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湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)


湖南省长沙市长郡中学 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (3 分)复数 A.
2

=() B. C. D.

2. (3 分)已知 p:x ﹣6x﹣27≤0,q:|x

﹣1|≤m(m>0) ,若 q 是 p 的必要而不充分条件,则 实数 m 的取值范围是() A.m≤4 B.m<4 C.m≥8 D.m>8 3. (3 分) 过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A (x1, y1) , B (x2, y2) 两点, 如果 x1+x2=6, 那么|AB|=() A.10 B. 9 C. 8 D.6 4. (3 分) 甲乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制, 无论哪一方先胜三局则比赛结束, 假定甲每局比赛获胜的概率均为 ,则甲以 3:1 的比分获胜的概率为() A. B. C. D.
2

5. (3 分)若

=1,则 f′(x0)等于() B . ﹣2 C. D.

A.2

6. (3 分)把下面在平面内成立的结论: (1)如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则它与另一条相交 (2)如果两条直线同时与第三条直线平行,则这两条直线平行 (3)如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则它与另一条垂直 (4)如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行 类比地推广到空间,且结论也正确的是() A.(1) (2) B.(2) (3) C.(2) (4) D.(3) (4)

7. (3 分)用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(n+3)= 一步验证 n=1 时,左边应取的项是() A.1 B.1+2

时,第

C.1+2+3

D.1+2+3+4

8. (3 分) 三棱锥 A﹣BCD 中, AB=AC=AD=2, ∠BAD=90°, ∠BAC=60°, ∠CAD=60°, 则 ()

=

A.﹣2

B. 2

C.

D.

9. (3 分)曲线 y= 与直线 y=x﹣1 及 x=4 所围成的封闭图形的面积为() A.2ln2 B.2﹣ln2 C.4﹣ln2 D.4﹣2ln2

10. (3 分)已知斜率为 2 的直线 l 双曲线 点 P(2,1)是 AB 的中点,则 C 的离心率等于() A. B. C. 2
3 2

交 A、B 两点,若

D.
3

11. (3 分)若对于任意实数 x,有 x =a0+a1(x﹣2)+a2(x﹣2) +a3(x﹣2) ,则 a2 的值为 () A.3 B. 6 C. 9 D.12 12. (3 分)下列选项中,说法正确的是() 2 2 A.命题“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是真命题 B. 设 是向量,命题“若 ,则| |=| |”的否命题是真命题

C. 命题“p∪q”为真命题,则命题 p 和 q 均为真命题 2 2 D.命题?x∈R,x ﹣x>0”的否定是“?x∈R,x ﹣x≤0”. 13. (3 分)f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x) +f(x)g′(x)<0 且 f(﹣1)=0 则不等式 f(x)g(x)<0 的解集为() A.(﹣1,0)∪(1,+∞) B.(﹣1,0)∪(0,1) C. (﹣∞,﹣1) ∪(1,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪(0,1)

14. (3 分)椭圆

的左右焦点分别为 F1,F2,若椭圆 C 上恰好有

6 个不同的点 P,使得△ F1F2P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是() A. B.
2 2

C.

D.

15. (3 分)方程 ay=b x +c 中的 a,b,c∈{﹣3,﹣2,0,1,2,3},且 a,b,c 互不相同, 在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有() A.60 条 B.62 条 C.71 条 D.80 条

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分. ) 16. (3 分)平面内有 10 个点,其中 5 个点在一条直线上,此外再没有三点共线,则共可确定 个三角形.

17. (3 分)已知 F1、F2 为椭圆 |F2A|+|F2B|=12,则|AB|=. 18. (3 分)设

=1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若

的展开式中的常数项等于.

19. (3 分)已知函数 y=f(x)的图象在 M(1,f(1) )处的切线方程是 (1)=.

+2,f(1)+f′

20. (3 分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边 形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图 有 19 个蜂巢,按此规律,以 f(n)表示第 n 幅图的蜂巢总数.则 f(4)=;f(n)=.

