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第一章1.4.3正切函数的性质与图象


第一章

三角函数

1.4.3

正切函数的性质与图象

第一章

三角函数

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正切函数的性质及应用 重点难点 重点:正切函数的图象及性质.

难点:灵活应用正切函数的性质.

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三角函数

新知初探思维启动
函数y=tan x的图象与性质
解析式 y= tan x

图象

定义域 值域 周期

π x≠ + kπ, k∈ Z 2 R

π _______
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奇偶性

奇函数

单调性

π π (- +kπ, +kπ)(k∈ Z) 2 2 在开区间 _____________________ 上都是增函数
k ( π,0)(k∈Z) 2 对称中心 _________________

对称性

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想一想 正切函数在整个定义域内是增函数吗? 提示:不是. 做一做 1.函数y=3tan x-1的定义域是________.
? ? ? π ? ? x ≠ + k π , k ∈ Z x 答案: ? 2 ? ?

π 2.函数 y=tan(x+ )的周期为________. 3

答案:π

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三角函数

典题例证技法归纳
题型探究
题型一 正切函数的性质
1 π
1 π π 函数的自变量 x 应满足 x- ≠ + kπ, k∈ Z, 2 6 2

例1 求函数 y=tan( x- )的定义域、周期及单调区间. 2 6
【解】

4π 1 π 即 x≠ + 2kπ, k∈ Z.所以函数 y= tan( x- )的定义域为 3 2 6 {x|x≠ 4π + 2kπ, k∈ Z}. 3

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1 π 1 π 由于 f(x)= tan( x- )= tan( x- + π) 2 6 2 6 1 π = tan[ (x+ 2π)- ]=f(x+2π), 2 6 π 1 π π 因此函数的周期为 2π.由- + kπ< x- < + kπ, k∈ Z, 2 2 6 2 得- 2π 4π +2kπ<x< + 2kπ, k∈ Z. 3 3

1 π 所以函数 y=tan( x- )的单调增区间为 2 6 2π 4π (- + 2kπ, + 2kπ)(k∈ Z). 3 3

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三角函数

【名师点评】

(1)求函数的周期利用了定义法,即 f(x+

T)= f(x),在应用中是在自变量 x 加 T,而不是在整个式 1 1 1 子中,如 f(x)= tan x,虽然有 tan( x+ π)= tan x.但不是 2 2 2 f(x+ π)= f(x),所以周期不是 π. (2)求 y= Atan(ωx+ φ), A≠ 0, ω>0 的函数的单调区间, 可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是:把 “ ωx+ φ(ω>0)”看作一个“整体”; A>0(A<0)时,与 y = tan x 的单调区间对应的不等式相同(反).

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跟踪训练
π 1. 求函数 y=tan(-x- )的定义域,并讨论它的单调性 3 和奇偶性.
π π π π 解: y= tan(- x- )=- tan(x+ ),由 x+ ≠ + kπ(k 3 3 3 2 π π ∈ Z)得 x≠ + kπ(k∈ Z),∴ y= tan(-x- )的定义域为 6 3 π {x|x∈ R 且 x≠ + kπ,k∈ Z},函数的定义域不关于原 6 点对称,因此该函数既不是奇函数又不是偶函数.

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π π 由 y= tan x 在区间 (- + kπ, + kπ)(k∈ Z)内是增函数可知,当 2 2 π π π 5π π - + kπ<x+ < + kπ, 即- + kπ<x< + kπ(k∈ Z)时, y= tan(- 2 3 2 6 6 π x- )是减函数, 3 π 5π π ∴ y= tan(- x- )的单调递减区间为(- + kπ, + kπ)(k∈ Z). 3 6 6

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题型二

比较正切值的大小

例2 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小.
13π 17π (1)tan 与 tan ;(2)tan 167° 与 tan 173° . 4 5
【解】 13π π 17π 2π (1)∵ tan = tan , tan = tan , 4 4 5 5

π 2π π π 又 0< < < , y=tan x 在 [0, )内单调递增, 4 5 2 2 π 2π 13π 17π ∴ tan <tan ,即 tan <tan . 4 5 4 5 (2)∵ 90° <167° <173° <270° ,又正切函数 y= tan x 在 (90° , 270° )上单调递增,∴ tan 167° <tan 173° .
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【名师点评】

