,连接 PD. 由于 BB1C1C 是平行四边形,所以 P 为为 B1C 的中点

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文科数学答案 第 1 页(共 4 页)

因为 D 为 AC 的中点,所以直线 PD∥B1A, 又 PD?平面 B1CD,B1A?平面 BC1D, 所以 AB1∥平面 BC1D.
B1 A1 C1 P

…6 分

B D A

C

1 (Ⅱ)直三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V1= ×2×2×2=4. 2 三棱锥 C1-BDC 的体积 V2 与三棱锥 A1-BDA 的体积 V3 相等, 1 1 1 2 V2=V3= × × ×2×2×2= . 3 2 2 3 8 所以几何体 BDA1B1C1 的体积 V=V1-V2-V3= . 3 (20)解: 1 m x-m (Ⅰ)f ?(x)= - 2 = 2 . x x x 2-m m 则 f ?(2)= ,f (2)=ln 2+ . 4 2 2-m m 则曲线 y=f (x)在(2,f (2))处的切线为 y= (x-2)+ln 2+ , 4 2 2-m 即 y= x+m-1+ln 2. 4 依题意,m-1+ln 2=ln 2,所以 m=1. 1 故 f (x)=ln x+ . x x-1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f (x)=ln x+ ,f ?(x)= 2 . x x 1 当 x∈ ,1 时,f ?(x)≤0,f (x)单调递减,此时,f (x)∈[1,2-ln 2]; 2 1 当 x∈[1,5]时,f ?(x)≥0,f (x)单调递增,此时,f (x)∈ 1,ln 5+ . 5 1 9 9 1 因为 ln 5+ -(2-ln 2)=ln 10- >ln e2- = , 5 5 5 5 1 所以 ln 5+ >2-ln 2. 5 1 因此,f (x)的取值范围是 1,ln 5+ . 5 (21)解: (Ⅰ)设圆 C 的圆心坐标为(x,y),则其半径 r= x2+(y-1)2.

…12 分

…3 分

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…10 分

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…12 分

文科数学答案 第 2 页(共 4 页)

依题意,r2-y2=1,即 x2+(y-1)2-y2=1, 整理得曲线 E 的方程为 x2=2y. 1 1 (Ⅱ)设 A (x1,y1),B (x2,y2),则 y1= x2,y2= x2. 2 1 2 2 1 设直线 m 方程为 y=kx+ ,代入曲线 E 方程,得 2 x2-2kx-1=0,则 x1+x2=2k. 1 对 y= x2 求导,得 y?=x. 2 1 1 于是过点 A 的切线为 y=x1(x-x1)+ x2,即 y=x1x- x2. 2 1 2 1 1 由①同理得过点 B 的切线为 y=x2x- x2. 2 2 设 C (x0,y0),由①、②及直线 m 方程得 x1+x2 1 1 x0= =k,y0=x1x0- x2=- . 1 2 2 2 1 M 为抛物线的焦点,y=- 为抛物线的准线,由抛物线的定义,得 2 1 1 |AB|=y1+ +y2+ =k(x1+x2)+2=2(k2+1). 2 2 1 kx0-y0+ 2 点 C 到直线 m 的距离 d= = k2+1. 2 k +1 1 所以△ABC 的面积 S= |AB|·d=(k2+1) k2+1. 2

…4 分

…6 分

① ②

…8 分

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…10 分

由已知(k2+1) k2+1=2 2,有且仅有 k=±1. 1 故直线 m 的方程为 y=±x+ . 2 (22)证明: ︵ (Ⅰ)连接 BD,因为 D 为BC的中点,所以 BD=DC. 因为 E 为 BC 的中点,所以 DE⊥BC. 因为 AC 为圆的直径,所以∠ABC=90?, 所以 AB∥DE.
B D E A O C

…12 分

…5 分

︵ (Ⅱ)因为 D 为BC的中点,所以∠BAD=∠DAC, 又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB. 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD. AC AD 所以 = ,AD·CD=AC·CE,2AD·CD=AC·2CE, CD CE 因此 2AD·CD=AC·BC.
文科数学答案 第 3 页(共 4 页)

…10 分

(23)解: x2 y2 (Ⅰ)将椭圆 C 的参数方程化为普通方程,得 + =1. 4 3 a=2,b= 3,c=1,则点 F 坐标为(-1,0). l 是经过点(m,0)的直线,故 m=-1. (Ⅱ)将 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程,并整理,得 (3cos2α+4sin2α)t2-6tcos α-9=0. 设点 A,B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1,t2,则 9 9 |FA|·|FB|=|t1t2|= = . 3cos2α+4sin2α 3+sin2α 当 sin α=0 时,|FA|·|FB|取最大值 3; 9 当 sin α=±1 时,|FA|·|FB|取最小值 . 4 (24)解: (Ⅰ)当 a=2 时, x<-4, ?12, ? f (x)=2(|x-2|-|x+4|)=?-4x-4,-4≤x≤2, ? x>2. ?-12, 当 x<-4 时,不等式不成立; 3 当-4≤x≤2 时,由-4x-4<2,得- <x≤2; 2 当 x>2 时,不等式必成立. 3 综上,不等式 f (x)<2 的解集为 x|x>- . 2 (Ⅱ)因为 f (x)=|ax-4|-|ax+8|≤|(ax-4)-(ax+8)|=12, 当且仅当 ax≤-8 时取等号. 所以 f (x)的最大值为 12. 故 k 的取值范围是[12,+∞).

…4 分

…10 分

{

}

…6 分

…10 分

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