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黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期末考试数学试卷(文)


大庆实验中学 2015-2016 学年度上学期期末 高三年级数学试题(文)
说明:1.本卷满分 150 分,考试时间为 2 小时。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?1,3,5? ,集合 B ? ?3, 4? ,则 ? CU A ? ? B =( A. ?3? B. ?3,

4? ) C. 2 13
2



C. ?2,3, 4?

D. ?4?

2.在复平面内,复数 5 ? 4i, ?1 ? 2i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应 的复数的模是( A. 13

B. 13
2

D. 2 10 )
2 2

3.命题:“若 a ? b ? 0(a, b ? R ) ,则 a ? b ? 0 ”的逆否命题是( A.若 a ? b ? 0(a, b ? R ) ,则 a ? b ? 0
2 2 2 2

B.若 a ? b ? 0(a, b ? R ) ,则 a ? b ? 0 D . 若 a ? 0, 或b ? 0(a, b ? R ) , 则

C. 若 a ? 0, 且b ? 0(a, b ? R ) , 则 a ? b ? 0

a 2 ? b2 ? 0
4. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2n ? n ? 1? ,则 a5 的值为( A.80 B.40 C.20 D.10 ) )

5.已知三条不重合的直线 m, n, l 和两个不重合的平面 ? , ? ,下列命题正确的是( A.若 m / / n , n ? ? ,则 m / /? B.若 ? ? ? , ? ? ? ? m ,且 n ? m ,则 n ? ? C.若 l ? n , m ? n ,则 l / / m D.若 l ? ? , m ? ? ,且 l ? m ,则 ? ? ? 6.在右侧的程序框图中,若 f 0 ( x) ? xe x ,则输出的是( )

A. 2014e ? xe
x

x

B. 2012e ? xe
x

x

C. 2013e ? xe
x

x

D. 2013e ? x
x

7. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a 2 ? b 2 ? 3bc,sin C ? 2 3 sin B ,

1

则角 A 为( A.30°
2

) B.60°
2

C.120°

D.150°

8. 从圆 x ? 2 x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ? 3,2 ? 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余 弦值为( A. ) B.

1 2

3 5

C.

3 2

D.0 )

9.某几何体的三视图如下图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为(

A.

2 2

B.

5 2

C.

6 2

D. 3

10. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

? ) 的部分图象如右图 2

y
1

所示,若将 y ? f ( x) 的图象向右平移 m(m ? 0) 个单位后,得到的图象关 于原点对称,则 m 的最小值为( A. ) C.
O π 6 11π 12

x

?
24

B.

?
12

? 6

D.

? 3

11.在等腰梯形 ABCD 中, AB / / CD, 且 AB ? 2, AD ? 1, CD ? 2 x ,其中 x ? (0,1) ,以

A, B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ,以 C , D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为

e2 ,若对任意 x ? (0,1) 都有不等式 t ?

(e1 ? e2 ) 2 恒成立,则 t 的最大值为( 8
C.



A.

7 4

B.

3 8

5 8

D.

5 4

12.设函数 f ( x) ? ?

1 ??1 ( ? 2 ? x ? 0), g ( x) ? f ( x) ? x , x ? [?2, 2] , 2 ? x ? 1 (0 ? x ? 2),
1 2


若 g (log 2 a ) ? g (log 1 a ) ? 2 g ( ) ,则实数 a 的取值范围是(
2

2

A. (0, ]

1 2

B. [1, 2]

C. [ , 2]

1 2

D. [

2 , 2] 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.设 f ( x ) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? 14.若 .

sin ? ? cos ? ? 3 , tan(? ? ? ) ? 2 ,则 tan( ? ? 2? ) ? sin ? ? cos ?

.

15. A, B, C , D 是同一球面上的四个点, ?ABC中,?BAC ?

? , AB ? AC , AD ⊥平面 2
.

ABC , AD ? 6 , AB ? 2 3 ,则该球的表面积为
16. 已知函数 f ? x ? ?

1 * , 点 O 为坐标原点, 点 An ? n, f ? n ? ? (n ? N ) ,向量 i ? ? 0,1? , ?n x ?1

是向量 OAn 与 i 的夹角,则

???? ?

cos ? 2016 cos ?1 cos ? 2 的值为 ? ?? ? sin ?1 sin ? 2 sin ? 2016



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。 17. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n 且 a1

? n2

,数列 ?bn ? 为等比数列,

? 2b1 ,

b1b2 ?

