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2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)简单的三角恒等变换(含解析)


2016 届高考数学一轮复习教学案 简单的三角恒等变换

[知识能否忆起] 半角公式(不要求记忆) α α α 1.用 cos α 表示 sin2 ,cos2 ,tan2 . 2 2 2 α 1-cos α α 1+cos α α 1-cos α sin2 = ;cos2 = ;tan2 = . 2 2 2 2 2 1+cos α α α α 2.用 cos

α 表示 sin ,cos ,tan . 2 2 2 α sin =± 2 α tan =± 2 1-cos α 2 α ;cos =± 2 1+cos α 2



1-cos α 1+cos α

.

α 3.用 sin α ,cos α 表示 tan . 2 α sin α 1-cos α tan = = . 2 1+cos α sin α [小题能否全取] 1 α 1.(教材习题改编)已知 cos α = ,α ∈(π,2π),则 cos 等于( 3 2 6 3 3 3 6 3 3 3 )

A.

B.-

C.

D.-

? 1 α ?π 解析:选 B ∵cos α = ,α ∈(π,2π),∴ ∈? ,π?, 3 2 ?2 ?

α ∴cos =- 2

1+cos α 2

=-

1 1+ 3 2

=-

6 3

.

?π ? ?π ? ?π? 2.已知函数 f(x)=cos2? +x?-cos2? -x?,则 f? ?等于( ?4 ? ?4 ? ?12?
1 A. 2 3 2 1 B.- 2 3 2

)

C.

D.-

?π ? ? π? ?π? π 1 解析:选 B f(x)=cos2? +x?-sin2?x+ ?=-sin 2x,∴f? ?=-sin =- . 6 2 ?4 ? ? 4? ?12?
1 cos 2α +sin 2α +1 3.已知 tan α = ,则 等于( 2 cos2α A.3 C.12 B.6 3 D. 2 cos 2α +sin 2α +1 2cos2α +2sin α ·cos α = cos2α cos2α )

解析:选 A

=2+2tan α =3. sin 20°cos 20° 4. =________. cos 50° sin 40° 2 sin 20°cos 20° 2 1 解析: = = = . cos 50° cos 50° sin 40° 2 1 答案: 2 1+tan α 1 5.若 =2 013,则 +tan 2α =________. 1-tan α cos 2α 1 sin 40° 1

1 1+sin 2α 解析: +tan 2α = = cos 2α cos 2α = cos α +sin α 1+tan α = =2 013. cos α -sin α 1-tan α

α +sin α cos2α -sin2α

2

答案:2 013

三角恒等变换的常见形式 三角恒等变换中常见的三种形式:一是化简;二是求值;三是三角恒等式的证明. (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及 和、差、倍角公式进行转化求解. (2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值,对条件求值问题要充分利 用条件进行转化求解. (3)三角恒等式的证明,要看左右两侧函数名、角之间的关系,不同名则化同名, 不同角则化同角,利用公式求解变形即可.

三角函数式的化简

典题导入 1 2cos4x-2cos2x+ 2

[例 1] 化简

?π ? ?π ? 2tan? -x?sin2? +x? ?4 ? ?4 ?

.

[自主解答] 原式=

1 -2sin2xcos2x+ 2

?π ? ?π ? 2sin? -x?cos2? -x? ?4 ? ?4 ? ?π ? cos? -x? ?4 ?

1 = 2

-sin22x =

1 2

cos22x

?π ? ?π ? ?π ? 2sin? -x?cos? -x? sin? -2x? ?4 ? ?4 ? ?2 ?

1 = cos 2x. 2 由题悟法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆 分,从而正确使用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切 化弦”; (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式 要通分”等.

以题试法

? 1 -tan α ? ? α? α 2 ?·?1+tan α ·tan ?. 1.化简? 2? tan ? 2 ??
α α sin ? ? sin ? ?cosα 2 2 2 sin α - 1 + · 解:法一:原式=? · α α? ? cos α α? sin cos cos 2? ? 2 2? ?

