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广东省梅县东山中学2012-2013学年高二上学期期中数学理试题


广东梅县东山中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试 高二理科数学试题 一、选择题: (8×5 分=40 分) 1.下列说法正确的是( ) A. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 垂直于同一平面的两条直线平行

B.与某一平面成等角的两条直线平行 D.垂直于同一直线的两条直线平行 ).

2.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是( A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60°
(第 2 题)

3. 一个长方体,其正视图面积为 6 ,侧视图面积为 3 ,俯视图面积为 2 , 则长方体的对角线长为( A. 2 3 B. 3 2 ) C.6 D. 6 )

4.直线 5x-2y-10=0 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则( A.a=2,b=5; B.a=2,b= ? 5 ; C.a= ? 2 ,b=5;

D.a= ? 2 ,b= ? 5

5.直线 l 与直线 3x+4y-15=0 垂直,与圆 x 2 ? y 2 ? 18x ? 45 ? 0 相切,则直线 l 的 方程是( ) A.4x-3y-6=0 C.4x-3y-6=0 或 4x-3y-66=0 B.4x-3y-66=0 D.4x-3y-15=0

- 1 ), ( ), ( 6. 已知 a ? (2, ,3 b ? - 1,4,-2 c ? 7,5,?) ,若 a, b, c 三向量共面,
则 ( A
62 7

实 ) B
63 7



λ
64 7





C

D

65 7

7.线段 AB 与 x 轴平行,且|AB|=5 , 若点 A 的坐标为(2,1) , 则点 B 的坐标为 ( ) A. (2,-3)或(2,7) B. (2,-3)或(2,5)

C.(-3,1)或(7,1)

D.(-3,1)或(5,1)

8.异面直线 a,b 所成的角 60°,直线 a⊥c,则直线 b 与 c 所成的角的范围为 ( ). A.[30°,90°] B.[60°,90°] C.[30°,60°] D.[30°,120°] 二、填空题(6×5 分=30 分) 9. 若一个球的体积为 4 3? ,则它的表面积为________________ 10. 直线 y ? x 被圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 截得弦长为__________ 11. 过圆 x +y -6x+4y-3=0 的圆心, 且平行于 x+2y+11=0 的直线方程是___________
2 2

? ? ? ? ? ? 12. 已知向量 a , 满足 a ? 1 ,b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60°, a ? b = 则 b
13.如图 2,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB ? 1,D 在棱 BB1 上, 且 BD ? 1, AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ? , ns ? ? 若 则i .

__

14.在平面直角坐标系中, 设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) , 点 P(0,p)在线段 AO 上(异于端点) ,设 a,b,c, p 均为非零实数,直线 BP,CP 分 别 交 AC , AB 于 点 E ,F , 一 同 学 已 正 确 算 的 OE 的 方 程 :

? 1 1? ? 1 ?1 ? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 ,请你求 OF 的方程: ?c b? ? p a?

____________________。

三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15. 设a ? (1,5,?1), b ? (?2,3,5)

(1)若(k a ? b) || a - 3b),求k ( (2)若(k a ? b) ? a - 3b),求k (

16.已知直线 l 经过直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P , 且垂直于直 线 x ? 3 y ? 1 ? 0 .(1)求直线 l 的方程; (2)求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的 面积 S .

17. 如图,边长为 1 的正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点, 将△AED、△DCF 分别沿 DE、DF 折起,使 A、C 两点重合于点 A1. (1)求证:A1D⊥平面 AEF; (2)求三棱锥 A1-DEF 的体积.

18.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别 是 BB1、DD1 的中点,求证: (1)平面 ADE∥平面 B1C1F; (2)在 AE 上求一点 M,使得 A1M⊥平面 DAE.

19.已知点 P(2, 0) 及圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 4 ? 0 . (Ⅰ)若直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设过 P 直线 l1 与圆 C 交于 M 、 N 两点,当 MN ? 4 时,求以 MN 为直径的 圆的方程; (Ⅲ)设直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A , B 两点,是否存在实数 a ,使得过点

P(2, 0) 的直线 l2 垂直平分弦 AB ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,

请说明理由.