1 . 8

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . bn

18.(本小题满分 12 分) 2015 年 8 月 12 日天津发生危化品重大爆炸事故,造成重大人员和 经济损失.某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检,已知消防安全等级 共分为四个等级(一级为优,二级为良,三级为中等,四级为差) ,该港口消防安全等级的 统计结果如下表所示: 等 级 一级 二级 三级 四级 m 频 率 0.30 0.10 2m 现从该港口随机抽取了 n 家公司,其中消防安全等级为三级的恰有 20 家. (1)求 m, n 的值; (2) 按消防安全等级利用分层抽样的方法从这 n 家公司中抽取 10 家, 除去消防安全等级为 一级和四级的公司后,再从剩余公司中任意抽取 2 家,求抽取的这 2 家公司的 S 消防安全等级都是二级的概率.
N M

3
A

B

C

19.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中, SA ? 底面 ABC , ?ABC ? 90 ? , 且 SA ? AB ,点 M 是 SB 的中点, AN ? SC 且交 SC 于点 N . (1)求证: SC ? 平面 AMN ; (2)当 AB ? BC ? 1 时,求三棱锥 M ? SAN 的体积.

x2 y 2 20. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) a b
的离心率为

6 ,直线 l 与 x 轴交于点 E ,与椭圆 C 交于 A 、 B 两点.当直线 l 垂直于 x 轴 3

且点 E 为椭圆 C 的 右焦点时, 弦 AB 的长为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 E 的坐标为 (

2 6 . 3

y A

3 , 0) ,点 A 在第一象限且横坐标为 3 ,连结点 A 2
1 1 为定值?若存在, 请指出点 E 的坐标, ? 2 EA EB 2

F1 P

O

E

F2

x

与原点 O 的直线交椭圆 C 于另一点 P ,求 ?PAB 的面积; (3) 是否存在点 E , 使得

B

并求出该定值;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 线C .

5 2 ,其图象是曲 x ? ax ? b ( a, b 为常数) 2

(1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,若存在唯一的实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 与 f ?( x0 ) ? 0 同时成立,求实数 b 的取值范围; (3)已知点 A 为曲线 C 上的动点,在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B , 在点 B 处作曲线 C 的切线 l2 ,设切线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k 2 .问:是否存在常数 ? , 使得 k 2 ? ?k1 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. 请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

4

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图, PA 是 ? O 的切线, PE 过圆心 O , AC 为 ? O 的直径, PC 与 ? O 相交于 B 、 C 两点,连结 AB 、 CD . (1) 求证: ?PAD ? ?CDE ; (2) 求证:
C B
E O D P

PA2 BD . ? PC ? PE AD

A

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标 系,直线 l 的参数方程为 ?

? ?x ? 1? t ( t 为参数), y ? 2 ? 3 t ? ?

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

? x? ? x ? (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 1 后得到曲线 C ? ,设 M ( x, y ) 为 C ? 上任意一点, ? y? ? y ? 2
求 x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 的最小值,并求相应的点 M 的坐标.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 3 |, a ? R . (1)当 a ? ?1 时,解不等式 f ( x) ? 1 ; (2)若 x ? [0,3] 时, f ( x) ? 4 ,求实数 a 的取值范围.

5

大庆实验中学 2015-2016 学年度上学期期末 高三年级数学试题(文)参考答案 一、1—12 DBDCD CABBB 二、13. e 三、 17.(1) n ? 2 时 an ? S n ? S n ?1 ? 2n ? 1 ,当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 1 综上 an ? 2n ? 1 14. CD

4 3

15. 60?

16.

2016 2017

1 1 1 1 1 ? b1 ? , b1b2 ? ? b2 ? ? q ? ? bn ? n 2 8 4 2 2
(2) cn ? ? 2n ? 1? 2
2

n

?Tn ? 1? 2 ? 3 ? ? 2 ? ? ? ? ? 2n ? 1?? 2 ? ? 2Tn ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ? ? ? ? ? 2n ? 1?? 2 ?
n 2 3

n ?1

两式相减得

Tn ? (2n ? 3) x 2 n ?1 ? 6
18.(1)由已知可得;0.30+2m+m+0.10=1,解得:m=0.20. 所以 n ?