三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. )

21. (8 分) 已知命题 p: 方程 的离心率 e∈(

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆; 命题 q: 双曲线

=1

) .若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

22. (8 分)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4; 白 色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能 性相同) . (Ⅰ)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和数学 期望. 23. (8 分)如图,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE= AD=1. (1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (2)求二面角 A﹣CD﹣E 的余弦值.

24. (8 分)已知直线 y=kx+1 和双曲线 3x ﹣y =1 相交于两点 A,B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以 AB 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出 k 的值;若不存在, 请说明理由.

2

2

25. (8 分)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的最小值为 1,求 a 的取值范围.

,其中 a>0.

湖南省长沙市长郡中学 2014-2015 学年高二上学期期末数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (3 分)复数 A. B. =() C. D.

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 利用 i 的幂的运算法则,化简分子,然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,化 简为 a+bi(a,b∈R)的形式,即可. 解答: 解:复数 = = = =

故选 C 点评: 题考查复数代数形式的混合运算,考查计算能力,是基础题. 2. (3 分)已知 p:x ﹣6x﹣27≤0,q:|x﹣1|≤m(m>0) ,若 q 是 p 的必要而不充分条件,则 实数 m 的取值范围是() A.m≤4 B.m<4 C.m≥8 D.m>8 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式的性质求出 p,q 对应的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义建立 条件关系即可得到结论. 2 解答: 解:由 x ﹣6x﹣27≤0,得﹣3≤x≤9,即 p:﹣3≤x≤9, 由|x﹣1|≤m(m>0) ,得 1﹣m≤x≤1+m,即 q:1﹣m≤x≤1+m, 若 q 是 p 的必要而不充分条件, 则 即 , ,解得 m≥8,
2

即实数 m 的取值范围是 m≥8, 故选:C 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,求出命题的等价条件是解决本题的关键. 3. (3 分) 过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A (x1, y1) , B (x2, y2) 两点, 如果 x1+x2=6, 那么|AB|=() A.10 B. 9 C. 8 D.6 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
2

分析: 抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A (x1, y1) B (x2, y2) 两点, 故|AB|=x1+x2+2, 由此易得弦长值. 解答: 解:由题意,p=2,故抛物线的准线方程是 x=﹣1, 2 ∵抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点 ∴|AB|=x1+x2+2, 又 x1+x2=6 ∴∴|AB|=x1+x2+2=8 故选 C. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等, 由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题,大大降低了解题难度. 4. (3 分) 甲乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制, 无论哪一方先胜三局则比赛结束, 假定甲每局比赛获胜的概率均为 ,则甲以 3:1 的比分获胜的概率为() A. B. C. D.

2

考点: 专题: 分析: 结论. 解答:

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 计算题;概率与统计. 以甲 3 胜 1 败而结束比赛,甲只能在 1、2、3 次中失败 1 次,第 4 次胜,即可得出 解:甲以 3:1 的比分获胜,甲只能在 1、2、3 次中失败 1 次,第 4 次胜, = .

因此所求概率为:P=

故选:A. 点评: 本题主要考查 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率,等可能事件的概率,属于 基础题.

5. (3 分)若

=1,则 f′(x0)等于() B . ﹣2 C. D.

A.2

考点: 极限及其运算;变化的快慢与变化率. 专题: 计算题. 分析: 先将 进行化简变形,转化成导数的定义式,

即可解得.

解答: 解:根据导数的定义可得, = 故选 C 点评: 本题主要考查了导数的定义的简单应用,以及极限及其运算,属于基础题. 6. (3 分)把下面在平面内成立的结论: (1)如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则它与另一条相交 (2)如果两条直线同时与第三条直线平行,则这两条直线平行 (3)如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则它与另一条垂直 (4)如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行 类比地推广到空间,且结论也正确的是() A.(1) (2) B.(2) (3) C.(2) (4) D.(3) (4) 考点: 类比推理. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 对 4 个命题分别进行判断,即可得出结论. 解答: 解: (1)如果一条直线与两条平行线中的一条相交,与另一条不一定相交,也可能 异面,在长方体中找. (2)如果两条直线同时与第三条直线平行,根据平行公理,则这两条直线平行; (3)如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则必与另一条垂直,符合异面直线所成角的 定义; (4)垂直于同一条直线的两条直线还可能相交或异面,比如墙角上的三条垂直的直线. 故选 B. 点评: 本题考查了线面的平行和垂直定理,借助于具体的事物有助于理解,还能培养立体 感.