α α α α cos2 -sin2 cos α cos +sin α sin 2 2 2 2 = · α α α sin ·cos cos α cos 2 2 2

? α? cos?α - ? 2cos α ? 2? = · sin α α cos α cos 2
cos · α 2 2 = . α sin α 2



2cos α sin α

cos α cos

α α sin α sin 1-tan2 2 2 法二:原式= · 1+ α α cos α cos tan 2 2 α α cos α cos +sin α sin 2 2 2 = · tan α α cos α cos 2 α cos 2

? ? ?

? ? ?



2cos α

2 = . sin α α sin α cos α ·cos 2 · 三角函数式的求值

典题导入 sin 47°-sin 17°cos 30° [例 2] (1)(2012·重庆高考) =( cos 17° 3 2 1 B.- 2 )

A.-

1 C. 2

D.

3 . 2

3 4 (2)已知 α 、β 为锐角,sin α = ,cos α +β =- ,则 2α +β=________. 5 5

(

)

[自主解答] (1)原式=



-sin17°cos 30° cos 17°



sin 30°cos 17°+cos 30°sin 17°-sin 17°cos 30° cos 17° sin 30°cos 17° 1 =sin 30°= . cos 17° 2



? π? 3 (2)∵sin α = ,α ∈?0, ?, 5 ? 2?
4 ∴cos α = , 5 4 ∵cos(α +β )=- ,α +β ∈(0,π), 5 3 ∴sin(α +β )= , 5 3 ? 4? 4 3 ∴sin(2α +β )=sin[α +(α +β )]=sin α cos(α +β )+cos α sin(α +β )= ×?- ?+ × = 5 ? 5? 5 5 0.

? 3π? 又 2α +β ∈?0, ?. 2? ?
∴2α +β =π. [答案] (1)C (2)π 由题悟法 三角函数求值有三类 (1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观 察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊

角并且消除非特殊角的三角函数而得解. (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题 关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围, 确定角. 以题试法

? π? 2.(2012·广州一测)已知函数 f(x)=tan?3x+ ?. 4? ? ?π? (1)求 f? ?的值; ? 9? ? 3π? ?α π? ? π? (2)设 α ∈?π, ?,若 f? + ?=2,求 cos?α - ?的值. 2? 4? ? ? 3 4? ? ?π? ?π π? 解:(1)f? ?=tan? + ?= ? 9? ?3 4?
π π tan +tan 3 4

3+1 = =-2- π π 1- 3 1-tan tan 3 4

3.

?α π? ? 3π π? (2)因为 f? + ?=tan?α + + ?=tan(α +π)=tan α =2, 4 4? ?3 4? ?
sin α 所以 =2,即 sin α =2cos α .① cos α 又 sin2α +cos2α =1,② 1 由①②解得 cos2α = . 5

? 3π? 5 2 5 因为 α ∈?π, ?,所以 cos α =- ,sin α =- . 2? 5 5 ? ? ? π? π π 5 2 ? ? 2 5?× 2=-3 10. 所以 cos?α - ?=cos α cos +sin α sin =- × +?- 4 4 5 2 10 5 ? ? 4? ? ? 2

三角恒等变换的综合应用

典题导入

? 7π? ? 3π? [例 3] (2011·四川高考)已知函数 f(x)=sin?x+ ?+cos?x- ?,x∈R. 4? 4? ? ?
(1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β-α )= ,cos(β +α )=- ,0<α <β≤ ,求证:[f(β )]2-2=0. 5 5 2

? 7π ? ? π π? [自主解答] (1)∵f(x)=sin?x+ -2π?+cos?x- - ? 4 ? ? ? 4 2? ? π? ? π? ? π? =sin?x- ?+sin?x- ?=2sin?x- ?, ? 4? ? 4? ? 4?
∴T=2π,f(x)的最小值为-2. 4 (2)证明:由已知得 cos β cos α +sin β sin α = , 5 4 cos βcos α -sin β sin α =- . 5 两式相加得 2cos β cos α =0. π π π ∵0<α <β ≤ ,∴β = .∴[f(β )]2-2=4sin2 -2=0. 2 2 4

在本例条件不变情况下,求函数 f(x)的零点的集合.

? π? 解:由(1)知 f(x)=2sin?x- ?, ? 4? ? π? π ∴sin?x- ?=0,∴x- =kπ(k∈Z), 4 ? 4?
π ∴x=kπ+ (k∈Z). 4

?? π 故函数 f(x)的零点的集合为?x?x=kπ+ 4 ??

