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竞赛讲义 指对函数


2015—2016 学年上学期高一数学竞赛讲义 指数函数与对数函数(一) 编写教师:陈先春 审稿教师:陈先春

例 5.已知 f ? x ? ? loga x ? x2 ? 1 ,其中 a ? 1 . (1)求 f ? x ? 的反函数 f
?1

?

?

? x? ;
?1<

br />
?1 (2)若实数 m 满足 f ?1 ? m ? ? f

?1 ? m ? ? 0 ,求 m 的取值范围.
2

x x 例 1.若集合 A ? x 4 ? ? a ? 3? 2 ? 5 ? 0,1 ? x ? 2 非空,则实数 a 的取值范围为_______.

?

?

例 2.不等式 x ? log2 x ? x ? log2 x 的解集为____________. 例 6. 已 知 函 数 f ? x ? ? log a 例 3.已知函数 f ? x ? ? 2 ?
x

1 ? m ? x ? 2? ? a ? 0, a ? 1? , 对 定 义 域 内 的 任 意 x 都 有 x ?3

a ,将 y ? f ?x ? 的图像向右平移两个单位,得到函数 y ? g ? x ? 的图 2x

成立. f ?2 ? x f 2 ? ? x ?0 ?? ? (1)求实数 m 的值; (2)若当 x ? ?b, a ? 时, f ? x ? 的取值范围恰为 ?1, ?? ? ,求实数 a , b 的值.

像,而函数 y ? h ? x ? 的图像与函数 y ? g ? x ? 的图像关于直线 y ? 1 对称,求函数 y ? h ? x ? 的解析 式. 设 F ? x ? ?

1 f ? x ? ? h ? x ? ,若已知 F ? x ? 的最小值是 m ,且 m ? 2 ? 7 ,求 m ? 2 ? 7 . a

2 2 例 4.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,方程 log a ? x ? ak ? ? log a 2 x ? a 有解,求 k 的取值范围.

?

?

1 ? 2x ? ? ? ? n ? 1? ? n x a 例 7. f ? x ? ? lg ,其中 a 为实数, n 为给定自然数,且 n ? 2 . n
x

(1)如果当 x ? ? ??,1? 时, f ? x ? 有意义,求 a 的取值范围; (2)如果 a ? ? 0,1? ,求证:当 x ? 0 时, 2 f ? x ? ? f ? 2x ? 恒成立.

指对函数(一)1 / 5

12 10 8 6 4 例 8.解不等式: log 2 x ? 3 x ? 5 x ? 3 x ? 1 ? 1 ? log 2 x ? 1 .

?

?

?

?

例 13.已知 f ? x ? ? x ? ? lg a ? 2? x ? lg b ,且 f ? ?1? ? ?2 , f ? x ? ? 2 x .求 a , b 的值.
2

例 9.求下列函数的定义域: (1) y ? loga loga loga x , (其中 a ? 0 且 a ? 1 ) ; (2) y ?
3

例 14.已知 f ? x ? ? x ? ax ?
2

a , x ? ? 0,1? , a ? 0 , 求函数 f ? x ? 的最小值 g ? a ? 的表达式, 并求 g ? a ? 2

的最大值.

3x ? 2 ?1? 9 ? ? ? ? log 0.1 . 2x ?1 ? 3?
例 15.函数 f ? x ? ? ax ? ? 2a ?1? x ? 3 在 ? ?
2

x

? 3 ? , 2 上的最大值为 1 ,求实数 a . ? 2 ? ?

例 10.解方程: (1) 3 ? 2 2 (2) x
x6

?

? ? ?3 ? 2 2 ?
x

x

? 34 ;
2 例 16.已知函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 1? ? x ? a ? 1 的最小值 ymin ? 5 ,求实数 a 的取值范围. 2

? 144 ? x ? 0 ? .

例 11.已知 x ??0, ? ? ,比较 cos ? sin x ? 与 sin ? cos x ? 的大小.

例 17.方程 x ? ax ? 8 ? 0 的两根均在区间 ? 2,3? 内,求参数 a 的取值范围.
2

例 12.已知 0 ? b ? 1 , 0 ? ? ?

?
4

,比较下列三个数的大小: , z ? ? sin ? ?
logb cos ?

例 18. a 为何值时,关于 x 的方程 log? x?a? 2x ? 2 有两个相异实根.

x ? ? sin ? ?

logb sin ?

, y ? ? cos ? ?

logb cos ?

.

指对函数(一)2 / 5

例 19.已知方程 mx ? ? m ? 3? x ? 3m ? 0 有一个根小于 ?2 ,其余 3 个根都大于 ?1 ,试求 m 的取
4 2

6.已知方程 x ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 ,有一个根比 2 大,另一个根比 2 小,则实数 m 的取值范围为
2 2

值范围.

___________.

7. 设 二 次 函 数 f

?x ??

2 a x?

b? x ?

c0 ? ? 0 的 两 个 根 x1 , x2 满 足 ?a, 方 程 f ? x ?? x

x ? x3 例 20.求函数 y ? 的最值. 1 ? 2 x2 ? x4

0 ? x1 ? x2 ?

1 . a

(1)证明:当 x ? ? 0, x1 ? 时, x ? f ? x ? ? x1 ; (2)设函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? x0 对称,证明 x0 ?

x1 . 2

练习题: 1. x ?

1 1 log 1 3 2

?

1 1 log 1 3 5

的值属于区间(



(A) ? ?2, ?1?

(B) ?1, 2 ?

(C) ? ?3, ?2?

(D) ? 2,3?
2 8.已知 a, b, c 是实数, f ? x ? ? ax ? bx ? c , g ? x ? ? ax ? b ,当 ?1 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 1 .