7. (3 分)用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(n+3)= 一步验证 n=1 时,左边应取的项是() A.1 B.1+2 考点: 数学归纳法. 专题: 阅读型. 分析: 由等式 而等式左边起始为 1 的连续的正整数的和,由此易得答案. 解答: 解:在等式 当 n=1 时,n+3=4, 而等式左边起始为 1 的连续的正整数的和, 故 n=1 时,等式左边的项为:1+2+3+4 故选 D. 中,

时,第

C.1+2+3

D.1+2+3+4

,当 n=1 时,n+3=4,

点评: 本题考查的知识点是数学归纳法的步骤,在数学归纳法中,第一步是论证 n=1 时结 论是否成立, 此时一定要分析等式两边的项, 不能多写也不能少写, 否则会引起答案的错误. 解 此类问题时,注意 n 的取值范围.

8. (3 分) 三棱锥 A﹣BCD 中, AB=AC=AD=2, ∠BAD=90°, ∠BAC=60°, ∠CAD=60°, 则 ()

=

A.﹣2

B. 2

C.

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差,进行数量积的运算,这 样应用的边长和角都是已知的,得到结果. 解答: 解: = =0﹣2× = ﹣2 =

故选 A. 点评: 本题考查平面向量的数量积的运算,本题解题的关键是把未知量转化为已知量,用 侧棱做基底表示未知向量.

9. (3 分)曲线 y= 与直线 y=x﹣1 及 x=4 所围成的封闭图形的面积为() A.2ln2 B.2﹣ln2 C.4﹣ln2 D.4﹣2ln2

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 作出函数的图象,可得围成的封闭图形为曲边三角形 ABC,它的面积可化作梯形 ABEF 的面积与曲边梯形 BCEF 面积的差,由此结合定积分计算公式和梯形面积公式,不难得 到本题的答案. 解答: 解:令 x=4,代入直线 y=x﹣1 得 A(4,3) ,同理得 C(4, )

由 =x﹣1,解得 x=2,所以曲线 y= 与直线 y=x﹣1 交于点 B(2,1) ∴SABC=S 梯形 ABEF﹣SBCEF 而 SBCEF= dx=2lnx| =2ln4﹣2ln2=2ln2

∵S 梯形 ABEF= (1+3)×2=4 ∴封闭图形 ABC 的面积 SABC=S 梯形 ABEF﹣SBCEF=4﹣2ln2 故选 D

点评: 本题利用定积分计算公式,求封闭曲边图形的面积,着重考查了利用积分公式求原 函数和定积分的几何意义等知识,属于基础题.

10. (3 分)已知斜率为 2 的直线 l 双曲线 点 P(2,1)是 AB 的中点,则 C 的离心率等于() A. B. C. 2

交 A、B 两点,若

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,根据 AB 的中点 P 的坐标,表示出斜率,从而得到关 于 a、b 的关系式,再求离心率. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 ﹣ =1,①;



=1,②,

①﹣②得 ∵点 P(2,1)是 AB 的中点, ∴x1+x2=4,y1+y2=2,

=



∵直线 l 的斜率为 2,∴
2 2 2 2

=2,

∴a =b ,c =2a , ∴e= . 故选 A. 点评: 本题考查了双曲线的简单性质,解题的关键是利用“设而不求”法求直线 l 的斜率. 11. (3 分)若对于任意实数 x,有 x =a0+a1(x﹣2)+a2(x﹣2) +a3(x﹣2) ,则 a2 的值为 () A.3 B. 6 C. 9 D.12 考点: 二项式定理的应用. 分析: 由等式右边可以看出是按照 x﹣2 的升幂排列,故可将 x 写为 2+x﹣2,利用二项式定 理的通项公式可求出 a2 的值. 3 3 2 解答: 解:x =(2+x﹣2) ,故 a2=C3 2=6 故选 B 点评: 本题考查二项式定理及通项公式的运用,观察等式右侧的特点,将 x =(2+x﹣2) 是解题的关键. 12. (3 分)下列选项中,说法正确的是() 2 2 A.命题“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是真命题 B. 设 是向量,命题“若
2 3 3 3 2 3

