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直线方程一(倾斜角、斜率及直线方程)



直线方程一(倾斜角、斜率及直线方程)
知识要点 一、倾斜角及斜率 1、直线的倾斜角的定义:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴为基准, 轴正向与直线 l 向上方向所成的角 ? 叫做直线 l 的倾斜角。 规定:当直线 l 与 x 轴平行或重合时其倾斜角为 0 2、直线的倾斜角的范围:[0, ? ) 3、直线的斜率的定义:k=tan ? 4、经过两点 P 1 (x 1 ,y 1 ) (?
o

x

?

? ) 2

P 2 (x 2 ,y 2 ) (x 1

? x 2 )的直线的斜率 k=


y 2 ? y1 x2 ? x1

, ,则它的倾斜角是( 例 1:直线 l 经过原点和点 (?11)
A.

3? 4

B.

5 ? 4

C.

? 5 或 ? 4 4

D. ?

? 4

例 2:若 m 经过两点 A (- m ,6), B (1, 3m )的直线的斜率是 12.则实数 m 的值为________

例 3:4.已知 A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则 x=________ 例 4:直线 3x-y+a=0 的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.150°

D.120° ) 5π C.[0, ] 6 π 5π D.[ , ] 6 6

例 5:直线 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是( π π π 5π π 5π A.[ , )∪( , ] B.[0, ]∪[ ,π) 6 2 2 6 6 6

例:6:已知直线 l :sin ? x-y+3=0,试求该直线 l 的倾斜角的范围。

例 7:已知两点 A(1,3) ,B(5,2) ,若直线 l 过点 M(-2,-1)且与线段 AB 有公共点,求直线 l 斜 率的取值范围。 1 1 例 8:若 A(a,0),B(0,b),C(-2,-2),(ab≠0)三点共线,则 + 的值为________. a b

二、直线方程 1、点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 例 1:已知直线 l 过点(1,2) ,且斜率为 2,求直线 l 的方程

1

倾斜角、斜率及直线方程

例 2:已知直线 l 过点(1,2) ,且其斜率是另一条直线 y=2x+1 的斜率的 2 倍,求直线 l 的方程

例 3:已知直线 l 过点(1,2) ,且其倾斜角是另一条直线 y=2x+1 的倾斜角的 2 倍,求直线 l 的方程

2、斜截式: y ? kx ? b (b 为在 y 轴上的截距) ⑴横截距:直线与 x 轴交点的横坐标 (即 y 取 0 时 x 的值) ⑵纵截距:直线与 y 轴交点的纵坐标 (即 y 取 0 时 x 的值) 注意:截距不是距离,可正、可负、可为零。 例 1:若直线 l 的斜率为-2,且在 y 轴上的截距为 3,求直线 l 的方程。

例 2:若直线 l 的斜率为 3,且在 x 轴上的截距为-2,求直线 l 的方程。

例 3:已知直线 l : 3 x-y+4=0

试求该直线 l 的斜率、倾斜角、横截距及纵截距

例 4:若直线 l 经过点 M(2,3) ,且在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程。 (若改为在两坐标轴上的截 距相等呢)

例 5:经过点 P(2,-1),且在 y 轴上的截距等于它在 x 轴上的截距的 2 倍的直线 l 的方程( A.2x+y=2 C.2x+y=3 B.2x+y=4 D.2x+y=3 或 x+2y=0

)

3、两点式:直线 l 过两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 注意:⑴这个方程由直线上两点确定

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1

⑵当直线没有斜率(即 x1 ? x 2 )时不能用两点式,此时直线方程为 x=x 1 当直线斜率为 0(即 y1= y2) 时不能用两点式,此时直线方程为 y=y 1 例 1:已知直线 l 过两点 A(1,2) ,B(3,5) ,求直线 l 的方程。

例 2:已知三角形 ABC 的顶点分别是 A(-5,0)、B(3,-3) 、C(0,2)试求 ⑴边 AB 所在直线的方程 ⑵边 AB 上的中线所在的直线方程
2

倾斜角、斜率及直线方程

⑶边 AB 上的高所在的直线方程 ⑷边 AB 上的中垂线所在的直线方程 4、截距式 :

x y ? ?1 a b

(其中 a,b 分别为直线在 x 轴和 y 轴上截距)

例 1:若直线 l 在 x 轴上的截距为 2,在 y 轴上的截距为-3,求直线 l 的方程。

例 2:已知直线 l 的斜率为

1 ,且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形,求直线 l 的方程。 6

例 3:在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是(

)

1 例 4:(1)求过点 A(1,3),斜率是直线 y=-4x 的斜率的 的直线方程. 3 (2)求经过点 A(-5,2),且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程.

