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指数函数及其性质1


2.1.2《指数函数及其性质》

教学目标
1 .掌握指数函数的概念,图象和性质; 2 .能由指数函数图象归纳出指数函数的性质; 3 .指数函数性质的简单运用。 教学重点与难点 重点:指数函数的概念及它的图象和性质。 难点:底数a对于函数值变化的影响。 教学方法:导学法

设计问题,引入概念

指数函数

尝试画图,观察探究
总结指数函数的性质 指数函数性质的简单运用 小结方法,形成知识系统 布置作业

情景设计

指数函数 传说古代印度有一个国王喜爱象棋,中 国智者云游到此,国王得知智者棋艺高超, 于是派人请来智者与其对弈,并且傲慢地 说:“如果你赢了,我将答应你任何要求.” 智者心想:我应治一治国王的傲慢,当国王 输棋后,智者说:陛下只须派人用麦粒填满 象棋上所有空格,第1格2粒,第2格4粒,第3 格8粒, ……,以后每格是前一格粒数的2 倍。国王说,这太简单了,吩咐手下马上去 办,过了好多天,手下惊慌报告说:不好 了。你猜怎样?原来经计算,印度近几 十年的麦子加起来还不够。求格数与此 格上麦粒数的关系。

情景设计

指数函数

此题即求第x格上麦粒数的个数y 分析:

表达式: y ? 2

x

研究:由表达式知道,引起麦粒数y变化的是格
数,而格数x出现在指数上,象这种自变量出现 在指数上的函数就是指数函数。

类推: 指数函数的定义

引入定义

指数函数
(a ? 0且a ? 1)
叫做指数函数。

函数

y ? ax

思考:下列函数中指数函数的个数是: x?1 x 1) 3)

y ? ?3

y ?3

2)

y ? (?3)

x

4)

y?x

3

答案:0个

了解

指数函数 为什么规定底数a大于0且不等于1?

(1)

如果a ? 0, 则当x ? 0时, a x ? 0; 当x ? 0时,a 无意义
x

(2)

1 1 如果a ? 0,例如y ? (?4) , 则x ? , x ? 时, 2 4 在实数范围之内函数值 不存在
x

(3)

a ? 1, y ? 1x ? 1是一个常量,对于它 没有研究的必要

新课讲解
? ?

在同一坐标系画出 图象。

指数函数 1 x x y ? 2 和 y ? ( 2 ) 的函数

作图过程

指数函数的图象和性质: 在同一坐标系中分别作出如下函数的图像:
?1? y ?? ? ?2?
x

y?2
列表如下:
x … -3

x

-2 0.25 4

-1 0.5 2

-0.5 0.71 1.4

0 1 1

0.5 1.4 0.71

1 2 0.5

2 4 0.25

3 8 0.13

… … …

21

x
x

… …

0.13 8

? ? ? ? ?2?

x

… …
x

-3 0.13 8

-2 0.25 4

-1 0.5 2

-0.5 0.71
8

0 1 1

0.5 1.4 0.71

1 2 0.5

2 4 0.25

3 8 0.13

… … …

y ? 2x

?1? … y ?? ? ?2?

1.4
7

f?x? = 2x

6

5

g?x? = 0.5x

4

3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

推广到: a>1 和0<a <1

a ?1
图 y

0?a ?1

y ? ax
y=1 x

y ? ax

y


定义域: 性 值域:

(0,1) O R

(0,1) O

y=1 x

定义域:

(0,??)

R

奇偶性: 非奇非偶函数 单调性: 在R上是增函数 质 定点: 过点(0,1)

值域: (0,??) 奇偶性: 非奇非偶函数 单调性:在R上是减函数

定点:

过点(0,1)

x>0时,y>1; x<0时,0<y<1

x>0时,0<y<1; x<1时,y>1

?

例1、求下列函数的定义域 (1) y

?

?2

4 x?4

(2)

2 | x| y?( ) 3

?练习:课本58页练习2

? ?

f ( x) ? a x 例2:已知指数函数 (a>0且a≠1)的图象

过点(3,π),求

f (0), f (1), f (?3)的值.

性质应用

例3:比较大小:

指数函数

(1) 1.52.5 ,1.53.2
解:因为f(x)=1.5x在R上是增函数, 且2.5 < 3.2, 所以1.5 2.5< 1.53.2。

性质应用

例3:比较大小:
(2) 0.5-1.2,0.5-1.5

指数函数

解:因为f(x)=0.5x在R上是减函数, 且-1.2>-1.5, 所以0.5-1.2 < 0.5-1.5。

性质应用

指数函数

例3:比较大小:
(3)1.5 0.3,0.81.2
解:由指数函数的性质知1.50.3 > 1.50 =1,而 0.81.2 < 0.80 =1 所以 1.50.3 > 0.81.2

当堂达标 ? 课本59页第7题
?

性质应用

指数函数
m n

变式训练

若(0.7) ? (0.7) , 则m和n的关系( B )
y ? (0.7) x 在(??,??)为减函数 又 ? (0.7) m ? (0.7) n ? m ? n

A:m ? n B:m ? n C :m ? n D:m ? n

当堂达标: ? 课本第59页练习8
?

指数函数

小结
(1) 指数函数的定义

(2) 指数函数的图象和性质。

作业

指数函数

X
五、课后作业 课本59页第5题,第8题。

教学反思

指数函数

指数函数是我们继初中学习正比例函数,反比例函数,一次 函数,二次函数后第一个系统研究的基本初等函数。教学中,首先 创设问题情景,由一个智力故事激发学生进一步学习的兴趣,引出 了指数函数的定义, 而后用多媒体展示y=2x 和

画法,引导观察图象,归纳性质。接着再利用几何画板动态演示
指数函数的图象,使学生得到一般问题的结论,渗透了由特殊到 一般研究问题的方法,通过对a>1 和0 < a <1的讨论,渗透了分类

1 x y ? ( ) 的具体 2

讨论思想及由特殊到一般研究问题的方法。通过对例题和练习的 学习体会了指数函数模型的应用。最后小结方法,形成知识体系。



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