? ,k∈Z?. ?

由题悟法 三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合, 通过变换把函数化为

y=Asin(ω x+φ )的形式再研究性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体
思想解决相关问题. 以题试法

? π? 3.已知函数 f(x)=2cos xcos?x- ?- ? 6?
(1)求 f(x)的最小正周期;

3sin2x+sin xcos x.

(2)当 α ∈[0,π]时,若 f(α )=1,求 α 的值.

? π? 解:(1)因为 f(x)=2cos xcos?x- ?- ? 6?
= = 3cos2 x+sin xcos x-

3sin2x+sin xcos x

3sin2x+sin xcos x

? π? 3cos 2x+sin 2x=2sin?2x+ ?, 3? ?

所以最小正周期 T=π.

? π? (2)由 f(α )=1,得 2sin?2α + ?=1, 3? ?
π ?π 7π? 又 α ∈[0,π],所以 2α + ∈? , ?, 3 ?3 3 ? π 5π π 13π 所以 2α + = 或 2α + = , 3 6 3 6 π 11π 故 α= 或 α= . 4 12

1 1.在△ABC 中,tan B=-2,tan C= ,则 A 等于( 3 π A. 4 π C. 3 解析:选 A 3π B. 4 π D. 6 tan A=tan[π-(B+C)] 1 -2+ 3 1 3

)

tan B+tan C =-tan(B+C)=- =- 1-tan Btan C 1- - π =1.故 A= . 4 2. +2α 1+cos 2α · cos2α +α 等于( )

A.-sin α C.sin α D.cos α

B.-cos α

解析:选 D 原式= 2sin α ·cos α ·cos2α 2cos2α ·sin α

-sin 2α +cos 2α =cos α .



-sin α



3.(2013·深圳调研)已知直线 l: xtan α -y-3tan β =0 的斜率为 2,在 y 轴上的截距 为 1,则 tan(α +β )=( 7 A.- 3 ) 7 B. 3

5 C. 7

D.1

解析:选 D 依题意得,tan α =2,-3tan β =1, 1 2- 3 1 tan α +tan β 即 tan β=- ,tan(α +β )= = =1. 3 1-tan α tan β 2 1+ 3

?π π? 3 7 4.(2012·山东高考)若 θ ∈? , ?,sin 2θ = ,则 sin θ =( 8 ?4 2?
3 A. 5 7 4 4 B. 5 3 D. 4

)

C.

?π π? ?π ? 解析:选 D 因为 θ ∈? , ?,所以 2θ ∈? ,π?, ? 4 2? ?2 ?
所以 cos 2θ <0,所以 cos 2θ =- 1 1-sin22θ =- . 8

1 9 又 cos 2θ =1-2sin2θ =- ,所以 sin2θ = , 8 16 3 所以 sin θ = . 4

?π ? tan? +α ?·cos 2α ?4 ? 5.(2012·河北质检)计算 的值为( ?π ? 2cos2? -α ? ?4 ?
A.-2 C.-1 B.2 D.1

)

解析:选 D

?π ? tan? +α ?·cos 2α ?4 ? ?π ? 2cos2? -α ? ?4 ?



?π ? sin? +α ?·cos 2α ?4 ? ?π ? ?π ? 2sin2? +α ?cos? +α ? ?4 ? ?4 ?
cos 2α



?π ? ?π ? 2sin? +α ?cos? +α ? ?4 ? ?4 ?
cos 2α



?π ? sin 2? +α ? ?4 ?
cos 2α



?π ? sin? +2α ? ?2 ?
cos 2α cos 2α =1.



6.定义运算 β 等于( π A. 12 π C. 4 )

?a b? ?sin α sin β ? 3 3 π ? ?=ad-bc.若 cos α =1,? ?= ,0<β <α < ,则 ?c d ? ? ? 7 ?cos α cos β ? 14 2 ? ?