20 ? 100 . m

——————4 分

(2)由(1)知,利用分层抽样的方法从中抽取 10 家公司,则消防安全等级为一级的有 3 家,二级的有 4 家,三级的有 2 家,四级的有 1 家. 记消防安全等级为二级的 4 家公司分别为 A,B,C,D,三级的 2 家公司分别记为 a,b, 则从中抽 取 2 家公司,不同的结果为?共 15 种,记“抽取的 2 家公司的消防安全等级都是二级”为 事 件 M , 则 事 件 M 包 含 的 结 果 有 : ? 共 6 种 , 所 以 P( M ) ? ——————12 分 19. (1)证明:? SA ? 底面 ABC ,? BC ? SA ,又易知 BC ? AB , ? BC ? 平面 SAB ,? BC ? AM , 又? SA ? AB , M 是 SB 的中点,? AM ? SB , ? AM ? 平面 SBC ,? AM ? SC , 又已知 AN ? SC , ? SC ? 平面 AMN ; ———————6 分 (2)? SC ? 平面 AMN ,? SN ? 平面 AMN , 而 SA ? AB ? BC ? 1 ,? AC ? 又? AN ? SC ,? AN ?

6 2 ? . 15 5

2 , SC ? 3 ,

6 , 3

6

又? AM ? 平面 SBC ,? AM ? AN , 而 AM ?

2 6 ,? MN ? , 2 6

1 2 6 3 , ? S ?AMB ? ? ? ? 2 2 6 12
1 1 , ?VS ? AMN ? S ?AMN ? SN ? 3 36 1 . ? V M ? SAN ? VS ? AMN ? 36

————————12 分

20. (1)由

c 6 ,设 a ? 3k (k ? 0) ,则 c ? 6k , b 2 ? 3k 2 , ? a 3

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,因直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点,即 9k 2 3k 2
2 6 6 ,即 k ? , 3 3

x A ? xB ? 6k ,代入椭圆方程,解得 y ? ? k ,于是 2k ?
x2 y 2 ? ?1 6 2

所以椭圆 C 的方程为

————————3 分

(2)将 x ? 3 代入

x2 y 2 ? ? 1 ,解得 y ? ?1 ,因点 A 在第一象限,从而 A( 3,1) , 6 2

由点 E 的坐标为 (

2 2 3 3 ,直线 AB 的方程为 y ? (x ? ), , 0) ,所以 k AB ? 2 2 3 3
3 7 ,? ), 5 5

联立直线 AB 与椭圆 C 的方程,解得 B (?

又 PA 过原点 O ,于是 P (? 3, ?1) , PA ? 4 ,所以直线 PA 的方程为 x ? 3 y ? 0 ,

?
所以点 B 到直线 PA 的距离 h ?

3 7 3 ? 5 5 2

?

3 3 , 5
——————8 分

故 S ?PAB ?

1 3 3 6 3 . ?4? ? 2 5 5

(3)假设存在点 E ,使得

1 1 为定值,设 E ( x0 , 0) , ? 2 EA EB 2
7

当直线 AB 与 x 轴重合时,有

12 ? 2 x0 2 1 1 1 1 , ? ? ? ? EA2 EB 2 ( x0 ? 6) 2 ( 6 ? x0 ) 2 (6 ? x0 2 ) 2

当直线 AB 与 x 轴垂直时,

1 1 ? ? 2 EA EB 2

2 2(1 ? x0 ) 6
2

?

6 , 6 ? x0 2



12 ? 2 x0 2 6 6 ,解得 x0 ? ? 3 , ? ? 2, 2 2 2 (6 ? x0 ) 6 ? x0 6 ? x0 2
1 1 为定值 2. ? 2 EA EB 2

所以若存在点 E ,此时 E (? 3, 0) ,

根据对称性,只需考虑直线 AB 过点 E ( 3, 0) ,设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 又设直线 AB 的方程为 x ? my ? 3 ,与椭圆 C 联立方程组, 化简得 (m 2 ? 3) y 2 ? 2 3my ? 3 ? 0 ,所以 y1 ? y2 ?

?2 3m ?3 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?3 m ?3



1 1 1 1 ? ? 2 2 ? 2 , 2 2 2 2 EA m y1 ? y1 (m ? 1) y12 ( x1 ? 3) ? y1
( y1 ? y2 ) 2 ? 2 y1 y2 1 1 1 1 , ? ? ? ? EA2 EB 2 (m 2 ? 1) y12 (m 2 ? 1) y2 2 (m 2 ? 1) y12 y2 2

