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2-1(数学)苏北四市2009届高三第三次调研考试


苏北四市 2009 届高三第三次调研考试
徐州、宿迁、淮安、连云港 四市联考

数学试题
注意事项: 1.本试卷分填空题和解答题两部分,共 160 分.考试用时 120 分钟.

2009.3.31

2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内.答题时,填空 题和解答题的答案写在答题纸上对应题目的空格内,答案写在试卷上无效.本卷考试结 ......... 束后,上交答题纸. 3.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 4.文字书写题统一使用 0.5 毫米及 0.5 毫米以上签字笔. 5.作图题可使用 2B 铅笔,不需要用签字笔描摹. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需写出解答过程.请把答案直接 填写在答案卷上. .... 1、已知集合 A ? ? ,m2 , B ? {?1,3,2m ?1 若 A ? B ,则实数 m 的值为 3 }, 2、若复数 z ? (2 ? i)(a ? i), (i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为 3、 一个几何体的主视图与左视图都是边长为 2 的正方形,其俯视图是直径为的圆,则该几 何体的表面积为 4、如图,给出一个算法的伪代码, Read If x

?

x? 0

Then

f?? 4 x? x

Else
x f?? 2 x?

End

If

? Pr fx int ?
则 f (?3) ? f (2) ? 5、已知直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 和l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0, 则l1 // l2 的充要条件是 a= 6、高三(1)班共有 56 人,学号依次为 1,2,3,┅,56,现用系统抽样的办法抽取一个 容量为 4 的样本,已知学号为 6,34,48 的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为 7、在一次招聘口试中,每位考生都要在 5 道备选试题中随机抽出 3 道题回答,答对其中 2 道题即为及格,若一位考生只会答 5 道题中的 3 道题,则这位考生能够及格的概率为 8、设方程 2 ? x ? 4的根为 x0 , 若x0 ? (k ?
x

1 1 , k ? ), 则整数 k ? 2 2
1

9、已知函数 f ( x) ? a log 2 ? b log 3 ? 2, 若f (
x x

1 ) ? 4.则f (2009 ) 的值为 2009

10、已知平面区域 U ? ( x, y) x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0 , A ? ( x, y) x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0 , 若向区域 U 内随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 11、 已 知 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0)上一点M( ,m) 到 其 焦 点 的 距 离 为 5 , 双 曲 线 1

?

?

?

?

x2 ?

y2 ? 1 的左顶点为 A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a= a

12、 已 知 平 面 向 量 a, b , c满足a ? b ? c ? 0, 且a与b 的夹角为 0,c与b 的 夹 角 为 135

? ? ?

? ? ?

?

?

?

?

?

? ? 1200 , c ? 2, 则 a ?
13、函数 y ? x ? 2 sin x在区间[?

2? 2? , ] 上的最大值为 3 3

14、如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则表上数字标 签:原点处标 0,点(1,0)处标 1,点(1,-1)处标 2,点(0,-1)处标 3,点(-1,-1) 处标 4,点(-1,0)标 5,点(-1,1)处标 6,点(0,1)处标 7,以此类推,则标签 2009 的格点的坐标为 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本题满分 14 分)
2

b 2 ? a 2 ? c 2 cos(A ? C ) ? 在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 . ac sin A cos A
(1)求角 A; (2)若

sin B ? 2 ,求角 C 的取值范围。 cos C

16.(本题满分 14 分) 在在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,OA⊥平面 ABCD,E 为 OA 的中点,F 为 BC 的中 点,求证: (1)平面 BDO⊥平面 ACO; (2)EF//平面 OCD.

2

17、(本题满分 14 分) 已知圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1, 直线l1过点A(3, 且与圆 O 相切。 0), (1)求直线 l1 的方程; (2)设圆 O 与 x 轴交与 P,Q 两点,M 是圆 O 上异于 P,Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴垂直 的直线为 l 2 ,直线 PM 交直线 l 2 于点 P ,直线 QM 交直线 l 2 于点 Q' 。求证:以 P 'Q' 为直径的 圆 C 总过定点,并求出定点坐标。 18、 (本题满分 16 分) 有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定。大 桥上的车距 d(m)与车速 v(km/h)和车长 l(m)的关系满足: d ? kv l ?
2
'