20.如图, 已知四棱锥 P-ABCD, PB⊥AD, △PAD 是边长 2 的正三角形, 底面 ABCD 为菱形,二面角 P-AD-B 为 120°. (1)求点 P 到平面 ABCD 的距离, (2)求二面角 A-PB-C 的余弦值

广东梅县东山中学高二理科数学中段考试答案
一、选择题: (本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 。 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 C 6 D 7 C 8 A

二、填空题: (本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 。 9、 12π 10、

2

11、___ x+2y+1=0_______

12、

1

13、

15 10

5 14、______ __________ 6

三、解答题: 15. (本小题满分 13 分)Ks5u

( 1 ) 由 题 有 所 求 直 线 l 与 x ? 3y ?1 ? 0 垂 直 , 则 可 设 直 线 l 的 方 程 为
3x ? y ? C ? 0 .

………3 分
…………6 分 …………7 分

把点 P(-2,2)的坐标代入得 2 ? ? ?2? ? 2 ? C ? 0 ,即 C=4. ∴所求直线 l 的方程为 3x ? y ? 4 ? 0 . (2)∵直线 l 为 3x ? y ? 4 ? 0
4 ∴令 y ? 0, x ? ? ,令 x ? 0, y ? ?4 ; 3

4 , ? 4 ………11 分 3 1 4 8 所以直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积 S ? ? ? 4 ? . ………13 分 2 3 3

则直线 l 的方程知它在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 ?

16. (本小题满分 13 分)

k a ? b ? (k ? 2,5k ? 3,?k ? 5) a ? 3b ? (7,?4,?16)
(1)∵ (k a ? b) || (a ? 3b)

…………2 分 …………4 分

k ? 2 5k ? 3 ? k ? 5 ? ? 7 ?4 ? 16 1 解得 k ? ? 3
∴ (2)∵ (k a ? b) ? (a ? 3b) ∴ (k ? 2) ? 7 ? (5k ? 3) ? (?4) ? (?k ? 5) ? (?16) ? 0 解得

…………7 分 …………8 分

…………11 分 …………13 分

k?

106 3

17. (本小题满分 14 分)

解:(1)由正方形 ABCD 知,∠DCF=∠DAE=90°, ∴ A1 D ? A1 F

…………2 分 …………4 分

A1 D ? A1 E ,

∵ A1 F ? A1 E ? A1 ∴ A1 D ? 平面A1 EF . (2)∵ A1 F ? A1 E ?
…………6 分

1 1 2 ,EF= ∴ A1 F 2 ? A1 E 2 ? ? EF 2 , 得A1 E ? A1 F 2 2 2

∴△A1EF 的面积为 S ?A1EF ? ∵ A1 D ? 平面A1 EF

1 8

…………9 分

∴A1D 是三棱锥 D-A1EF 的底面 A1EF 上的高线, 因此,三棱锥 A1-DEF 的体积为: V A1 ? DEF ? VD ? A1EF ? 18. (本小题满分 14 分)
解法一: (向量法) (1)建立以 D 为坐标原点的,DA,DC,DP 分别为 x 轴,y 轴, z 轴的空间直角坐标系,如图所示。 …………1 分 则 P(0,0,1) , A(1,0,0) , C(0,1,0) , E(1,

…………11 分

1 1 S ?A1EF ? A1 D ? 3 24
…………14 分

1 1 ,0) , F( ,1,0) , D(0,0,0) 2 2

1 1 EF =( ? , ,) 2 2 1 PE =(1, ,-1) 2
设平面 PEF 的法向量 n ? ( x, y, z ), 则

…………2 分

?

1 ? 1 - x? z ?0 ? 2 ? ? ? 2 n ? EF ? 0, 且n ? PE ? 0, 所以? ?x ? 1 y - z ? 0 ? 2 ?
令 x=2,则 y=2,z=3,所以 n ? (2,2,3) , …………4 分

( 0) 又因为 DE ? 1, ,
所以点 D 到平面 PEF 的距离为

1 2

d?

DE ? n n

?

2 ?1 4?4?9

?