,则| |=| |”的否命题是真命题
2

C. 命题“p∪q”为真命题,则命题 p 和 q 均为真命题 D.命题?x∈R,x ﹣x>0”的否定是“?x∈R,x ﹣x≤0”. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 证明题. 分析: 要否定一个命题只要举出反例即可:对于 A、B、C 可举出反例;D 根据全称命题 p: “?x0∈M,p(x0)”的否定¬p 为:“?x∈M,¬p(x)”即可判断出正确与否. 2 2 2 2 解答: 解:A.命题“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是“若 a<b,则 am <bm ”,对于逆命 题,取 m=0 时不成立; B.设 是向量,命题“若 ,则| |=| |”的否命题是“若 ,则| |≠| |”是假命题,

若向量 、 的起点相同,其终点在同一个圆周上,则必有| |≠| |,故其逆命题是假命题; C.只要 p、q 中有一个为真命题,则 pVq 即为真命题.由此可知:C 为假命题; D.根据:全称命题 p:“?x0∈M,p(x0)”的否定¬p 为:“?x∈M,¬p(x)”可知:D 正确. 综上可知:正确答案为:D. 故选 D. 点评: 掌握四种命题间的关系、或命题的真假关系、全称命题与特称命题的否定关系是解 题的关键.

13. (3 分)f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x) +f(x)g′(x)<0 且 f(﹣1)=0 则不等式 f(x)g(x)<0 的解集为() A.(﹣1,0)∪(1,+∞) B.(﹣1,0)∪(0,1) C. (﹣∞,﹣1) ∪(1,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪(0,1) 考点: 导数的乘法与除法法则;函数单调性的性质;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 构造函数 h(x)=f(x)g(x) ,由已知得到当 x<0 时,h′(x)<0,所以函数 y=h (x)在(﹣∞,0)单调递减,又因为 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 得到函数 y=h(x)为 R 上的奇函数,得到函数 y=h(x)在(0,+∞)单调递减,画出函数 h (x)的草图,结合图象得到不等式的解集. 解答: 解:设 h(x)=f(x)g(x) , 因为当 x<0 时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0, 所以当 x<0 时,h′(x)<0, 所以函数 y=h(x)在(﹣∞,0)单调递减, 又因为 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 所以函数 y=h(x)为 R 上的奇函数, 所以函数 y=h(x)在(0,+∞)单调递减, 因为 f(﹣1)=0, 所以函数 y=h(x)的大致图象如下: 所以等式 f(x)g(x)<0 的解集为(﹣1,0)∪(1,+∞) 故选 A.

点评: 本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系;奇函数的单调性在对 称区间上一致,属于基础题.

