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2012年全国高中数学联赛(上海)赛区竞赛试卷


2012 年上海市高中数学竞赛
一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1.如图,正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又 围成一个正六边形 A2 B2C2 D2 E2 F2 ,如此继续下去,则所有这些 六边形的面积和是 .
B2 E2 B1 A2 F2 A1

>F1

2. 已知正整数 a1 , a2 , 的最小可能值是

, a10 满足 :
.

aj

3 ? ,1 ? i ? j ? 10 , 则 a10 ai 2

C2 C1

D2

E1

D1

3.若 tan ? ? tan ? ? tan ? ?

17 4 , cot ? ? cot ? ? cot ? ? ? , cot ? cot ? 6 5 17 ? cot ? cot ? ? cot ? cot ? ? ? ,则 tan ?? ? ? ? ? ? ? . 5
A D

4. 已知关于 x 的方程 lg ? kx ? ? 2lg ? x ?1? 仅有一个实数解, 则实数 k 的 取值范围是 .

F

5 .如图, ?AEF 是边长为 x 的正方形 ABCD 的内接三角形,已知
?AEF ? 90? , AE ? a, EF ? b, a ? b ,则 x ?
B E

C

.

6.方程 2m ? 3n ? 3n?1 ? 2m ? 13 的非负整数解 ? m, n? ?

.

7.一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一 个是黑色的,依次从中摸出 5 个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率 是 .(用数字作答) 8 . 数 列 ?an ? 定 义 如 下 : a1 ? 1, a 2 ? 2, an? 2 ?
am ? 2 ? 2011 ,则正整数 m 的最小值为 2012

2 ? n ? 1? n an ? 1? an , n ? 1, 2, n?2 n?2

.若

.

二、解答题 9.(本题满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? x , BC ? 1 ,对角 线 AC 与 BD 的夹角 ?BOC ? 45? ,记直线 AB 与 CD 的距离为 h( x) . 求 h( x) 的表达式,并写出 x 的取值范围.
A D C

O B

10.(本题满分 14 分)给定实数 a ? 1 ,求函数 f ( x) ? 值.

(a ? sin x)(4 ? sin x) 的最小 1 ? sin x

11.(本题满分 16 分)正实数 x, y, z 满足 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 4 ,求证: (1) xy ? yz ? zx ?
4 ; 3

(2) x ? y ? z ? 2 .

12.(本题满分 16 分)给定整数 n(? 3) ,记 f (n) 为集合 ?1, 2, 下两个条件的子集 A 的元素个数的最小值: (a) 1? A, 2n ?1? A ;

, 2n ? 1? 的满足如

(b) A 中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个(可以相同)元素的和. (1)求 f (3) 的值; (2)求证: f (100) ? 108 .

2012 年上海市高中数学竞赛答案
1、
9 3 4

2、92 4、 ? ??,0?
a2

3、11 5、 7、

?4?

a 2 ? ( a ? b) 2

6、 ?3, 0? , ? 2, 2?

2 8、4025 5 9.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 1 1 OB 2 ? OC 2 ? ( AB 2 ? BC 2 ) ? ( x 2 ? 1) . ① 2 2 ???????(2 分)

在△OBC 中,由余弦定理
BC 2 ? OB2 ? OC 2 ? 2OB ? OC cos ?BOC ,

所以 由①, ②得

OB2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ? 1 ,
x2 ?1 OB ? OC ? . 2 2

② ③ ???????(5 分)

所以

SA B C D ?4S ?

O B C

1 ? 4 ? O B? O C s i n? B O C 2

? 2OB ? OC ?

x2 ?1 , 2 x2 ?1 , 2



AB ? h( x) ?

所以

h( x ) ?

x2 ?1 . 2x

??????? (10 分)

由③可得, x 2 ? 1 ? 0 ,故 x ? 1 .

因为 OB 2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ,结合②,③可得

1 2 x2 ?1 , ( x ? 1) ? 2 ? 2 2 2
解得(结合 x ? 1 ) 综上所述, h( x) ? 10.解 f ( x) ? 当1 ? a ? . 1 ? x ? 2 ?1
x2 ?1 ,1 ? x ? 2 ?1 . 2x

???????(14 分)

(a ? sin x)(4 ? sin x) 3(a ? 1) ? 1 ? sin x ? ?a?2. 1 ? sin x 1 ? sin x

7 时, 0 ? 3(a ?1) ? 2 ,此时 3 3(a ? 1) f ( x) ? 1 ? sin x ? ? a ? 2 ? 2 3(a ? 1) ? a ? 2 , 1 ? sin x