1 l (k 为正的常数) , 2

假定车身长为 4m,当车速为 60(km/h)时,车距为 2.66 个车身长。 (1)写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式; (2)应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多? 19、 (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 3, g ( x) ? bx (1)试求 b,c 所满足的关系式; (2)若 b=0,方程 f ( x) ? g ( x)在( , ?) 有唯一解,求 a 的取值范围; 0? (3)若 b=1,集合 A ? x f ( x) ? g ( x),且g ( x) ? 0 ,试求集合 A.
?1

1 ? cx ? 2 (a, b ? R)且g (? ) ? g (1) ? f (0). 2

?

?

20、(本题满分 16 分) 已知数列 a,b,c 为各项都是正数的等差数列,公差为 d(d>0),在 a,b 之间和 b,c 之间共插 入 m 个实数后,所得到的 m+3 个数所组成的数列 ?an ?是等比数列,其公比为 q. (1)若 a=1,m=1,求公差 d; (2)若在 a,b 之间和 b,c 之间所插入数的个数均为奇数, 求所插入的 m 个数的乘积 (用 a,c,m 表示) (3)求证:q 是无理数。

3

数学试题参考答案与评分标准
1.1 8.1 2.

1 2

3. 6? 10.

4.-8 11.

5. a ? ?1 12. 6

6.20 13. 3 ?

7.

9.0

2 9

1 4

?
3

7 10

14. (1005,1004)

b2 ? a 2 ? c 2 cos( A ? C ) 2cos B ? ?2cos B, ?? , ,……………………………… 2 分 sin A cos A sin 2 A ac b2 ? a2 ? c2 cos( A ? C ) ?2cos B 又∵ ,∴ ?2cos B ? ? , 而 ?ABC 为斜三角形, sin 2 A ac sin A cos A
15.⑴ ∵ ∵ cosB ? 0 ,∴ sin2A=1 . ∵ A ? (0, ? ) ,∴ 2 A ? ……………………………………………………………… 4 分

?
2

,A?

?
4

. …………………………………………………… 6 分
? 3π ? 3π 3π

sin ? ? C ? sin cos C ? cos sin C 3π 2 2 ?? 4 4 ⑵∵ B ? C ? ,∴ sin B ? ? 4 ? ? tan C ? 2 …12 分 4 cos C cos C cos C 2 2

即 tan C ? 1 ,∵ 0 ? C ?

3? π π ,∴ ? C ? .…………………………………14 分 4 4 2

16.⑴∵ OA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,所以 OA ? BD ,…2 分 ∵ ABCD 是菱形,∴ AC ? BD ,又 OA ? AC ? A , ∴ BD ? 平面 OAC ,……………………………………………………4 分 又∵ BD ? 平面 OBD ,∴平面 BDO ? 平面 ACO . ……………………………………6 分 ⑵取 OD 中点 M ,连接 EM ,CM ,则 ME‖ AD, ME ? ∵ ABCD 是菱形,∴ AD // BC , AD ? BC , ∵ F 为 BC 的中点,∴ CF‖ AD, CF ? ∴ ME‖ CF , ME ? CF . ∴四边形 EFCM 是平行四边形,∴ EF // CM ,………………12 分 又∵ EF ? 平面 OCD , CM ? 平面 OCD . ∴ EF‖ 平面 OCD .
1 AD ,………………10 分 2 1 AD , 2
O

E A

M

D F
C

B

………………………………………………………………14 分
2 2

17.(1)∵直线 l1 过点 A(3,0) ,且与圆 C : x ? y ? 1相切, 设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 0 , …………………………2 分 则圆心 O (0, 0) 到直线 l1 的距离为 d ? ∴直线 l1 的方程为 y ? ?

| 3k | k ?1
2

? 1 ,解得 k ? ?