14. (3 分)椭圆

的左右焦点分别为 F1,F2,若椭圆 C 上恰好有

6 个不同的点 P,使得△ F1F2P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 分等腰三角形△ F1F2P 以 F1F2 为底和以 F1F2 为一腰两种情况进行讨论,结合以椭圆 焦点为圆心半径为 2c 的圆与椭圆位置关系的判断,建立关于 a、c 的不等式,解之即可得到椭 圆 C 的离心率的取值范围. 解答: 解:①当点 P 与短轴的顶点重合时, △ F1F2P 构成以 F1F2 为底边的等腰三角形, 此种情况有 2 个满足条件的等腰△ F1F2P; ②当△ F1F2P 构成以 F1F2 为一腰的等腰三角形时, 以 F2P 作为等腰三角形的底边为例, ∵F1F2=F1P, ∴点 P 在以 F1 为圆心,半径为焦距 2c 的圆上 因此,当以 F1 为圆心,半径为 2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时, 存在 2 个满足条件的等腰△ F1F2P, 在△ F1F2P1 中,F1F2+PF1>PF2,即 2c+2c>2a﹣2c, 由此得知 3c>a.所以离心率 e> . 当 e= 时,△ F1F2P 是等边三角形,与①中的三角形重复,故 e≠ 同理,当 F1P 为等腰三角形的底边时,在 e 且 e≠ 时也存在 2 个满足条件的等腰△ F1F2P

这样,总共有 6 个不同的点 P 使得△ F1F2P 为等腰三角形 综上所述,离心率的取值范围是:e∈( , )∪( ,1)

点评: 本题给出椭圆的焦点三角形中,共有 6 个不同点 P 使得△ F1F2P 为等腰三角形,求椭 圆离心率 e 的取值范围.着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题. 15. (3 分)方程 ay=b x +c 中的 a,b,c∈{﹣3,﹣2,0,1,2,3},且 a,b,c 互不相同, 在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有() A.60 条 B.62 条 C.71 条 D.80 条 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 方程变形得 3 五种情况,利用列举法可解. ,若表示抛物线,则 a≠0,b≠0,所以分 b=﹣3,﹣2,1,2,
2 2

解答: 解:方程变形得

,若表示抛物线,则 a≠0,b≠0,所以分 b=﹣3,﹣2,1,

2,3 五种情况: (1)当 b=﹣3 时,a=﹣2,c=0,1,2,3 或 a=1,c=﹣2,0,2,3 或 a=2,c=﹣2,0,1,3 或 a=3,c=﹣2,0,1,2; (2)当 b=3 时,a=﹣2,c=0,1,2,﹣3 或 a=1,c=﹣2,0,2,﹣3 或 a=2,c=﹣2,0,1, ﹣3 或 a=﹣3,c=﹣2,0,1,2; 以上两种情况下有 9 条重复,故共有 16+7=23 条; (3)同理当 b=﹣2 或 b=2 时,共有 16+7=23 条; (4)当 b=1 时,a=﹣3,c=﹣2,0,2,3 或 a=﹣2,c=﹣3,0,2,3 或 a=2,c=﹣3,﹣2,0, 3 或 a=3,c=﹣3,﹣2,0,2; 共有 16 条. 综上,共有 23+23+16=62 种 故选 B. 点评: 此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的 9 条抛物线.列举法 是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分. ) 16. (3 分)平面内有 10 个点,其中 5 个点在一条直线上,此外再没有三点共线,则共可确定 110 个三角形. 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 先把 10 个点看作不共线的,此时能确定的最多三角形数求出来,再减去共线 5 点所 确定的三角形数即可 解答: 解:先把 10 个点看作不共线的,此时能确定的最多三角形数求出来,再减去共线 5 点所确定的三角形数,故有 ﹣ =110 个三角形.

故答案为:110. 点评: 本题考查排列组合的基本问题,属于基础题.

17. (3 分)已知 F1、F2 为椭圆 |F2A|+|F2B|=12,则|AB|=8.

=1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 运用椭圆的定义,可得三角形 ABF2 的周长为 4a=20,再由周长,即可得到 AB 的长. 解答: 解:椭圆 =1 的 a=5,

由题意的定义,可得,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 则三角形 ABF2 的周长为 4a=20,

若|F2A|+|F2B|=12, 则|AB|=20﹣12=8. 故答案为:8 点评: 本题考查椭圆的方程和定义,考查运算能力,属于基础题. 18. (3 分) 设 的展开式中的常数项等于﹣160.

考点: 二项式定理的应用;定积分. 专题: 计算题. 分析: 在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 0,求出 r 的值,即可求得常数项. 解答: 解:∵ =﹣(cosπ﹣cos0)=2,



=

的展开式的通项公式为

Tr+1=

?