3 17 17

…………6 分

(2)因为 PD ? 平面ABCD ,所以 DP 是平面 EFB 的法向量, DP ? (0,0,1) 由(1)知,平面 PEF 的法向量为 n ? (2,2,3) …………7 分

COS DP, n ?

DP ? n DP ? n

?

3 1? 17

?

3 17 17 3 17 17
…………10 分

所以二面角P ? EF ? B的余弦值为-

(3)假设存在点 M,当 DM= a (0< a <1)时满足条件,则 M(0,0, a ) 1 ME =(1, , - a ) 设 n =(x,y ,1)是平面 MEF 的一个法向量 2

1 ? 1 - x? y?0 ? ? ? ? 2 n ? EF ? 0, 且n ? ME ? 0, 所以? 2 ∴ ?x ? 1 y - a ? 0 ? 2 ?
2 ∴x=y= a 3 2 2 ∴ n =( a , a ,1) 3 3

…………12 分

则 cos30? ?

1 2 2 ( a) 2 ? a) 2 ? 12 ? 0 2 ? 0 2 ? 12 ( 3 3
6 时,满足条件. 4
2 2

?

3 2

解得 a =

6 ……13 分 4

故存在点 M,使 DM=

…………14 分

法二: (等体积法)连接 DE,DF,EF=

因为 PD ? 平面ABCD ,所以 PD ? DE, PD ? DF ,且点 P 到平面 DEF 的距离为 PD 因 为 ABCD 是 正 方 形 , E,F 是 AB,BC 的 中 点 , 所 以

5 ?1? DE=DF= 1 ? ? ? ? 2 ?2?
2

2

? 5? 3 ? 所以 PE=PF= 1 ? ? ? 2 ? ?2, ? ?
2

2

取 EF 的中点 H,连接 PH,DH,因为 PE=PF,DE=DF 所以 PH ? EF;DH ? EF
2 34 ?3? ? 2 ? ? ? PH ? ? ? ? ? ,DH ? 4 ?2? ? 4 ? ? ? 2

? 5? ? 2? 3 2 ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? 4 ? 4 ? ? ? ?

2

2

……3 分

1 1 S ?PEF ? ? EF ? PH ? ? 2 2 1 1 S ?DEF ? ? EF ? DH ? ? 2 2

2 34 17 ? ? 4 4 16 2 3 2 3 ? ? 4 4 16

…………5 分

设点 D 到平面 PEF 的距离为 h

1 1 ?VD? PEF ? VP ? DEF ? ? h ? S ?PEF ? ? PD ? S ?DEF 3 3

19、因为 PH ? EF;DH ? EF,所以 ? PHD 为平面 PEF 与平面 DEF 所成的二面角…7 分

3 3 17 ? h ? 16 ? 17 17 16 1?

………6 分

3 2 34 ,PH ? 4 4 DH 3 17 ? COS?PHD ? ? PH 17 ? DH ?
由题可知二面角 P-EF-D 与 P-EF-B 互补 所以二面角 P-EH-B 的余弦值为 -

…………9 分

3 17 17

…………10 分

(3)过点 D 作 DH⊥EF 于 H,连接 MH
∵PD⊥平面 ABCD ∴MH⊥EF ∴ ∠MHD 就是二面角 M-EF-D 的平面角 若∠MHD=30° 设 DM=x(0<x<1),则 MH=2x 在 Rt△ADE 中, DE ?
2 2

…………11 分

1 5 ?1 ? 4 4
2


2

在 Rt△MEH 中, ME ? EH ? MH 在 Rt△MDE 中, MD ? DE ? ME
2 2 2

?

1 ? 4x 2 8

∴x ?
2

5 1 3 ? ? 4x2 ? x2 ? 4 8 8

∵0<x<1

,∴ x ?