2 , 4

2 2 ( x ? 3) ,即 y ? ? ( x ? 3) . …… …………………4 分 4 4

(2)对于圆方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?1 ,即 P(?1,0), Q(1,0) .又直线 l2 过点 A 且

4

与 x 轴垂直,∴直线 l2 方程为 x ? 3 ,设 M (s, t ) ,则直线 PM 方程为 y ?

t ( x ? 1). s ?1

? x ? 3, 4t 2t ? 解方程组 ? ,得 P' (3, ). 同理可得, Q' (3, ). ……………… 10 分 t s ?1 s ?1 ? y ? s ? 1 ( x ? 1) ?
∴以 P?Q? 为直径的圆 C ? 的方程为 ( x ? 3)( x ? 3) ? ( y ? 又 s 2 ? t 2 ? 1 ,∴整理得 ( x2 + y 2 - 6x + 1) +

4t 2t )( y ? ) ? 0, s ?1 s ?1

6s - 2 y = 0 ,……………………… 12 分 t

若圆 C ? 经过定点,只需令 y = 0 ,从而有 x 2 - 6 x + 1 = 0 ,解得 x ? 3 ? 2 2 , ∴圆 C ? 总经过定点坐标为 (3 ? 2 2,0) . …………………………………………… 14 分

1 2.66l ? l 2 ? 2.16 ? 0.0006, ……4 分 18.⑴因为当 v ? 60 时, d ? 2.66l ,所以 k ? 2 60 l 602
∴ d = 0.0024v 2 + 2 ………………………………………………………6 分 ⑵设每小时通过的车辆为 Q ,则 Q ?

1000v 1000 .即 Q ? 1000v ……12 分 ? d ?4 0.0024v 2 ? 6 0.0024v ? 6
v

6 6 ∵ 0.0024v ? ≥2 0.0024v ? ? 0.24 ,…………………………………………………14 分 v v
∴Q≤

1000 12500 6 12500 ,当且仅当 0.0024v ? ,即 v ? 50 时, Q 取最大值 . ? 0.24 3 v 3
y

答:当 v ? 50 ?km / h? 时,大桥每小时通过的车辆最多.………16 分 19.(1)由 g (? ) ? g (1) ? f (0) ,得 (?2b ? 4c) ? (b ? c) ? ?3 ∴b、c 所满足的关系式为 b ? c ? 1 ? 0 .……………………2 分 (2)由 b ? 0 , b ? c ? 1 ? 0 ,可得 c ? ?1 . 方程 f ( x) ? g ( x) ,即 ax ? 3 ? ? x ?2 ,可化为 a ? 3x ?1 ? x ?3 , 令 x ?1 ? t ,则由题意可得, a ? 3t ? t 3 在 (0,?? ) 上有唯一解,…4 分 令 h(t ) ? 3t ? t 3 (t ? 0) ,由 h?(t ) ? 3 ? 3t 2 ? 0 ,可得 t ? 1 , 当 0 ? t ? 1 时,由 h?(t ) ? 0 ,可知 h(t ) 是增函数;

1 2

O

x

当 t ? 1 时,由 h?(t ) ? 0 ,可知 h(t ) 是减函数.故当 t ? 1 时, h(t ) 取极大值 2 .………6 分 由函数 h(t ) 的图象可知,当 a ? 2 或 a ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) 有且仅有一个正实数解.
5

故所求 a 的取值范围是 {a | a ? 2 或 a ? 0} . ……………………………………………8 分 (3) b ? 1 ,b ? c ? 1 ? 0 , 由 可得 c ? 0 . A ? {x | f ( x) ? g ( x) 且 g ( x) ? 0} ? {x | ax ? 3 ? 由 且 x ? 0} ? {x | ax 2 ? 3x ? 1 ? 0 且 x ? 0} .…10 分 当 a ? 0 时, A ? (

1 x

3 ? 9 ? 4a 1 ,0) ;当 a ? 0 时, A ? (? ,0) ; 2a 3

当a??

2 9 9 时( ? ? 9 ? 4a ? 0 ) A ? (?? ,0) ;当 a ? ? 时, A ? {x | x ? 0 且 x ? ? } ; , 3 4 4

当?

3 ? 9 ? 4a 3 ? 9 ? 4a 9 ) ∪( ,0) . ………………………16 分 ? a ? 0 时, A ? (?? , 2a 2a 4

注:可直接通过研究函数 y ? ax ? 3 与 y ?

1 的图象来解决问题. x 20. (1)由 a ? 1 ,且等差数列 a , b, c 的公差为 d ,可知 b ? 1 ? d , c ? 1 ? 2d ,
若插入的一个数在 a, b 之间,则 1 ? d ? q 2 , 1 ? 2d ? q 3 , 消去 q 可得 (1 ? 2d ) 2 ? (1 ? d ) 3 ,其正根为 d ?