π B. 6 π D. 3

解析:选 D 依题意有 sin α cos β-cos α sin β 3 3 =sin(α -β )= , 14 π π 又 0<β <α < ,∴0<α -β < , 2 2 故 cos(α -β )= 1-sin2 α -β 13 = , 14

1 4 3 而 cos α = ,∴sin α = , 7 7 于是 sin β =sin[α -(α -β)] =sin α cos(α -β )-cos α sin(α -β ) = 4 3 13 1 3 3 3 × - × = . 7 14 7 14 2

π 故 β= . 3

?π ? cos 2θ 7.若 tan? -θ ?=3,则 =________. 1+sin 2θ ?4 ? ?π ? 1-tan θ 解析:∵tan? -θ ?= =3, ? 4 ? 1+tan θ
1 ∴tan θ =- . 2 cos 2θ cos2θ -sin2θ ∴ = 2 1+sin 2θ sin θ +2sin θ cos θ +cos2θ 1 1- 4



= tan2θ +2tan θ +1 1

1-tan2θ

=3.

-1+1 4

答案:3 8.若锐角 α 、β 满足(1+ 解析:由(1+ 3tan α )(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4,则 α +β =________.

3tan β )=4, 3.

tan α +tan β 可得 = 1-tan α tan β

3,即 tan(α +β )=

π 又 α +β∈(0,π),所以 α +β = . 3 π 答案: 3

cos 10°+ 3sin 10° 9.计算: =________. 1-cos 80° cos 10°+ 3sin 10° 解析: 1-cos 80° = 2sin 40° + 2sin240° = 2sin 40° 2 2.



答案:

10.已知函数 f(x)=sin x+cos x,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求 f′(x)及函数 y=f′(x)的最小正周期;

? π? (2)当 x∈?0, ?时,求函数 F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域. ? 2?
解:(1)由题意可知,f′(x)=cos x-sin x=- 所以 y=f′(x)的最小正周期为 T=2π. (2)F(x)=cos2x-sin2x+1+2sin xcos x =1+sin 2x+cos 2x =1+

? π? 2·sin?x- ?, ? 4?

? π? 2sin?2x+ ?. 4? ?

? π? π ?π 5π? ∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?, 4 ?4 4 ? ? 2? ? ? π? ? 2 ? ? ∴sin?2x+ ?∈?- ,1?. 4? ? 2 ? ?
∴函数 F(x)的值域为[0,1+ 2 ].

π α 1 2 11.已知 0<α < <β <π,tan = ,cos(β -α )= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值;

(2)求 β 的值. α 1 解:(1)∵tan = , 2 2 α 2tan 2 α 1-tan2 2 1 2× 2

∴tan α =



4 = , ?1? 3 1-? ?2 ?2?

sin α 4 ? ?cos α =3, 由? ?sin α +cos α =1, ?
2 2

? 4 4? 解得 sin α = ?sin α =- 舍去?. 5 5? ?
(2)由(1)知 cos α = = 1-sin2α

?4? 3 1-? ?2= , ?5? 5

π 又 0<α < <β <π,∴β-α ∈(0,π), 2 2 , 10

而 cos(β -α )=

∴sin(β-α )=

1-cos2 β -α



1-?

? 2? 7 2 ? ? 2= , ? 10 ? 10 ?

于是 sin β =sin[α +(β -α )] =sin α cos(β -α )+cos α sin(β -α ) 4 2 3 7 2 2 = × + × = . 5 10 5 10 2

?π ? 3π 又 β∈? ,π?,∴β = . 4 ?2 ?
12.已知 sin(2α +β )=3sin β ,设 tan α =x,tan β=y,记 y=f(x).

(1)求证:tan(α +β )=2tan α ; (2)求 f(x)的解析式. 解:(1)证明:由 sin(2α +β )=3sin β, 得 sin [(α +β )+α ]=3sin [(α +β )-α ], 即 sin(α +β )cos α +cos(α +β )sin α =3sin(α +β )cos α -3cos(α +β )sin α , ∴sin(α +β )cos α =2cos(α +β )sin α . ∴tan(α +β )=2tan α . tan α +tan β x+y (2)由(1)得 =2tan α ,即 =2x, 1-tan α tan β 1-xy ∴y= ,即 f(x)= . 1+2x2 1+2x2

x

x

? π? ?π ? 1 1.(2012·郑州质检)已知曲线 y=2sin?x+ ?cos? -x?与直线 y= 相交,若在 y 轴右 2 ? 4? ? 4 ?
侧的交点自左向右依次记为 P1,P2,P3,…,则| P1 P5 |等于( A.π C.3π B.2π D.4π )

? π? ?π ? ? π? ? π? 解析:选 B 注意到 y=2sin?x+ ?cos? -x?=2sin2?x+ ?=1-cos 2?x+ ?=1+ ? 4? ?4 ? ? 4? ? 4?
2π sin 2x,又函数 y=1+sin 2x 的最小正周期是 =π,结合函数 y=1+sin 2x 的图象(如图 2 所示)可知,| P1 P5 |=2π.