?

=

?2

6﹣r

?x

3﹣r



令 3﹣r=0,解得 r=3,故展开式中的常数项等于﹣160, 故答案为﹣160. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数, 二项式系数的性质,属于中档题.

19. (3 分)已知函数 y=f(x)的图象在 M(1,f(1) )处的切线方程是 (1)=3.

+2,f(1)+f′

考点: 导数的运算. 分析: 先将 x=1 代入切线方程可求出 f(1) ,再由切点处的导数为切线斜率可求出 f'(1)的 值,最后相加即可. 解答: 解:由已知切点在切线上,所以 f(1)= , 所以 f(1)+f (1)=3 故答案为:3 点评: 本题主要考查导数的几何意义,即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的 斜率. 20. (3 分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边 形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图 2 有 19 个蜂巢,按此规律,以 f(n)表示第 n 幅图的蜂巢总数.则 f(4)=37;f(n)=3n ﹣ 3n+1.


,切点处的导数为切线斜率,所以

考点: 归纳推理. 专题: 规律型. 分析: 根据图象的规律可得相邻两项的差的规律可分析得出 f(n)﹣f(n﹣1)=6(n﹣1) , 进而根据合并求和的方法求得 f(n)的表达式. 解答: 解:由于 f(2)﹣f(1)=7﹣1=6, f(3)﹣f(2)=19﹣7=2×6, f(4)﹣f(3)=37﹣19=3×6, f(5)﹣f(4)=61﹣37=4×6,… 因此,当 n≥2 时,有 f(n)﹣f(n﹣1)=6(n﹣1) , 2 所以 f(n)=++…++f(1)=6+1=3n ﹣3n+1. 2 2 又 f(1)=1=3×1 ﹣3×1+1,所以 f(n)=3n ﹣3n+1. 2 当 n=4 时,f(4)=3×4 ﹣3×4+1=37. 2 故答案为:37;3n ﹣3n+1. 点评: 本题主要考查了数列的问题、归纳推理.属于基础题. 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. ) 21. (8 分) 已知命题 p: 方程 的离心率 e∈( =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆; 命题 q: 双曲线 =1

) .若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

考点: 椭圆的简单性质;复合命题的真假;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由 p 真与 q 真分别求得 m 的范围,利用复合命题的真假判断即可求得符合题意的实 数 m 的取值范围. 解答: 解:p 真,则有 9﹣m>2m>0,即 0<m<3…2 分 q 真,则有 m>0,且 e =1+
2

=1+ ∈( ,2) ,

即 <m<5…4 分 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则 p、q 一真一假. ①若 p 真、q 假,则 0<m<3,且 m≥5 或 m≤ ,即 0<m≤ ;…6 分 ②若 p 假、q 真,则 m≥3 或 m≤0,且 <m<5,即 3≤m<5…8 分

故实数 m 的取值范围为 0<m≤ 或 3≤m<5…10 分 点评: 本题考查椭圆与双曲线的简单性质,考查复合命题的真假判断,考查集合的交补运 算,属于中档题. 22. (8 分)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4; 白 色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能 性相同) . (Ⅰ)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和数学 期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望 与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (I)从 7 张卡片中取出 4 张的所有可能结果数有 ,然后求出取出的 4 张卡片中,

含有编号为 3 的卡片的结果数,代入古典概率的求解公式即可求解 (II)先判断随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4,根据题意求出随机变量的各个取值 的概率,即可求解分布列及期望值 解答: 解: (I)设取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片为事件 A,则 P(A)= =

所以,取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率为 (II)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4 P(X=1)=

