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【数学】高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条






1.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 2.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的 轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若 在椭

圆 . 6.若 在椭圆 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 . 上,则过 的椭圆的切线方程是

P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 7.椭圆 任意一点 . 8.椭圆 , (a>b>0)的焦半径公式: ( ,

(a>b>0)的左右焦点分别为 F1, 2, P 为椭圆上 F 点 ,则椭圆的焦点角形的面积为

).

9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一 个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长 轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11.AB 是椭圆 则 12.若 的不平行于对称轴的弦, M ,即 在椭圆 . 13.若 在椭圆 . 双曲线 1.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. 内切: ( P 在右支;外切:P 在左支) 5.若 在双曲线 (a>0,b>0)上,则过 的双曲 . 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 。 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 为 AB 的中点,

线的切线方程是

6.若

在双曲线

(a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双

曲线的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方 程是 7.双曲线 . (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P ,则双曲线的焦点角形

为双曲线上任意一点 的面积为 8.双曲线 当 当 .

(a>0,b>o) 的焦半径公式: ( 在右支上时, 在左支上时, , , .

,

9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线 长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲 线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于 点 N,则 MF⊥NF. 11.AB 是双曲线 M (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦, ,即

为 AB 的中点,则 。

12.若

在双曲线

(a>0,b>0)内,则被 Po 所平 . (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦 .

分的中点弦的方程是 13.若 在双曲线

中点的轨迹方程是 椭圆 1.椭圆

(a>b>o)的两个顶点为

,

,与 y

轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹 方程是 2.过椭圆 . (a>0, b>0)上任一点 任意作两条倾

斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且

(常数). 3.若 P 为椭圆 F 2 是焦点, . 4.设椭圆 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, , ,则

端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2 中,记

, 5.若椭圆

,

,则有

.

(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准 时,可在椭圆上求一点 P,使

线为 L,则当 0<e≤

得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6.P 为椭圆 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为 ,当

椭圆内一定点,则 且仅当 7.椭圆 条件是 8.已知椭圆 两动点,且 三点共线时,等号成立. 与直线 .

有公共点的充要

(a>b>0),O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上 .(1) ; (3) ; 的最小值是 .

(2) |OP|2+|OQ|2 的最大值为 9.过椭圆

(a>b>0) 的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 .

M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 10.已知椭圆

( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点, , 则

线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 .

11.设 P 点是椭圆 点,F1、F2 为其焦点记 .(2) 12.设 A、B 是椭圆 圆上的一点, 别 是 椭 圆 的 , 半

( a>b>0)上异于长轴端点的任一 ,则(1) . ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭 , 焦 距 离 心 ,c、e 分 率 , 则 有

(1) . 13.已知椭圆

.(2)

.(3)

( a>b>0)的右准线 与 x 轴相交于点 ,

过椭圆右焦点 的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 在 右准线 上,且 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.

14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相 交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点 与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的

焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交 点分别称为内、外点.)

17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中

项. 双曲线 1. 双 曲 线 , ( a > 0,b > 0 ) 的 两 个 顶 点 为 ,与 y 轴平行的直线交双曲线 . 任意作两

于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2.过双曲线 (a>0,b>o)上任一点

条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点,则直

线 BC 有定向且 3.若 P 为双曲线

(常数). (a>0,b>0)右(或左)支上除顶 , ).

点外的任一点,F1, F 2 是焦点, ,则 4.设双曲线 (或

(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异

于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2 中, 记 5.若双曲线 , , , 则有 .

(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、 时,可在双曲线上

F2,左准线为 L,则当 1<e≤

求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6.P 为双曲线 (a>0,b>0) 上任一点,F1,F2 为二焦点, ,当 在 y 轴同侧时,等号成立. 有公共

A 为双曲线内一定点,则 且仅当 7.双曲线 三点共线且 和

(a>0,b>0)与直线 .

点的充要条件是 8.已知双曲线

(b>a >0),O 为坐标原点,P、Q . ;

为双曲线上两动点,且 (1) (3) 的最小值是

; (2) |OP|2+|OQ|2 的最小值为 .

9.过双曲线

(a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双

曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P, 则 . 10.已知双曲线 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两 , 则

点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 或 .

11.设 P 点是双曲线

(a>0,b>0) 上异于实轴端点的 ,则(1) . (a>0,b>0)的长轴两端点,P , ,

任一点,F1、F2 为其焦点记 .(2) 12.设 A、B 是双曲线 是双曲线上的一点,

,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有 (1) (2) 13.已知双曲线 . .(3) .

(a>0,b>0)的右准线 与 x 轴相交

于点 ,过双曲线右焦点 的直线与双曲线相交 于 A、B 两点,点 在右准线 上,且 线段 EF 的中点. 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径 的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一 点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为 轴,则直线 AC 经过

端点的焦半径之比为常数 e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴 交点分别称为内、外点). 17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点 连线段分成定比 e. 18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、 外点到双曲线中心的比 例中项.


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