1? 5 . ………………………………2 分 2

若插入的一个数在 b, c 之间,则 1 ? d ? q , 1 ? 2d ? q 3 , 消去 q 可得 1 ? 2d ? (1 ? d ) 3 ,此方程无正根.故所求公差 d ?

1? 5 .………4 分 2

(2)设在 a, b 之间插入 l 个数,在 b, c 之间插入 t 个数,则 l ? t ? m ,在等比数列 {a n } 中, ∵ a1 ? a, al ?2 ? b ?

a?c , am?3 ? c , ak am?4?k ? a1am?3 ? ac(k ? 2,3,4, …, m ? 2) , 2
………………8 分

∴ ( a 2 a 3 … am?2 ) 2 ? (a2 am?2 )(a3 am?1 ) … (am?1a3 )(am?2 a2 ) ? (ac) m?1 又∵ q l ?1 ?

b c ? 0 , q t ?1 ? ? 0 , l, t 都为奇数,∴ q 可以为正数,也可以为负数. a b
m ?1 ? (ac) 2 ,所插入 m

①若 q 为正数,则 a 2 a 3 … a m? 2

个数的积为

m ?1 a2 a3 ? am ? 2 2 ? (ac) 2 ; b a?c

②若 q 为负数, a 2 ,a 3 , … , a m ? 2 中共有 当

m ? 1 个负数, 2

m ?1 a a ? am ? 2 2 m * ? (ac) 2 ; 是奇数,即 m ? 4k ? 2(k ? N )时,所插入 m 个数的积为 2 3 b a?c 2 m ?1 a a ? am ? 2 2 m * ?? (ac) 2 . 是偶数,即 m ? 4k (k ? N )时,所插入 m 个数的积为 2 3 b a?c 2



6

综上所述,当 m ? 4k ? 2(k ? N )时,所插入 m 个数的积为
*

m ?1 a2 a3 ? am ? 2 2 ? (ac) 2 ; b a?c

当 m ? 4k (k ? N )时,所插入 m 个数的积为
*

m ?1 a2 a3 ? am ? 2 2 ?? (ac) 2 .…………10 分 b a?c

注:可先将 a 2 ,a 3 , … , a m ? 2 用 a 和 q 表示,然后再利用条件消去 q 进行求解. (3)∵在等比数列 {a n } ,由 q l ?1 ?

b a?d d 2d ,可得 q l ?1 ? 1 ? ,同理可得 q m?2 ? 1 ? , ? a a a a

∴ q m?2 ? 1 ? 2(q l ?1 ? 1) ,即 q m?2 ? 2q l ?1 ? 1 (m ? l ) , …………………………12 分 假设 q 是有理数,若 q 为整数,∵ a , b, c 是正数,且 d ? 0 ,∴ | q |? 1 , 在 2q l ?1 ? q m?2 ? 1 中,∵ 2q l ?1 ? q m?2 是 q 的倍数,故 1 也是 q 的倍数,矛盾. 若 q 不是整数,可设 q ?

y (其中 x, y 为互素的整数, x ? 1 ) , x

则有 ( ) m?2 ? 2( ) l ?1 ? 1 ,即 y m?2 ? x m?l ?1 (2 y l ?1 ? x l ?1 ) , ∵ m ? l ,可得 m ? l ? 1 ? 1 ,∴ y m? 2 是 x 的倍数,即 y 是 x 的倍数,矛盾. ∴ q 是无理数.……………………………………16 分

y x

y x

附加题部分
? ? 21B.设 P( x0 , y0 ) 为曲线 xy ? 1 上的任意一点,在矩阵 A 变换下得到另一点 P?( x0 , y0 ) ,

? 2 2? ? ? ? 2    ? ? x0 ? ? x0 2 ? 则有 ? ? ? ? ? ? ,…………………………………………………………4 分 ?y?   ? 2 2 ? ?y0  0? ?     ?? ? ? 2 2 ?
? ? ? x0 ? ? 即? ? ? ? y0 ? ? 2 ( x0 ? y0 ), 2 2 ( y0 ? x0 ), 2 ? ? x0 ? ? ∴? ? ? y0 ? ? 2 ? ? ( x0 ? y0 ), 2 …………………………………8 分 2 ? ? ( x0 ? y0 ), 2