5、一般式: Ax ? By ? C ? 0

(其中 A、B 不同时为 0)

例 1:已知直线经过点 A(6, -4),斜率为 ?

4 ,求直线的点斜式和一般式方程。 3

例 2:把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距,并画图。

例 3:已知直线 Ax + By + 12 = 0 在 x、y 轴上的截距分别是-3 和 4,求 A、B 的值。

例 4:直线 l 过点 P(2,1)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,求使△AOB 面积取到最小值时
3

倾斜角、斜率及直线方程

直线 l 的方程。 (可用点斜式和截距式两种方法)

三、两直线的位置关系 直线 l 1 :y=k 1 x+b 1 ⑴ l 1 ∥l 2 ⑵ l1 直线 l 2 :y=k 2 x+b 2

?

k1 = k 2 且 b1 k 1 k 2 =-1

?b2

?l2 ?

⑶ l 1 与 l 2 重合 ? k 1 = k 2 且 b 1 =b 2 ⑷ l 1 与 l 2 相交 ? k 1

?k2
直线 l 2 :A 2 x+B 2 y+C 2 =0 且 B 1 C 2 -B 2 C 1 =0

直线 l 1 :A 1 x+B 1 y+C 1 =0 ⑴ l 1 ∥l 2 ⑵ l1

? A 1 B 2 -A 2 B 1 =0

? l 2 ? A 1 A 2 +B 1 B 2 =0
) B.-3 或 1 C.2 或 0 D.1 或 0

例 1:若直线 x+ay-a=0 与直线 ax-(2a-3)y-1=0 互相垂直,则 a 的值是( A.2

例 2:过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 例 3:已知直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8 平行,则实数 m 的值为( 13 A.-7 B.-1 C.-1 或-7 D. 3

)

例 4:已知点 A(1,-2),B(m,2)且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则实数 m 的值是( A.-2 B.-7 C.3 D.1 例 5:若三条直线 l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4 不能围成三角形, 则实数 m 的取值最多有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.6 个

)

综合试题
1.当 ? ? (

?

2 A、 tan ?

, ? ) 时,直线 x tan? ? y ? 2 ? 0 的斜率是(
B、 cot ? C、 ? tan ?
4



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D、 ? cot ? 倾斜角、斜率及直线方程

2.直线 y

? 3x ? 2 的倾斜角是( ? ? A、 B、 3 6

) C、

2? 3

D、

5? 6
. .

3.若三点 ( 2,-2 ) , ( -1,4 ) , ( x ,0 ) 共线,则 x = 4.已知 A ( -3,2 ) ,B ( 1,-4 ) ,则线段 AB 的垂直平分线方程是
5.直线 x+6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是(



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A、 2 ,

1 3

B、 ?2 ,?

1 3

C、 ?

1 ,? 3 2

D、-2,-3

6.过点(2,-4)且与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行的直线的一般式方程是_________________.

7.直线 y ? 2 与直线 x ? y ? 2 ? 0 的夹角是( A.

) C.

? 4

B.

? 3

? 2

D.

3 ? 4
)

8.若直线 x ? (1 ? m) y ? m ? 2 ? 0 与直线 2mx ? 4 y ? 16 ? 0 平行, 则实数 m 的值等于(

A.1 B.-2 C.1 或-2 D.-1 或-2 9.光线沿直线 y=2x+1 的方向射到直线 y=x 上被反射后光线所在的直线方程是 ( )
x 1 A. y ? ? 2 2

B. y ? 2 x ?

1 2

x 1 C. y ? ? 2 2

x D. y ? ? 1 2

10.若直线 l 的斜率 k∈[-1,1],则它的倾斜角的取值范围是( A、 [ k? ?



[来源:高考资源网]

?

4 ? 3? C、[ , ] 4 4

, k? ?

?
4

](k∈Z)

B、[ ?

? ?
4
,

D、[ 0 ,

? 3? ]∪[ ,? ) 4 4
. .

