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利用函数性质解一类方程


中学 生 数 学 ? 2 ( ) 1   2 年 8 月上 ? 第 ¨7期 ( 高 中)  



 

首都 帅范 大学数学 科学 学 院 2 0 l ( ) 级研 究生 ( 1 0 0 0 4 8 )   姬楠  周伊 敏 
黪 

j  
≯ 

离考

题 一 { J一 定 会 涉 及 解方 程 的 问题 , 但 并 

不 是所有 的方 程都 能 够 直 接求 解 , 解 法 需 要 根  据 题 U特 点 来 选 择 . 对 于 不 能 直 接 求 解 的 方 
程. 可尝 试 以 函数 的 观点 研 究 方 程 , 方稗 与函  

作 —l o g   z  

一昔 

的『 『 f f _   的交  -  的他 

标. 我们 知道  数 Y 一2  干 f I   Y一 = = 1   c ) g   的  像 父  
0 

法 

于 Y—   对称 ,  

=  

j_ 、 , 一 

条 

数 是 两个互 不相 同 的概 念 , 但 却 存 在着 密切 相  关 的 联 系. 以 函数 的观 点 研 究 方 程 , 更有利 丁  
发 掘题 目【 1 ] 的隐 含 条件 , 一 方 面 可 以 根 据 函 数 

互相 垂直 的直 线 。   此我们 n J ‘ 以  : 川它 仃 J 交 点 
0 

的横  标 为÷. 最后 …   彤 的 几f 『 l f   r f : 质r   J ‘  
I  


图像 , 从[ 皋 l 形 的 角度 来 思 考 , 另 一 方 面 可 以 通  过 考 察 函数 的性 质 , 从 代 数 的角 度来 思 考 . 本  文 主要讨 论 从代数 的 角度解这 类方 程 的问题.  
2 0 0 9年 ( 辽 宁卷 ) 客 观 题 最 后 一 题 是 这 样 
的:  

7  

7 / 7 1  ̄ +  一  , 川5 么  1} 一  ! 一  .  
厶  厶 

于  遇  这 种 题 『 I   I 1 , f . 惯性 思 维 他 代 f f J   常常 只是从 冈肜 的 角度 来 思 考 , 根 撕  数 的 

像 来求 懈 .   这利   方 法 涉 及 刮 r作  以 / 支 m 繁  琐 的求 交点 的运 算 , 这样 的晰 法 1   纪 汁 人 仃  { ;  
小满 意 ,   是  没  更 巧 妙 的   法  , r 以 小 川竹 :   冈和计算 . 而 是 通 过  数 的 一 r l   质发掘J  f t .   n l l  

若  满 足 2  + 2   一5 ,   满足 2  + 2 l o g  
(  一 】 ) 一5 , 则  +  一 (   ) .  

( A)  

( B ) 3  

( c) ÷ 

( D) 4  

的关系 来 求 解 呢?   ‘ m我  就 从 代 数 f  『 f   J
来 思考 这道题 .  

这是 ? 道不 能 直接 求 解 的方程 问题 , 首 先 

利 用数 形结 合 的方 法 , 转 化 成 嘣 个 函 数 的 交 点 

先求 f } J .   干 I   I 『 l } | 尽姑使 形式 统 5 . 求 

的  达 式 , H . 求 晰 的 过  2  

的问题 进  通过 图形 的儿何 性质 求解.  
题 日I {   给  满足 2 一 、 +2   一5 , 我们 【 1 f 以  

+ . 首  通 过 厅 稗 2   一   2  

的  达 式 

一  满 

知道 2   +2 1—5 . 南于我们 想通 过 函数 图像 来 
找方程 的解 之 间的 关 系 , 观 察 到 方 程 左 边 有 指 

2   +2 1 o g 。 (  2   1 ) 一 , 根 据 的  l   丛  的 形 

式 我们 町以将 。 。 的 表 达 式 化 成  一 2   。一 十  

数 函数 , 我们 就有 意识 的移项 得 到 2 。   一   ~  
l , 得 到  +  ’ 2 一  一 2  
厶  

+2 号   十1 。 通过 干 j ;  

寸  


3一   则  为 ①  
义 由 于  满 足2   , + 2 l 。 g 。 ( z  1 ) 一 5 得 


项将 等式 稍微 变形 。 化成 

髻 

t r   到2 如+2 1 。 默( 吼~1 ) 一 5 , 同样的令. r   一  .   .
1, 9 1 I j 方 程 为 
. 

我们 发 现 等 式 的年 l 仃   端 都 是 

? 个  

数, 只是取 值不 同 。 f是 令 F( ¨ I )=   +2  。 I J ! l J 『   J ‘   希f } {F ( _ ’   一1 ) 一F (   ) . 我仃 J   道F(  ) 址 

+1 。 g  

=  

② 

而①- I ] 的   可以 看作  一2 。 与  一{~  
r的 唯 一 的 交 点 的 横 坐 标 , ② 中 的  可 以 看 

严格 单训增 的 , ! J ! J l 必 有 

l 一妥  : ,  

所以   十 - : 一÷.  
山 

I x x ]  ̄ l l z : z x s s . c b p 1 . c n k i . n ( t

?