所以

1 1 ? ?2. 2 EA EB 2 1 1 综上所述,存在点 E (? 3, 0) ,使得 为定值. ? 2 EA EB 2
将上述关系代入,化简可得

————————12 分

1 ' 21. (1)当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 3x 2 ? 5x ? 2 ? (3x ? 1)( x ? 2) .令 f ( x) ? 0 ,解得 ?2 ? x ? , 3

f ( x) 的单调减区间为 (?2 , ) .
2

1 3

——————2 分

2 ?3x0 ? 5 x0 ? a ? 0 ? ? f ( x) ? 3x ? 5x ? a , 由 题 意 知 ? 3 5 2 ( Ⅱ ) 消 去 a , 得 ? x0 ? x0 ? ax0 ? b ? x0 ? 2 5 5 有 唯 一 解 . 令 , 则 2 x03 ? x0 2 ? x0 ? b ? 0 g ( x) ? 2 x3 ? x 2 ? x 2 2

1 1 g ?( x) ? 6 x2 ? 5 x ? 1 ? (2x ? 1)(3x ? 1) ,以 g ( x) 在区间 (??, ? ) , (? , ??) 上是增函数,在 2 3 1 1 1 1 1 7 ,故实数 b 的取值范围是 (? , ? ) 上 是 减 函 数 , 又 g (? ) ? ? , g (? ) ? ? 2 3 2 8 3 54

8

(??, ?

7 1 ) ? (? , ??) . 54 8

————————6 分

(Ⅲ) 设 A( x0 , f ( x0 )) ,则点 A 处切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) , 与 曲 线 C : y ? f ( x) 联 立 方 程 组 , 得 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) , 即
5 5 ( x ? x0 ) 2 [ x ? (2 x0 ? )] ? 0 , 所 以 B 点 的 横 坐 标 xB ? ?(2 x0 ? ) . 由 题 意 知 , 2 2

5 25 2 2 k1 ? f ' ( x 0 ) ? 3 x 0 ? 5 x0 ? a , k1 ? f ' (?2 x0 ? ) ? 12 x0 ? 20 x0 ? ? a ,若存在常数 2 4 25 2 2 ? , 使 得 k 2 ? ?k1 , 则 12 x0 ? 5 x0 ? a) , 即 常 数 ? 使 得 ? 20 x0 ? ? a ? ? (3 x0 4

?4 ? ? ? 0 25 25 ? ,所以 ? ,解得 ? ? 4, a ? .故当 (3 x ? 5 x0 )(4 ? ? ) ? (? ? 1)a ? 25 4 12 (? ? 1)a ? ?0 ? 4 ?
2 0

a?

25 25 时 , 存 在 常 数 ? ? 4 , 使 得 k 2 ? ? k1 ; 当 a ? 时,不存在常数 ? 使得 12 12
————————12 分

k 2 ? ? k1 .

22. (1) 由 PA 是圆 O 的切线,因此弦切角 ?PAD 的大小等于夹弧所对的圆周角 ?ACD , 在等腰 ?OCD 中, OD ? OC ,可得 ?ACD ? ?CDE ,所以 ?PAD ? ?CDE . ——————5 分 (2) 由 ?PBD 与 ?PEC 相似可知,

PB BD ,由切割线定理可知, PA2 ? PB ? PC ,则 ? PE CE

PB ?

PA2 PA2 BD ,又 EC ? AD ,可得 . ? PC PC ? PE AD

———————— 10 分 23. (1)? ? ? 2 ,故圆 C 的方程为 x ? y ? 4
2 2

? ?x ? 1? t , ? 直 线 L 方 程 为 ? 直 线 L 的 参 数 方 程 为 ? ? ? y ? 2 ? 3t
3 x ? y ? 3 ? 2 ? 0 .———————5 分

? x' ? x x2 ? 2 2 ? y2 ? 1. (2)由 ? ' 1 和 x ? y ? 4 得 C ' : 4 ?y ? y ? 2
设点 M 为 ?

? x ? 2 cos ? ? 则 x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 ? 3 ? 2 cos(2? ? ) 3 ? y ? sin ?
9

所以当 M ?1,

? ? ?

? 3? 3? ? 或 M ? ? 1, ? 时,原式的最小值为 1 . ———————— 10 分 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?

24. (1)当 a=-1 时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1. 当 x≤-3 时,不等式化为-(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成立; 当-3<x<-1 时,不等式化为-(x+1)-(x+3)≤1,解得 ?

5 ? x ? ?1 ; 2

当 x≥-1 时,不等式化为(x+1)-(x+3)≤1,不等式必成立. 综上,不等式的解集为 [?

5 , ??) . 2

———————— 5 分

(2)当 x∈[0,3]时,f (x)≤4 即|x-a|≤x+7, 由此得 a≥-7 且 a≤2x+7. 当 x∈[0,3]时,2x+7 的最小值为 7, 所以 a 的取值范围是[-7,7]. ———————— 10 分

10


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