6 4 6 时,满足条件. 4

…………13 分

故存在点 M,使 DM=

…………14 分

19. (本小题满分 14 分)
解:(1)设直线 l 的斜率为 k ( k 存在)则方程为 y ? 0 ? k ( x ? 2) . 又圆 C 的圆心为 (3, ?2) ,半径 r ? 3 , …………1 分



3k ? 2 ? 2k k 2 ?1

3 ? 1 , 解得 k ? ? . 4

…………2 分

3 ( x ? 2) , 即 3x ? 4 y ? 6 ? 0 . …………3 分 4 当 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x ? 2 ,经验证 x ? 2 也满足条件. …………4 分
所以直线方程为 y ? ? 综上:直线方程为: 3x ? 4 y ? 6 ? 0 , x ? 2 …………5 分

(2)由于 CP ? 5 ,而弦心距 d ? 所以 d ? CP ? 5 . 所以 P 为 MN 的中点.

r2 ? (

MN 2

)2 ? 5 ,
…………7 分

故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 . (3)把直线 ax ? y ? 1 ? 0 即 y ? ax ? 1 .代入圆 C 的方程, 消去 y ,整理得 (a ? 1) x ? 6(a ?1) x ? 9 ? 0 .
2 2

…………8 分

…………9 分

由于直线 ax ? y ? 1 ? 0 交圆 C 于 A, B 两点, 故 ? ? 36(a ?1) ? 36(a ? 1) ? 0 ,即 ?2a ? 0 ,解得 a ? 0 .
2 2

则实数 a 的取值范围是 ( ??, 0) . 设符合条件的实数 a 存在, 由于 l2 垂直平分弦 AB ,故圆心 C (3, ? 2) 必在 l2 上. 所以 l2 的斜率 kPC ? ?2 ,而 k AB ? a ? ?

…………10 分

1 1 ,所以 a ? . 2 k PC

………12 分

由于

1 ? (??, 0) , 2
………14 分

故不存在实数 a ,使得过点 P(2, 0) 的直线 l2 垂直平分弦 AB .

20. (本小题满分 12 分)Ks5u

解(1) ①当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 y ?

1 2

……1 分

②当 k ? 0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1) (0 ? a ? 2) , 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称,有 k OG ? k ? ?1, 故 G 点坐标为 G(?k ,1) (?2 ? k ? 0) 从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标(线段 OG 的中点)为 M ( ? 折痕所在的直线方程 y ?

1 k ? ?1 ? a ? ?k ……2 分 a

k 1 , ) 2 2
……4 分

1 k k2 1 ? k ( x ? ) ,即 y ? kx ? ? (?2 ? k ? 0) 2 2 2 2

由①、②得折痕所在的直线方程为: k=0 时, y ?

1 k2 1 ? (?2 ? k ? 0) ; k ? 0 时 y ? kx ? 2 2 2

…………5 分 …………6 分

(2)⑴当 k ? 0 时,折痕的长为 2; ⑵当 k ? 0 时, ①如下图,折痕所在的直线与 边 AD、BC 的交点坐标为

N (0,


k 2 ?1 k 2 ?1 ), P(2, 2k ? ) 2 2




?2

? 3k ?

, 0 ? …

PN ? 4 ? 4k 2 ? 2 1 ? k 2

y D N G C

…7 分 ②如下图, 折痕所在的直线与边 AD、 AB 的 交 点 坐 标 为

M P

N (0,

k 2 ?1 k 2 ?1 ), P(? ,0) 2 2k

o

(A)

这时, ?1 ? k ? ?2 ? 3 ,

(1)

B

x

y ? PN 2 ? (

k 2 ?1 2 k 2 ? 1 2 (k 2 ? 1)3 (k 2 ? 1) k 2 ? 1 ) ? (? ) ? 即PN ? 2 2k 4k 2 2k

…………9 分

③如下图,折痕所在的直线与边 CD、AB 的交点坐标为 N ( 这 时 ,

1? k 2 k 2 ?1 ,1), P(? , 0) 2k 2k
?2 ? k ? ?1


1 1? k 2 1? k 2 PN 2 ? ( ) 2 ? 1 ? 2 ,即PN ? k k k
综上述,当 k ? 0 时,折痕的长为 2; 当 ?2 ? 3 ? k ? 0 时,折痕长 PN ? 2 1 ? k 2 当 ?1 ? k ? ?2 ? 3 时,折痕长 PN ?

………11 分

(k 2 ? 1) k 2 ? 1 2k
…………12 分

当 ?2 ? k ? ?1 时,折痕长 PN ?

1? k 2 k


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