4

]

11.若坐标原点在直线 l 上的射影点的坐标是 ( -4,2) ,则直线 l 的方程为 12.过点 P(3,5)的所有直线中,离原点最远的直线方程是

13.直线 x sin ? ? y cos? ? 1 ? 0 与 x cos? ? y sin ? ? 2 ? 0 ( 0< ? < ? ) 的位置关系是: . 14.直线 (m ? 2) x ? (2 ? m) y ? 2m 在 x 轴上的截距为 3,则 m 的值是( A . )

6 5

B.-

6 5

C.6

D.-6

15 . 设 a 、 b 、 c 分 别 是 Δ ABC 中 ∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C 所 对 边 的 边 长 , 则 直 线 x sin A ? ay ? c ? 0 与

bx ? y sin B ? sin C ? 0 的位置关系是(
A.平行 B.重合

) D.相交但不垂直 的斜率 k 的

C.垂直

16.已知点 A(2, -3), B( -3, -2) ,直线 l : mx ? y ? m ? 1 ? 0 与线段 AB 相交 ,则直线 l

范围是(

)
5

倾斜角、斜率及直线方程

A. k ≥ 或 k ≤ ? 4

3 4

B. ? 4 ≤ k ≤

3 4

C. k < ?

1 5

D. ? )

3 ≤ k ≤4. 4

17.不论 m 为何实数,直线 (m ? 1) x ? y ? 2m ? 1 ? 0 恒过定点( A. (1,-

1 ) B. (-2,0) C. (2,3) D. (-2,3) 2

18.光线自点 ?2,3? 射到 x 轴上点 ?1,0? ,经 x 轴反射,则反射光线的直线方程是 19.求一直线 l ,使它被两直线 l1 : x -3 y +10=0 与直线 l 2 :2 x + y -8=0 所截得的线段平分于 P(0, 1)点. 20.三角形 ABC 中,已知 A ( -1,2 ) ,B ( 3,4 ) ,C ( -2,5 ) . 求:⑴BC 边所在的直线方程; ⑵BC 边上的高 AH 所在的直线方程.

21.已知直线方程为 ( 2 ? m ) x ? (1 ? 2m ) y ? 4 ? 3m ? 0 .

(1) 证明:直线恒过定点 M; ⑵ 若直线分别与 x 轴、y 轴的负半轴交于 A、B 两点,求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程.

22.直线 l1∶ax ? (1 ? a) y ? 3 与直线 l2∶(a ?1) x ? (2a ? 3) y ? 2 互相垂直,求 a 的值.

23.已知直线 l 满足下列两个条件: ⑴过直线 y = – x + 1 和 y = 2x + 4 的交点; ⑵与直线 x –3y + 2 = 0 垂直,求直线 l 的方程.
6

倾斜角、斜率及直线方程

24.已知 ?ABC 中,点 A(1,2),AB 边和 AC 边上的中线方程分别是 5 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 7 x ? 3 y ? 5 ? 0 ,求 BC 所在的直线方程的一般式。

25.过点 P(3,4)的直线 l

⑴求 l 在两个坐标轴上截距相等的方程。 ⑵求 l 与 x,y 正半轴相交,交点分别是 A、B,当 ? ABC 面积最小时的方程。

26.在△ABC 中,已知 A(5,-2)、B(7,3),且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边的中点 N 在 x 轴上,求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 MN 的方程.

, , N (3, ? 1) , P(4, 0) ,Q(2, 2) ,求证:四边形 MNPQ 为矩形. 27.已知四边形 MNPQ 的顶点为 M (11)

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倾斜角、斜率及直线方程

28.直线 l 过点 P(2,1)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,当|PA|·|PB|取到最小值 时,求直线 l 的方程。

29.已知动点 A 在 x 轴上,动点 B 在直线 y=x 上,定点 C 的坐标为(2,1),则当点 A、点 B 在何位置时, △ABC 的周长最小;并求最小值.

30.如图,过点 P(2,1)作直线 l 交 x 轴,y 轴的正半轴于 A、B 两点,O 为原点.求: (1)当△AOB 面积最小时直线 l 的方程; (2)当|OA|+|OB|最小时,l 的方程; (3)当|PA|· |PB|最小时,直线 l 的方程.

31.如果 A· C<0,且 B· C<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

)

32.如图,已知过原点 O 的一直线与函数 y=log8x 的图象交于 A,B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行 线与函数 y=log2x 的图象交于 C,D 两点. (1)证明:C,D 和原点 O 在同一直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标.

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倾斜角、斜率及直线方程

32.如图,已知过原点 O 的一直线与函数 y=log8x 的图象交于 A,B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行 线与函数 y=log2x 的图象交于 C,D 两点. (1)证明:C,D 和原点 O 在同一直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标.

解答:(1)证明:设 A(x1,log8x1),B(x2,log8x2) 则 C(x1,log2x1),D(x2,log2x2) 由已知条件 kOA=kOB,则 log8x1 log8x2 log2x1 log2x2 = ,即 = ① x1 x2 x1 x2

∴kOC=kOD,因此 C、D、O 在同一直线上. (2)由 BC∥x 轴知:log2x1=log8x2,则 x2=x3 1代入①式解得:x1= 3, ∴A 点坐标为( 3,log8 3).

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