且当 sin x ? 3(a ? 1) ? 1 ?? ? ?1,1?? 时不等式等号成立, 故 fmin ( x) ? 2 3(a ?1) ? a ? 2 . ???????(6 分) 7 3(a ? 1) 当 a ? 时, 3(a ?1) ? 2 ,此时“耐克”函数 y ? t ? 在 0, 3(a ? 1) ? ? 3 t 内是递减,故此时 3(a ? 1) 5(a ? 1) f min ( x) ? f (1) ? 2 ? ?a?2? . 2 2 7 ? 2 3(a ? 1) ? a ? 2, 1 ? a ? ; ? 3 综上所述, f min ( x) ? ? ???????(14 分) ? 5( a ? 1) 7 ? , a? . ? 3 ? 2

?

11.证 (1)记 t ?

xy ? yz ? zx ,由平均不等式 3
xyz ?

?

3

( xy )( yz )( zx)

?

3 2

? xy ? yz ? zx ? 2 ?? ? . 3 ? ?
???????(4 分)

3

于是 所以

4 ? 9xyz ? xy ? yz ? zx ? 9t 3 ? 3t 2 ,

? 3t ? 2 ? ? 3t 2 ? 3t ? 2 ? ? 0 ,
2 ,从而 3 4 x y? y z ? z? x . 3

2 而 3t ? 3t ? 2 ? 0 ,所以 3t ? 2 ? 0 ,即 t ?

???????(10 分)

(2)又因为

( x ? y ? z)2 ? 3( xy ? yz ? zx) ,
所以 故

( x ? y ? z )2 ? 4 ,
x? y ? z ? 2.

???????(16 分)

12. 解 (1) 设集合 A ? ?1, 2, 于 ?1, m,7?? m ? 2,3,

, 23 ? 1? , 且 A 满足 (a) , (b) . 则 1? A 由 ,7 ? A .

,6? 不满足(b),故 A ? 3 .

又 ?1,2,3,7?,?1,2,4,7?, ?1,2,5,7?, ?1,2,6,7?, ?1,3,4,7?, ?1,3,5,7?,?1,3,6,7?,

?1,4,5,7?,?1,4,6,7?,?1,5,6,7? 都不满足

(b),故 A ? 4 .

而集合 ?1,2,4,6,7? 满足(a),(b),所以 f (3) ? 5 . ???????(6 分) (2)首先证明
f (n ? 1) ? f (n) ? 2, n ? 3, 4,
. ①

事实上,若 A ? ?1, 2, 令B ? A

, 2 n ? 1? ,满足(a), (b),且 A 的元素个数为 f (n) .

?2

n ?1

? 2, 2n ?1 ? 1? ,由于 2n?1 ? 2 ? 2n ? 1 ,故 B ? f (n) ? 2 . , 2n ?1 ? 1? ,

又 2n?1 ? 2 ? 2(2n ?1), 2n?1 ?1 ? 1 ? (2n?1 ? 2) ,所以,集合 B ? ?1, 2, 且 B 满足(a),(b).从而

f (n ?1) ? B ? f (n) ? 2 .
其次证明:

???????(10 分)

f (2n) ? f (n) ? n ? 1, n ? 3, 4,





事实上, 设 A ? ?1, 2,
B?A

, 2 n ? 1? 满足 (a) , (b) , 且 A 的元素个数为 f (n) . 令
n

?2(2

? 1), 22 (2n ? 1),

, 2n (2 n ? 1), 2 2 n ? 1? ,

由于 所以 B ? ?1, 2,

2(2n ?1) ? 22 (2n ?1) ?

? 2n (2n ?1) ? 22n ?1 ,

, 22 n ? 1? ,且 B ? f (n) ? n ?1 .而

2k ?1 (2n ?1) ? 2k (2n ?1) ? 2k (2n ?1), k ? 0,1, 22n ?1 ? 2n (2n ?1) ? (2n ?1) ,

, n ?1 ,

从而 B 满足(a),(b),于是

f (2n) ? B ? f (n) ? n ?1 . ???????(14 分)
由①,②得 反复利用②,③可得

f (2n ? 1) ? f (n) ? n ? 3 .



f (100) ? f (50) ? 50 ? 1 ? f (25) ? 25 ? 1 ? 51
? f (12) ? 12 ? 3 ? 77 ? f (6) ? 6 ? 1 ? 92

? f (3) ? 3 ? 1 ? 99 ? 108 .

???????(16 分)


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