又因为点 P 在曲线 xy ? 1 上,所以 x0 y0 ? 1 ,
? ? 故有 x02 ? y02 ? 2 , 即所得曲线方程 x2 ? y 2 ? 2 .……………………………………… 10 分

21C.将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ,

7

即 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,它表示以 (0, 2) 为圆心,2 为半径的圆, 直线方程 l 的普通方程为 y ? 3x ? 1 , 圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ?

…………………4 分 ………………6 分

1 ,………………………………………………………8 分 2
………………………………………………10 分

1 故所求弦长为 2 2 2 ? ( ) 2 ? 15 . 2
21D.由柯西不等式可得

a cos2 ? ? b sin 2 ? ? a cos? ? cos? ? b sin ? ? sin ?
1 1 1

? [( a cos ? )2 ? ( b sin ? )2 ]2 (cos2 ? ? sin 2 ? ) 2 ? (a cos2 ? ? b sin 2 ? ) 2 ? c .…10 分
22.以点 A 为坐标原点, 以 AB, AD, AP 分别为 x, y , z 轴, 建立如图空间直角坐标系, 不妨设 AD ? 1, PA ? a, 则
???? ???? P(0,0, a), D(0,1,0), C (2, 2,0) ,∴ PD ? (0,1,0), DC = (2,1,0) ,

z
P

设 平 面 S D C的 法 向 量 为

??? ? m ? ( x, y, z ), 则 PD ? m

( A) O
B

D

y

? y ? za ? 0

① ②

x

第 22 题

C

???? DC ? m ? 2 x ? y ? 0

不妨设 z ? 2, 则 y = 2a, x = - a ,即 m ? (?a,2a,2).

……………………2 分

? ∵ PA ? 平面 ABCD, ∴ DA ? PA ,又∵ AD ∥ BC, ?ABC ? 90 , ∴ DA ? AB,

???? ???? 故 DA ? 平面 PAB, 即 AD 是平面 PAB 的一个法向量, 且 AD ? (0,1,0), ………………4 分

???? ???? m ? AD ∵ cos ? m , AD ?? ???? = m ? AD

2a 4 ? 5a 2

,

……………………………………6 分

又∵平面 PDC 与平面 PAB 所成二面角的余弦值为 ∴

6 , 3

2a 4 ? 5a
2

?

6 PA , 解得 a ? 2 ,∴ ? 2 .……………………………………10 分 AD 3
(n ? 1)! n! ?1 ?n? ? nA k ?1 (2 ? k ? n) ,……………2 分 n (n ? k )! [( n ? 1) ? (k ? 1)]!

23. (1)∵ A k ? n

∴当 n ? 2 时,

an 1 1 ? (A1 ? A 2 ? ? ? A n ) = [n ? (nA1 ?1 ? ? ? nA n?1 )] n n n n n?1 n n n
8

? 1 ? (A1 ?1 ? ? ? A n?1 ) ? 1 ? an?1 . n n?1

an . ……………………………………………………4 分 n a a n ?1 a a a 1 1 1 1 )? 2 ? 3 ? 4 … (2)∵ a n?1 ? 1 ? n ,∴ (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? a1 a2 a3 an 2a1 3a 2 4a3 ( n ? 1) a n n a 1 1 1 1 ? n ?1 ? ? … ? ? 1 ? 1 …………6 分 (A1 ?1 ? A 2?1 ? ? ? A n?1 ) ? ? n n n?1 (n ? 1)! ? n ? 1?! n! (n ? 1)! 2!
∴ a n?1 ? 1 ?
? 1 n(n - 1) 1 1 + …? ?2 (n - 1)( n - 2) 2 ?1

?(

1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ? … ? (1 ? ) ? 2 ? 3 ? . n ?1 n n ?1 n ? 2 2 n
1 1 1 ? ? … + + 1+ 1? 3 n! (n ? 1)! 2!

………10 分

注:用数学归纳法来证明

1 ,若正确,同样得 4 分. n

9

10

11

12

13


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