比较两个函数值的大小,只需将所涉及的

两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内,再借助单 π π 调性即可解决.正切函数的单调递增区间为(- + kπ, + 2 2 π π π 3π kπ),k∈ Z,故在(- , )和 ( , )上都是增函数. 2 2 2 2

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跟踪训练
2.利用正切函数的单调性比较下列各组中正切值的大小. 13 9 (1)tan(- π), tan π; 7 8 (2)tan 193° ,tan 223° . 13 π π 9 π 解:(1)tan(- π)=tan(- 2π+ )= tan ,tan π= tan(π+ ) 7 7 7 8 8
π π π = tan ,∵ y=tan x 在 (- , )上递增, 8 2 2 π π 13 9 ∴ tan >tan ,∴ tan(- π)>tan π. 7 8 7 8 (2)因为 180° <193° <223° <270° ,又 y= tan x 在 (180° ,270° ) 内为增函数,所以 tan 193° <tan 223° .
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题型三

正切函数的图象及应用

例3 作出函数y=|tan x|的图象,并根据图象求其单调区间.

【解】

?tan x, ∵ y= |tan x|= ? ?-tan x,

π x∈ [kπ, + kπ?, 2 π x∈?- + kπ, kπ? . 2

π (k∈ Z) ∴其图象如图所示,单调增区间为[kπ, + kπ)(k∈ 2 π Z);单调减区间为(- + kπ, kπ)(k∈ Z). 2

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【名师点评】

作图时,可以先作y= tan x的图象,

然后将x轴下方的图象翻折到 x轴上方即可.另外,在 求单调区间时,认真体会数形结合思想的应用.

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跟踪训练
3.利用正切函数的图象,求使不等式tan x≤-1 成立的 x的集合.
解:作出 y=tan x 的图象,如下图所示.

π π π π 在 (- , )内,满足 tan x≤- 1 的 x 为- <x≤- ,结合函数图象 2 2 2 4 π π 可知, tan x≤- 1 的解集为 {x|- +kπ≤x≤- + kπ,k∈ Z}. 2 4
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方法感悟
1.正切曲线的画法 π 由于 y= tan x,x≠ + kπ,k∈ Z 是周期为 π 的函数,因此我们 2 π π 只需把 y= tan x, x∈ (- , )上的图象作出,然后把 y= tan x 2 2 π 向左(右)平移,每次平移 π 个单位即可.而 y=tan x,x∈ (- , 2 π π )上的图象,可用三点两线作图法作出,三点:( , 1),(0,0), 2 4 π π π (- ,-1);两线: x=- , x= . 4 2 2
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2.正切曲线的对称性及周期 正切函数的图象只是中心对称图形,不是轴对称图形.对于 π y= tan(ωx+ φ)的最小正周期可以用 T= 求出. |ω|

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精彩推荐典例展示
名师解题 例4
有关正切型函数的最值
π π 1 若 x∈[- , ], 求函数 y= 2 +2tan 3 4 cos x

x+1 的最值及相应的 x 的值.

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抓信息 破难点 1 (1)首先把 2 中 “1”用 sin2x+ cos2x 表示, 从而将 y 转 cos x 化为关于 tan x 的一元二次函数. (2)可令 tan x= t∈ [- 3,1],从而将问题转化为求函 数 y= t2+ 2t+ 2, t∈ [- 3,1]的最值.

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【解】 ∵ y=

1 2 +2tan x+ 1 cos x

sin2x+ cos2x = + 2tan x+1 cos2x = tan2x+ 2tan x+2= (tan x+1)2+ 1, π π 令 tan x= t,则 y= (t+ 1) +1,又 x∈[- , ],∴ t 3 4
2

π ∈ [- 3, 1].∴当 t=- 1 时,即 x=- 时, ymin 4 π = 1;当 t= 1 时,即 x= 时, ymax= 5. 4
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跟踪训练
π 4.求函数 y= tan x+tan x+ 1(x∈ R 且 x≠ + kπ, 2
2

k∈ Z)的值域.

12 解:设 t=tan x,则 t∈ R,∴y= t + t+1=(t+ ) 2
2

3 3 3 + ≥ .∴原函数的值域是 [ ,+∞). 4 4 4

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知能演练轻松闯关

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