1   4 ?电 子 邮   :   c  

中 学 生 数 学 ?2 O 1   2 年 8月 上 ? 第4 4 7期 ( 高 中)  

除 此之 外 , 我 们 还 可 以 通 过 直 接 对 原 式 子 

) , 则 可 以 知 道 F( x   ) 一F( a  

) . 而 F 是 定 

进行 恒 等 变 形 可 以 得 到 我 们 要 的 结 果 . 由 于 
2 x   +2  = = = 5 , 同样 令 
0  


义在 尺 上 的一 一 映射 , 那 么  。 —“  


, 冈此 

一   一l , 得 到 
③ 

2 7 l + z2一 &.  

r  +2   = = =  
厶 

如果用 恒 等代换 的方法 , 由 已 知 
z 2 + g( x 2 ) 一a   ⑥ 

思  路 
万 

再 由_ 已知 2   : +2 l o g : (  。 一1 ) 一5 , 令 


一  

其 中 g是  的 反 函数 , 通 过 对  : 进 行 代 
换 可 以 得 到 

l , 得 到 
0  

+l o g 2   = = = 詈 
厶 

④ 

g ( x 2 ) +厂 ( g( . 7 d 2 ) ) 一a  

⑦ 

法 

其 中观察 到 ③ 和 ④ 这两 个 式 子 很相 似 , 我 
们 埘④ 进行 恒等 变形 , 得 到 
0  

又 根据 已知 条件 知道 
z l +/ ’ (  1 ) 二 = = 口   ⑧ 

通 过 ⑦ 和 ⑧ 两 式 得 到 F( g (  。 ) ) 一 F( x   ) .  

2 l o g   +l 。 g 2   一寻 
厶 

⑤ 

又 由于 F是定 义 在 尺 上 的一 一 映射 , 则 g ( z   )  
一  

可 以 看 出 ③ 和 ⑤ 这 两 个 式 子 表 示 的 是 同 




将 g ( x 。 ) 一  代 入 到 ⑥ 式 中 , 得到 . 2 7   4 -  

个 函 数 在 不 同点 满 足 的方 程 , 那 么 我 们 令 

2一

a .  

F( x ) 一3 1 7 +2   , 则 由 ③ 和 ⑤ 两 式 可 知 F(   ) 一  

这样 的 推 广 使 思 维 不 再 拘 泥 于 一 道 具 体  的题 目 , 而 是 所 有 满 足 某 些 条 件 的 一 类 问 题.   事实 上 , 这 两种 代数 解法 都 利 用 了 F( z ) 一 +  ,   (  ) 是定 义在 R上 的一 一 映射这 个 条件 . 需 要 
注意 的是 , 题 目 中 F( z) 是 定 义 在 R 上 的 一 一 

F( 1 o g x  ̄) , 又 由于 F(  ) 是 严格 单 调增 的 , 则 会 
有 l o g x  ̄—z  , 结 合 ④ 式 就 可 以得 到 z   + 
0  , 7  



== = 

厶 

所以 . 7 C l +z 2 一÷.  
厶 

后 两种方 法 都 是从 代 数 的角 度 来 思 考 , 比 

映射 这 个 条 件 很 重 要 . 若 去掉, 那 么我 们 知 道  点( z   , Y   ) 不 是 函数 Y 一_ 厂 ( z ) 与  一。 一   的唯 


较新 颖 , 并且 相较 于 利 用 函数 图像 的方 法 避 免  了冗 余 的 求 交 点 计 算 的 过 程 , 解法更简单. 事 
实上 , 我 们 知 道 在 用 上 述  种 解 题 思 路 解 的 过 

交点, 又 由于 g是 / ’ 的反 函数 , 则点 (   ,   )  
与 J S " 。的 和 会 出 现 很 多 值 , 它 们 的 和 就 

也一 定不 是 . y —g (  ) 与 Y —a —  的 唯 一 交 点 ,   那 么  没办法 确 定.  

程中, 常 常考 虑 的是 利 用 变 量 替换 的方 法 把 方 
稗化 成尽 量简 单 的 形式 , 那 么 我 们 在 化 简 的 过  程 中 就 想 到 了 是 不 是 对 于 一 类 函 数 这 些 方 法 

最 后 我们 给  两 个 例 题 作 为 应 用 , 供 大 家  参 考.   例 1  若 z 1 满 足 z+2   一“ 2 ,  2满 足  +  l o g 2 (  — a 1 ) 一a , 且 a 1 +a   2 一a , 其中 a 1 , a 2 , a   是实数 且 均为 常数 , 则  +. 2 7   一(  
答案 : a .   例 2   若 l 满足 7 2  +  二 = = n   2 , . 2 7 2 满 足  + 
l o g 6 ( n x— n1 ) 一  a


也适 用 , 这一 类 函 数有 什 么 特 点 呢 ?而 且 原 题  中是 对 于严格 单 调 的 函数 有 这 样 的结 果 , 那 么  我们 想对 于 不 连 续 但 一 一 对 应 的 函数 是 不 是  也有 类似 的结 论 呢?下 面 给  一 般性 的推 广 :   推广  若 , 2 7   满 足  + 厂 ( z ) 一a , z  满 足 
+g (  ) —“ , 其 中 g是 / ’ 是 反 函数 , F:   —  +  


) .  

寸 

, ’ (  ) 是定 义 在 R 上 的一 一 映射 , 则  + . 2 7 。 一  

且 Ⅱ 1 +& 2 一“ , 其中 n , 6 , n 1 ,   ) .  

a .  

同上 面具 体题 目方 法 一 样 , 如 果 通 过 先 求  出   和  。的表 达 式 , 很 容 易 得 出  和 z  的  
表 达 式  1 + 2 一a   f(  1 ) +_ 厂 ( a 一3 7 2 ) . 对 上 面  的 表 达 式 变 形  。 +_ 厂 (   ) 一( “   : ) +_ 厂 ( a  

a 。 , a是 实数 且均 为 常数 , 则 l z   + 。 一(  
答案 :   .  
,f  

C 责审   连 四清)  

… …  —  一

?

1   5 ?   ~…- n a  . 一 …  


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