3-sin 70° 2. 等于( 2-cos210°

)

1 A. 2

B.

2 2 3 2

C.2 3-sin 70°

D.

解析:选 C 3-

3-cos 20° = 2-cos2 10° 2-cos210°
210°-



2-cos210°



-cos2 2-cos210°

=2.

? ? π? π? 3.(2012·江西重点高中模拟)已知函数 f(x)=sin?2x+ ?+sin?2x- ?+ 3? 3? ? ?
m,若 f(x)的最大值为 1.
(1)求 m 的值,并求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 f(B)= 试判断三角形的形状. π 解: (1)f(x)=2sin 2x·cos + 3 3cos 2x-m=sin 2x+ 3-1,且

3cos 2x-

3a=b+c,

? π? 3cos 2x-m=2sin?2x+ ?- 3? ?

m.
又 f(x)max=2-m,所以 2-m=1,得 m=1. π π π 由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z) 2 3 2 5π π 得到 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 12 12

? 5π π? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 12 12? ?
(2)由 f(B)= π 所以 B= . 6 又 3a=b+c,则 3sin A=sin B+sin C,

? π? 3-1,得 2sin?2B+ ?-1= 3? ?

3-1,

? 5π ? ? π? 1 1 3sin A= +sin? -A?,即 sin?A- ?= , 6? 2 2 ?6 ? ?
π π 所以 A= ,C= ,故△ABC 为直角三角形. 3 2

1.求证:tan α +

1 = . ?π α ? cos α tan? + ? ? 4 2?

1

sin α 证明:左边= + cos α

?π α ? cos? + ? ? 4 2? ?π α ? sin? + ? ? 4 2?



?π α ? ?π α ? sin α sin? + ?+cos α cos? + ? ?4 2? ?4 2? ?π α ? cos α sin? + ? ?4 2? ?π α ? cos? + -α ? ?4 2 ? ?π α ? cos α sin? + ? ?4 2? ?π α ? cos? - ? ? 4 2? ?π α ? cos α sin? + ? ? 4 2? ?π α ? sin? + ? ?4 2?







1 = =右边. ?π α ? cos α cos α sin? + ? ?4 2?

故原式得证.

? ? π? ? π? 1 ? ?sin2x-2sin?x+ ?·sin?x- ?. 2.已知 f(x)=?1+ ? tan x? ? 4? ? 4?

(1)若 tan α =2,求 f(α )的值; (2)若 x∈?



π? , ?,求 f(x)的取值范围. ?12 2 ?

? π? ? π? 解:(1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sin?x+ ?·cos?x+ ? ? 4? ? 4?


? π? 1-cos 2x 1 + sin 2x+sin?2x+ ? 2? 2 2 ?

1 1 = + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x 2 2 1 1 = (sin 2x+cos 2x)+ . 2 2 由 tan α =2, 2sin α cos α 2tan α 4 得 sin 2α = 2 = = . sin α +cos2α tan2α +1 5 cos2α -sin 2α 1-tan2α 3 cos 2α = 2 = =- . 2 2 sin α +cos α 1+tan α 5 1 1 3 所以 f(α )= (sin 2α +cos 2α )+ = . 2 2 5 1 1 (2)由(1)得 f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ 2 2 π? 1 2 ? sin?2x+ ?+ . 4? 2 2 ?



由 x∈?



π? 5π π 5 , ?,得 ≤2x+ ≤ π. 12 4 4 ?12 2 ? 2+1 , 2

故-

? π? 2 ≤sin?2x+ ?≤1,则 0≤f(x)≤ 4? 2 ? ? ? ?
2+1? ?. 2 ? ?

所以 f(x)的取值范围是?0,


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