4x ? 1 ? ? 2 ? ? 2003 ? ? 2004 ? 2.设 f ? x ? ? x ,则 f ? ?? f ? ? ??? f ? ?? f ? ? ? _________. 4 ?2 ? 2005 ? ? 2005 ? ? 2005 ? ? 2005 ?
2 3. y ? log 1 x ? ax ? a 的递增区间是 ??,1 ? 3 ,则实数 a 的值为__________. 3

(1)证明: c ? 1 ; (2)证明:当 ?1 ? x ? 1 时, g ? x ? ? 2 ; (3)设 a ? 0 ,当 ?1 ? x ? 1 时, g ? x ? 的最大值为 2 ,求 f ? x ? .

?

?

?

?

4.已知 f ? x ? ? a sin x ? b 3 x ? 4 ,且 f ? lglog3 10? ? 5 ,则 f ? lglg3? 的值为_________.

2 2 5.设 a , b 满足 2a ? 6b ? 3 ,证明函数 f ? x ? ? ax ? b 在 ??1,1? 上满足 f ? x ? ?

2.

指对函数(一)3 / 5

9.关于 x 的实系数方程 x ? ax ? b ? 0 有两个实数根 ? , ? ,证明:
2

14.若 ? log 2 3? ? ? log 5 3? ? ? log 2 3?
x x

?y

? ? log 5 3? ,则(
?y

) (D) x ? y ? 0

(1)如果 ? ? 2,

? ? 2 ,那么 2 a ? 4 ? b ,且 b ? 4 ; ? ? 2;

(A) x ? y ? 0 15.不等式 log 2 x ? 1 ?

(B) x ? y ? 0

(C) x ? y ? 0

(2)如果 2 a ? 4 ? b ,且 b ? 4 ,那么 ? ? 2,

1 log 1 x3 ? 2 ? 0 的解集为_________. 2 2

16.已知函数 f ? x ? ? a ? 3a ? a ? 0, a ? 1? 的反函数是 y ? f
x

?1

? x? ,而且函数 y ? g ? x? 的图像与

函数 y ? f

?1

? x? 的图像关于点 ? a, 0 ? 对称.若函数 F ? x? ? f ?1 ? x? ? g ? ? x? 在 x ??a ? 2, a ? 3? 上

1 1 1 ? ? 0 ,其中 a ? 0 ,求证: 10. 已知方程 ? x x ? a x ? a2
(1)方程有两个异号实根; (2)正根必小于 ?

有意义,则 a 的取值范围为________.

17.设命题 P :函数 y ? c 在 R 上单调递减;命题 Q :不等式 x ? x ? 2c ? 1 的解集为 R ;如果命
x

2 2 a ,负根必大于 ? a 2 . 3 3

题 P 与命题 Q 有且仅有一个为真命题,则正数 c 的取值范围为________.

x x x x 18.方程 log 5 3 ? 4 ? log 4 5 ? 3 的解集为________.

?

?

?

?

19.方程 ? lg x ?

lg x

? x 的解集为________.

2006 n ? 2006 11.设 x ? 2

1

?

1 n

( n 为正整数) ,那么

?

1 ? x 2 ? x 的值为______.

?

n

20.若关于 x 的方程 ?

? 3 ? 3a ? 2 有负数根,则实数 a 的取值范围为________. ? ? 5?a ?2?

x

21.比较 log 2 3 与 log3 8 的大小. 12.当 0 ? a ? 1 时,方程 loga x ? a 实数解的个数为(
x

) (D)一定有 3 个
2 22.设函数 f ? x ? ? lg ax ? 2 x ? 1 .

(A)有且只有一个

(B)可能无解

(C)可能有 3 个

13.设 x ? 1 , y ? 1 , S ? max log x 2, log 2 y, log y 8 x

?

2

? ,则 S 的最大值为________.

?

?

(1)若函数 f ? x ? 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ? x ? 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围.
指对函数(一)4 / 5

23.设点 P ? x ? a, y1 ? ,Q ? x, y2 ? ,R ? 2 ? a, y3 ? 是函数 f ? x ? ? 2 ? a 的反函数图像上三个不同点,
x

k ?1 26.设 f ? k ? 是满足不等式 log 2 x ? log 2 3 ? 2 ? x ? 2k ? 1 (其中 k ? N )的自然数 x 的个数,

?

?

且满足 y1 ? y3 ? 2 y2 的实数 x 有且只有一个,试求实数 a 的取值范围.

记 Sn ? f ?1? ? f ? 2? ??? f ? n? , P n 的大小,并证明. n ? n ? n ? 1 ,试比较 Sn 与 P
2

24.函数 f ? x ? ? a 值.

2x

? 3a x ? 2 ? a ? 0且a ? 1? 在 ??1,1? 上的最大值为 8 ,求它在这个区间上的最小

27.已知函数 f ? x ? ? log m

x ?3 . x?3

(1)若 f ? x ? 的定义域为 ?? , ? ? ? ? ? ? ? 0? ,判断 f ? x ? 在定义域上的增减性,并加以证明; 25. 设 f ? x ? ? loga ? x ? 2a ? ? loga ? x ? 3a ? , 其 中 a ? 0且a ? 1 . 若 在 区 间 ? a ? 3, a ? 4? 上 ( 2 ) 当 0 ? m ? 1 时 , 使 f ? x? 的 值 域 为 ? ?log m m ? ? ? 1? , log m m ?? ? 1? ? ? ,定义域区间为

f ? x ? ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.

??, ? ?? ? ? ? ? 0? 的实数 ? , ? 是否存在?请说明理由.

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