P(X=2)=

P(X=3)=

=

P(X=4)= X 的分布列为 EX= x 1

=

= 2 3 4

P

点评: 本题主要考查了古典概型及计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望 值的求解,考查了运用概率知识解决实际问题的能力. 23. (8 分)如图,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE= AD=1. (1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (2)求二面角 A﹣CD﹣E 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;证明题;转化思想. 分析: (1)先将 BF 平移到 CE,则∠CED(或其补角)为异面直线 BF 与 DE 所成的角, 在三角形 CED 中求出此角即可; (2)设 Q 为 CD 的中点,连接 PQ,EQ,易证∠EQP 为二面角 A﹣CD﹣E 的平面角,在直角 三角形 EQP 中求出此角即可 解答: 解: (1)由题设知,BF∥CE, 所以∠CED(或其补角)为异面直线 BF 与 DE 所成的角. 设 P 为 AD 的中点,连接 EP,PC. 因为 FE= AP,所以 FA= EP,同理 AB= PC. 又 FA⊥平面 ABCD,所以 EP⊥平面 ABCD. 而 PC,AD 都在平面 ABCD 内, 故 EP⊥PC,EP⊥AD.由 AB⊥AD,可得 PC⊥AD 设 FA=a, 则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= a,故∠CED=60°. 所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60°. (2)取 CD 的中点 Q,连接 PQ,EQ 由 PC=PD,CE=DE ∴PQ⊥CD,EQ⊥CD ∴∠EQP 为二面角 A﹣CD﹣E 的平面角, 由 ED=CD= a,在等边△ ECD 中 EQ= a . a
∥ ∥ ∥

在等腰 Rt△ CPD 中,PQ= 在 Rt△ EPQ 中,cos∠EQP=

故二面角 A﹣CD﹣E 的余弦值为



点评: 本小题考查线线垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方 法,考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力. 24. (8 分)已知直线 y=kx+1 和双曲线 3x ﹣y =1 相交于两点 A,B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以 AB 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出 k 的值;若不存在, 请说明理由. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 2 分析: (1)联立直线 y=kx+1 与双曲线 3x ﹣y =1 可得(3﹣k )x ﹣2kx﹣2=0,由△ >0, 2 且 3﹣k ≠0,解得即为 k 的范围; (2)假设存在,则设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,依题意,x1x2+y1y2=0,利用韦达定理可得 x1+x2= ,x1x2= ,从而可求得 +1=0,继而可解得 k 的值.检验成立.
2 2

解答: 解: (1)由
2

,得(3﹣k )x ﹣2kx﹣2=0,

2

2

由△ >0,且 3﹣k ≠0, 得﹣ <k< ,且 k≠± ; (2)假设存在实数 k,使得以 AB 为直径的圆恰好过原点. 设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA⊥OB, 所以 x1x2+y1y2=0,又 x1+x2=
2

,x1x2=



∴y1y2=(kx1+1) (kx2+1)=k x1x2+k(x1+x2)+1, 2 ∴k x1x2+k(x1+x2)+1+x1x2=0, 即 + +1+ =0,



+1=0,解得 k=±1.

经检验,k=±1 满足题目条件, 则存在实数 k,使得以 AB 为直径的圆恰好过原点. 点评: 本题考查双曲线的标准方程和性质,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,突出考 查韦达定理的应用,考查转化思想与综合运算能力,属于中档题.

25. (8 分)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的最小值为 1,求 a 的取值范围.

,其中 a>0.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)求导函数,可得 ,由于分母恒正,故由分子

的正负,确定函数的单调区间; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的讨论,分别可求得 f(x)的最小值,根据 f(x)的最小值为 1,可确定 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)求导函数,可得 ,

∵x≥0,a>0,∴ax+1>0. ①当 a≥2 时,在区间(0,+∞)上,f'(x)>0,∴f(x)的单调增区间为(0,+∞) . ②当 0<a<2 时,由 f'(x)>0 解得 ∴f(x)的单调减区间为 ,由 f'(x)<0 解得 x< ,单调增区间为 . ,

(Ⅱ)当 a≥2,由(Ⅰ)①知,f(x)的最小值为 f(0)=1; 当 0<a<2 时,由(Ⅰ)②知,f(x)在 处取得最小值 <f(0)=1,

综上可知,若 f(x)的最小值为 1,则 a 的取值范围是[2,+∞) . 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查分类讨论的数学思想, 合理分类是关键.


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