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(新课标)高考数学 考点33 不等式选讲练习


考点 33

不等式选讲

1 1 1 a2 ? b2 ? c2 ? ( ? ? )2 ? 6 3 a b c 1(2010·辽宁高考理科·T24)已知 a, b, c 均为正数,证明: ,
并确定 a, b, c 为何值时,等号成立. 【命题立意】本题 考查了不等式的性质,考查了均值不等式.

11 11 1 2 2 2 1 a2 a ?2b? ? b c? c 2 ? ?? ? a ab bc c 分别用均值不等式,相加后,再用均值不等式. 【思路点拨】把 ,
【规范解答】证法一: ∵ a, b, c均为正数,由均值不等式得

a2 ? b2 ? c2 ? 3(abc) 3 …………………………①
1 ? 1 1 1 ? ? ? 3(abc) 3 a b c , 2 ? 1 1 1 ( ? ? ) 2 ? 9(abc) 3 ∴ a b c ……………………② 2 2 ? 1 1 1 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? ( ? ? )2 ? 3(abc) 3 ? 9(abc) 3 a b c

2

又3(abc) 3 ? 9(abc)
∴原 不等式成立.

2

?

2 3

? 2 27 ? 6 3 ……………………③
2 ? 2

3 3 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 3(abc) ? 9(abc) 时,③ 式等号成立.
1 4 即当 a=b=c= 3 时原式等号成立.

证法二:∵a,b,c 都是正数,由基本不等式得

a 2 ? b 2 ? 2ab b 2 ? c 2 ? 2bc c 2 ? a 2 ? 2ac
∴ a ? b ? c ? ab ? bc ? ac ………………………………①
2 2 2

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 同理 a b c ab bc ac ………………………………②

-1-

1 1 1 a 2 ? b2 ? c 2 ? ( ? ? )2 a b c 1 1 1 ? ab ? bc ? ac ? 3 ? 3 ? 3 ab bc ac ∴

? 6 3 ……………………… ……………… …③
∴原不等式成立 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号 成立,当且仅当 a=b=c, (ab) ? (bc) ? (ac) ? 3 时,③式等号成立.
2 2 2
1 4 即当 a=b=c= 3 时原式等号成立.

x?a 2.(2010·福建高考理科·T21)已知函数 f ( x )= . x (Ⅰ)若不等式 f ( x )≤3 的解集为{ -1≤ x ≤5} ,求实数 a 的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x )+ f ( x ? 5 )≥ m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【命题立意】本题主要考查绝对值的意义 、绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力. 【思路点拨】 (1)由公式求解含绝对值的不等式,进而求出 a 的值, (2)令 g(x)=f(x)+f(x+5) ,结 合 g(x)的图象求解. 【规范解答】 (1)

x ? a ? 3 ? ?3 ? x ? a ? 3 ? a ? 3 ? x ? a ? 3 g ( x) ? x ? 2 ? x ? 3

,对应系数得 a ? 2 ;

(2)令 g(x)=f(x)+f(x+5) ,结合

的图象,所以 g ( x) ? 5 ,故 m ? 5 .

3.(2010·江苏高考·T21(D))选 修 4-5:不等式选讲 设 a,b 是非负实 数,求证: a ? b ? ab (a ? b ) .
3 3 2 2

【命题立意】 本题主要考查证明不等式的基本 方法,考查推理论证的能力. 【思路点拨】利用作差法证明. 【规范解答】方法一: a ? b ? ab (a ? b ) ? a
3 3 2 2 2

a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a )

? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? ( a ? b )2[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ]
因为实数 a,b≥0, ( a ? b ) ? 0,[( a ) ? ( a ) ( b ) ? ( a ) ( b ) ? ( a )( b ) ? ( b ) ] ? 0 ,
2 4 3 2 2 3 4

所以上式≥0 .即有 a ? b ? ab (a ? b ) .
3 3 2 2

方法二:由 a,b 是非负实数,作差得

a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a ) ? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ]
当 a ? b 时, a ? b ,从而 ( a ) ? ( b ) ,得 ( a ? b )[( a ) ? ( b ) ] ? 0 ;
5 5 5 5

-2-

?0 当 a ? b 时, a ? b ,从而 ( a ) ? ( b ) ,得 ( a ? b )[( a ) ? ( b ) ] > 0;
5 5
5 5

所以 a ? b ? ab (a ? b ) .
3 3 2 2

-3-



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